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ジュール・アンリ・ポアンカレ[ 1 ] (英国: / ˈ p w æ̃ k ɑːr eɪ /、米国: / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ r eɪ / ;フランス語: [ ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe ]ⓘ ; [ 2 ] 1854年4月29日-1912年7月17日）は、フランスの数学者、理論物理学者、エンジニア、科学哲学者。彼はしばしば博学者、数学においては「最後の普遍主義者」 [ 3 ]と呼ばれています。これは、彼が生涯にわたって存在したあらゆる分野で卓越していたためです。彼はさらに「現代数学のガウス」とも呼ばれています。 [ 4 ]科学における彼の成功と哲学における彼の影響力から、彼は「現代科学の最高の哲学者」とも呼ばれています。 [ 5 ]
数学者および物理学者として、彼は純粋数学および応用数学、数理物理学、天体力学に多くの独創的な基礎的貢献をした。[ 6 ]ポアンカレは、三体問題の研究において、現代のカオス理論の基礎を築いたカオス的決定論的システムを初めて発見した人物となった。ポアンカレは代数トポロジーの分野の創始者とみなされており、保型形式を導入したことでも知られている。彼はまた、代数幾何学、数論、複素解析、リー理論にも重要な貢献をした。[ 7 ]彼は、状態が十分に長い時間が経過すると最終的に初期状態に任意に近づくというポアンカレ再帰定理の概念を導入したことで有名であり、これは広範囲にわたる影響を及ぼしている。[ 8 ] 20世紀初頭、彼はポアンカレ予想を定式化し、それは時を経て数学における有名な未解決問題の一つとなった。最終的に2002年から2003年にかけてグリゴリー・ペレルマンによって解決された。ポアンカレは数学における非ユークリッド幾何学の使用も普及させた。[ 9 ]
ポアンカレは、異なる変換の下での物理法則の不変性に注意を払うことの重要性を明確にし、ローレンツ変換を現代の対称形式で初めて提示した。ポアンカレは残りの相対論的速度変換を発見し、1905年にヘンドリック・ローレンツへの手紙に記録した。こうして彼は、特殊相対性理論の定式化における重要なステップであるマックスウェル方程式の完全な不変性を得た。彼はまた、その基礎を築いたとされており、[ 10 ]さらに1905年に基礎論文を執筆した。[ 11 ]彼は、物体から発せられ光速で伝播する重力波がローレンツ変換によって必要とされることを初めて提案し、1905年にそうした。 [ 12 ] 1912年には、量子力学の数学的議論を提供する影響力のある論文を執筆した。[ 13 ] [ 14 ]ポアンカレは、 X線への関心と研究を通して放射能の発見の種を蒔き、それが物理学者アンリ・ベクレルに影響を与え、ベクレルが後にその現象を発見した。[ 15 ]物理学と数学で使用されるポアンカレ群は、彼が群の概念を導入した後に彼の名にちなんで名付けられた。[ 16 ]
ポアンカレは、当時数学と理論物理学の分野で支配的な人物とみなされ、最も尊敬される数学者であり、数学者のポール・パンルヴェからは「合理科学の生きた頭脳」と評された。[ 17 ]哲学者カール・ポパーは、ポアンカレを史上最高の科学哲学者とみなし、[ 18 ]また、ポアンカレは科学における慣習主義の見解の創始者でもある。[ 19 ]ポアンカレは当時、公的な知識人であり、個人的には、すべての人々の政治的平等を信じていたが、当時のカトリック教会が持っていた反知性主義的な立場の影響には警戒していた。[ 20 ]彼は、フランス科学アカデミー会長（1906年）、フランス天文学会会長（1901～1903年）、フランス数学会会長を2度（1886年、1900年）務めた。
ポアンカレは1854年4月29日、ムルト＝エ＝モゼル県ナンシーのシテ・デュカル地区で、影響力のあるフランスの家庭に生まれた。[ 21 ]彼の父レオン・ポアンカレ（1828年 - 1892年）はナンシー大学の医学教授だった。[ 22 ]彼の妹アリーヌは精神哲学者エミール・ブトルーと結婚した。アンリの家族のもう一人著名な人物は、いとこのレイモン・ポアンカレで、アカデミー・フランセーズの会員であり、 1913年から1920年までフランス大統領、 1913年から1929年まで3度フランス首相を務めた。 [ 23 ]
彼は幼少期にジフテリアにかかり、一時的に重篤な状態に陥ったため、母親のウジェニー・ローノワ（1830年～1897年）から特別な指導を受けた。
1862年、アンリはナンシーのリセ（現在はアンリ・ポアンカレ大学とともに、彼の名誉を称えてリセ・アンリ・ポアンカレと改名されている）に入学した。彼はリセで11年間を過ごし、その間、学んだすべての科目でトップクラスの生徒であることを証明した。彼は作文に秀でていた。彼の数学教師は彼を「数学の怪物」と評し、彼はフランス中のリセの優秀な生徒が競うコンクール・ジェネラルで1位を獲得した。彼の最も苦手な科目は音楽と体育で、これらの科目では「せいぜい平均的」と評された。[ 24 ]視力が悪く、うっかり屋な傾向があることが、これらの困難の原因かもしれない。[ 25 ]彼は1871年に文学と科学の両方でバカロレアを取得してリセを卒業した。
1870年の普仏戦争中、彼は父と共に救護隊に所属した。
ポアンカレは1873年に首席でエコール・ポリテクニークに入学し、1875年に卒業した。そこでシャルル・エルミートの弟子として数学を学び、引き続き優秀な成績を収め、1874年に最初の論文（「曲面の指示関数の新しい性質の証明」）を発表した。1875年11月から1878年6月まで鉱山学校で学び、鉱山工学のカリキュラムに加えて数学の研究を続け、1879年3月に鉱山技師の学位を取得した。[ 26 ]
鉱山学校を卒業後、彼はフランス北東部のヴズール地方の鉱山監督官として鉱山隊に入隊した。1879年8月、マニーで発生した鉱山事故の現場に居合わせ、18人の鉱夫が死亡したこの事故の公式調査を行った。
同時に、ポアンカレはシャルル・エルミートの指導の下、数学の博士号取得に向けて準備を進めていた。彼の博士論文は微分方程式の分野で、「偏微分方程式によって定義される関数の性質について」と題された。ポアンカレはこれらの方程式の性質を研究する新しい方法を考案した。彼はこのような方程式の積分を決定するという問題に取り組んだだけでなく、それらの一般的な幾何学的性質を研究した最初の人物でもあった。彼は、これらの性質が太陽系内を自由に運動する複数の天体の挙動をモデル化するために利用できることに気づいた。彼は1879年にパリ大学を卒業した。
学位取得後、ポアンカレはノルマンディー地方のカーン大学で数学の助教として教鞭を執り始めた（1879年12月）。同時期に、彼はある種の保型関数の扱いに関する最初の主要な論文を発表した。
そこで彼はカーンで将来の妻となるルイーズ・プーラン・ダンデシー（1857年 - 1934年）と出会った。彼女はイジドール・ジェフロワ・サンティレールの孫娘で、エティエンヌ・ジェフロワ・サンティレールの曾孫娘にあたり、1881年4月20日に結婚した。[ 27 ]二人の間にはジャンヌ（1887年生まれ）、イヴォンヌ（1889年生まれ）、アンリエット（1891年生まれ）、レオン（1893年生まれ）の4人の子供が生まれた。
ポアンカレはたちまちヨーロッパ屈指の数学者としての地位を確立し、多くの著名な数学者の注目を集めた。1881年、ポアンカレはパリ大学理学部の教員職に招かれ、これを受諾した。1883年から1897年にかけて、彼はエコール・ポリテクニークで数学解析を教えた。
1881年から1882年にかけて、ポアンカレは微分方程式の定性理論という新たな数学分野を創始した。彼は、方程式を解くことなく（必ずしも解けるとは限らないため）、解の族の挙動に関する最も重要な情報を導き出す方法を示した。彼はこの手法を天体力学や数理物理学の問題に応用し、成功を収めた。
彼は数学の道に進むために鉱山行政のキャリアを完全に放棄することはなかった。 1881年から1885年まで公共サービス省で北部鉄道開発を担当する技師として勤務し、1893年には鉱山隊の主任技師、1910年には監察官に就任した。
1881年から生涯を通じて、彼はパリ大学（ソルボンヌ大学）で教鞭を執った。当初は解析学准教授に任命された。[ 28 ]最終的には、物理実験力学、数理物理学および確率論、 [ 29 ]および天体力学および天文学の教授職を務めた。
1887年、32歳という若さでポアンカレはフランス科学アカデミーに選出され、1906年には会長に就任した。1892年にはマンチェスター文学哲学協会の名誉会員となり[ 30 ] 、1908年3月5日にはアカデミー・フランセーズに選出された。
1887年、彼はスウェーデン国王オスカル2世が主催した、複数の天体が自由に周回運動する三体問題の解法を競う数学コンテストで優勝した。（下記の三体問題の項を参照。）
1893年、ポアンカレはフランス経度局に加わり、世界中の時刻の同期化に携わった。1897年、ポアンカレは円周測定、ひいては時間と経度の十進法化の提案を支持したが、これは実現しなかった。[ 31 ]この職務がきっかけとなり、彼は国際時間帯の設定と、相対運動する物体間の時刻同期化の問題を検討するようになった。（下記の相対性理論に関する研究の項を参照。）
1904年、彼はアルフレッド・ドレフュスの裁判に介入し、ドレフュスに対する証拠に関する偽りの科学的主張を攻撃した。
ポアンカレは1901年から1903年までフランス天文学会（SAF）の会長を務めた。 [ 32 ]
ポアンカレはパリ大学でルイ・バシュリエ（1900年）とディミトリエ・ポンペイウ（1905年）という2人の著名な博士課程学生を指導した。[ 33 ]
1912年、ポアンカレは前立腺疾患の手術を受け、その後、同年7月17日にパリで塞栓症により死去した。享年58歳。彼はパリのモンパルナス墓地にあるポアンカレ家の墓所、エミール・リシャール通り近くの第16区画に埋葬されている。
A former French Minister of Education, Claude Allègre, proposed in 2004 that Poincaré be reburied in the Panthéon in Paris, which is reserved for French citizens of the highest honour.[34]
Poincaré made many contributions to different fields of pure and applied mathematics such as: celestial mechanics, fluid mechanics, optics, electricity, telegraphy, capillarity, elasticity, thermodynamics, potential theory, Quantum mechanics, theory of relativity and physical cosmology.
Among the specific topics he contributed to are the following:
太陽系における2つ以上の天体の運動の一般解を求める問題は、ニュートンの時代から数学者たちを悩ませてきた。これは当初、三体問題として知られ、後にn体問題と呼ばれるようになった。nは2つ以上の天体の任意の数である。n体問題の解は、19世紀末には非常に重要かつ困難な問題と考えられていた。実際、1887年、スウェーデン国王オスカル2世は、 60歳の誕生日を記念して、ゴスタ・ミッタク＝レフラーの助言を受け、この問題の解を見つけた者に賞を与えることを決定した。その発表は非常に具体的だった。
ニュートンの法則に従って互いに引き合う任意の数の質点のシステムが与えられ、2つの質点が衝突しないという仮定の下で、各質点の座標を、時間の既知の関数であり、そのすべての値に対して級数が一様に収束する変数の級数として表現することを試みてください。
問題が解決できない場合は、古典力学へのその他の重要な貢献が賞に値するとみなされることになった。最終的に賞はポアンカレに授与されたが、彼は元の問題を解決していなかった。審査員の1人である著名なカール・ワイエルシュトラスは、「この研究は、提示された問題の完全な解決策を提供するとは到底言えないが、それでもその出版は天体力学の歴史に新たな時代を切り開くほど重要である」と述べた。（彼の貢献の最初のバージョンには重大な誤りさえ含まれていた。詳細はディアクの論文[ 36 ]とバロー・グリーンの著書[ 37 ]を参照）。最終的に出版されたバージョン[ 38 ]には、カオス理論につながる多くの重要なアイデアが含まれていた。最初に提示された問題は、 1912年にカール・F・サンドマンによってn = 3の場合に最終的に解決され、1990年代に王秋東によってn > 3の物体 の場合に一般化された。級数解は収束が非常に遅い。ごく短い時間間隔での粒子の運動を決定するには数百万項が必要となるため、数値計算には使用できない。[ 36 ]
ポアンカレは経度局で国際時間帯の設定に取り組んでいたが、その過程で、絶対空間（あるいは「光を伝えるエーテル」）に対して異なる速度で動く地球上の静止時計を同期させる方法について考察するようになった。同時期に、オランダの理論物理学者ヘンドリック・ローレンツは、マクスウェルの理論を発展させ、荷電粒子（「電子」または「イオン」）の運動と放射線との相互作用に関する理論を構築していた。1895年、ローレンツは（物理的な解釈を持たない）「地方時」と呼ばれる補助量を導入した。[ 39 ]光と電気の実験でエーテルに対する運動を検出できなかったことを説明するため、長さ収縮の仮説を導入したマイケルソン・モーリーの実験を）。 [ 40 ]ポアンカレはローレンツの理論を常に解釈し（時には友好的な批判者でもあった）。哲学者としてのポアンカレは「より深い意味」に興味を持っていた。そのため、彼はローレンツの理論を解釈し、その過程で特殊相対性理論と関連付けられる多くの洞察を得た。『時間の尺度』（1898年）の中で、ポアンカレは「少し考えれば、これらの主張はそれ自体では意味を持たないことがわかる。それらは慣習の結果としてのみ意味を持つことができる」と述べている。また、物理理論を最も単純な形にするために、科学者は光速の不変性を公準として設定する必要があると主張した。 [ 41 ] これらの仮定に基づいて、彼は1900年にローレンツの「素晴らしい発明」である地方時について論じ、動く時計が、動く座標系で両方向に同じ速度で伝わると想定される光信号を交換することによって同期されるときにそれが生じると述べた。 [ 42 ]
1881年、ポアンカレは双曲面モデルを用いて双曲幾何学を記述し、ローレンツ間隔を不変に保つ変換を定式化した。これにより、数学的には 2+1 次元のローレンツ変換と等価になります。[ 43 ] [ 44 ]さらに、ポアンカレの他の双曲幾何学モデル (ポアンカレ円盤モデル、ポアンカレ半平面モデル) やベルトラミ・クラインモデルも相対論的速度空間 (ジャイロベクトル空間を参照) と関連付けることができます。
1892年、ポアンカレは偏光を含む光の数学理論を開発した。偏光状態を表す球体に作用する偏光子と位相差板の作用に関する彼の見解は、ポアンカレ球と呼ばれている。[ 45 ]ポアンカレ球は、ローレンツ変換と速度加算の幾何学的表現として使用できるローレンツ対称性を備えていることが示された。[ 46 ]
彼は1900年に2つの論文で「相対運動の原理」について論じ[ 42 ] [ 47 ] 、1904年にそれを相対性原理と名付けた。相対性原理によれば、いかなる物理実験も等速運動の状態と静止状態を区別することはできない[ 48 ] 。 1905年、ポアンカレはローレンツに1904年のローレンツの論文について手紙を書き、それを「極めて重要な論文」と評した。この手紙の中で、ポアンカレはローレンツがマクスウェル方程式の1つ、電荷が占有する空間に関する方程式に変換を適用した際に犯した誤りを指摘し、ローレンツが与えた時間の遅れ係数にも疑問を呈した。[ 49 ]ポアンカレはローレンツへの2通目の手紙で、ローレンツの時間膨張係数が結局正しい理由（ローレンツ変換を群にするために必要だった）を自ら述べ、現在では相対論的速度加算法則として知られる法則を示した。[ 50 ]ポアンカレはその後、1905年6月5日にパリで開催された科学アカデミーの会合で、これらの問題を取り上げた論文を発表した。その出版版では、彼は次のように書いている。[ 51 ]
ローレンツによって確立された重要な点は、電磁場の方程式は、次のような特定の変換（ここではローレンツ変換と呼ぶ）によって変化しないということである。
そして、任意の関数が全ての人々のための団結が必要だ(ローレンツは別の議論によって）変換がグループを形成するようにする。1906年に発表された論文の拡大版でポアンカレは、組み合わせがは不変である。彼は、ローレンツ変換は、導入によって4次元空間における原点周りの回転にすぎないと指摘した。4 つ目の虚数座標として、彼は4 ベクトルの初期の形を使用しました。[ 52 ]ポアンカレは 1907 年に、自身の新しい力学の 4 次元への再定式化には関心がないことを表明しました。なぜなら、彼の意見では、物理学を 4 次元幾何学の言語に翻訳するには、限られた利益のために多大な労力が必要になるからです。[ 53 ]そこで、1907 年にこの概念の帰結を解明したのはヘルマン・ミンコフスキーでした。[ 53 ] [ 54 ]
ポアンカレ（1900）は、他の研究者と同様に、質量と電磁エネルギーの関係を発見した。作用反作用の原理とローレンツのエーテル理論の矛盾を研究する中で、電磁場を含めた場合、重心が依然として一定の速度で移動するかどうかを判断しようとした。 [ 42 ]彼は、作用反作用の原理は物質のみには当てはまらず、電磁場には独自の運動量があることに気づいた。ポアンカレは、電磁波の電磁場エネルギーは、質量密度がE / c 2の仮想流体（fluide fictif ）のように振る舞うと結論付けた。重心系が物質の質量と仮想流体の質量の両方によって定義され、仮想流体が不滅である場合（生成も破壊もされない場合）、重心系の運動は一定のままである。しかし、電磁エネルギーは他の形態のエネルギーに変換することができる。そこでポアンカレは、空間のあらゆる点に非電気的なエネルギー流体が存在し、そこに電磁エネルギーが変換され、エネルギーに比例した質量を持つと仮定した。こうして、重心の運動は一定に保たれる。ポアンカレは、これらの仮定は単なる数学的な虚構に過ぎないので、あまり驚くべきことではないと述べた。
しかし、ポアンカレの解決策は、座標系を変更するとパラドックスを引き起こした。ヘルツ振動子が特定の方向に放射すると、仮想流体の慣性によって反動を受けることになる。ポアンカレは、運動する光源の座標系に対してローレンツブースト（ v / cのオーダー）を行った。彼は、エネルギー保存則は両方の座標系で成り立つが、運動量保存則は破られることに気づいた。これは永久運動を可能にするものであり、彼はその概念を嫌悪していた。自然法則は参照系で異なっていなければならず、相対性原理は成り立たない。したがって、この場合もエーテルには別の補償機構が必要であると彼は主張した。
ポアンカレ自身も、セントルイスでの講演（1904年）でこの話題に再び触れた。[ 48 ]彼はエネルギーが質量を運ぶ可能性を否定し[ 55 ]、上記の問題を補償するための自身の解決策を批判した。
装置は大砲のように反動し、発射されたエネルギーは球体のように反動するが、これはニュートンの原理に反する。なぜなら、現在の発射体は質量を持たないからである。それは物質ではなく、エネルギーである。[…] 発振器と受信機を隔てる空間、そして擾乱が一方から他方へ通過する際に通過しなければならない空間は、空っぽではなく、エーテルだけでなく空気、あるいは惑星間空間では何らかの微細で、しかし重量のある流体で満たされていると言うべきだろうか。この物質は、受信機と同様に、エネルギーが到達した瞬間に衝撃を受け、擾乱が去った瞬間に反動するのだろうか。そうすればニュートンの原理は救われるだろうが、それは真実ではない。エネルギーが伝播中に常に何らかの物質的基質に付着しているとすれば、この物質は光を一緒に運ぶことになるが、フィゾーは少なくとも空気に関してはそのようなものはないことを示した。その後、マイケルソンとモーリーがこれを確認した。物質そのものの運動がエーテルの運動によって完全に相殺されると考えることもできるかもしれないが、それでは先ほど述べたのと同じ結論に至ってしまう。この原理をこのように解釈すれば、目に見える運動がどのようなものであっても、それを相殺する仮説的な運動を想像できるので、あらゆることを説明できてしまう。しかし、あらゆることを説明できるとすれば、何も予測できなくなる。あらゆる仮説の中から選択することができなくなるからだ。なぜなら、この原理はすべてを事前に説明してしまうからである。したがって、この原理は役に立たなくなる。
上記の引用文で彼は、フィゾーの実験によって反証されたヘルツの完全なエーテル同伴の仮定に言及しているが、その実験は確かに光が物質とともに部分的に「運ばれる」ことを示している。最後に1908年[ 56 ]彼はこの問題を再検討し、エーテル自体の慣性に基づく解決策を支持するために、反応の原理を完全に放棄して結論に至った。
しかし、上で述べたように、フィゾーの実験ではヘルツの理論を維持することはできない。したがって、ローレンツの理論を採用する必要があり、結果として反作用の原理を放棄しなければならない。
彼はまた、説明のつかない他の2つの効果についても議論した。（1）ローレンツの可変質量によって示唆される質量の非保存（1）アブラハムの可変質量理論とカウフマンの高速電子の質量に関する実験、（2）マリー・キュリーのラジウム実験におけるエネルギー非保存。
ポアンカレのパラドックスは、エーテル内の補償機構を用いることなく解決された。[57] 放射や熱としてエネルギーを失う物体は、m = E / c 2 の量の質量を失うというアルベルト・アインシュタインの質量エネルギー等価の概念（1905 年）である。[ 58 ]ヘルツ振動子は放出過程で質量を失い、運動量はどの座標系でも保存される。しかし、ポアンカレの重心問題の解に関して、アインシュタインは、ポアンカレの定式化と 1906 年の彼自身の定式化は数学的に等価であると指摘した。[ 59 ]
1905年、ポアンカレは物体から発せられ光速で伝播する重力波（重力波）を初めて提唱した。彼は次のように記している。
この仮説をより詳しく検討し、特に重力の法則をどのように修正する必要があるのかを問うことが重要になってきた。それが私が解明しようとしてきたことだ。最初は、重力の伝播は瞬間的ではなく、光速で起こると仮定した。[ 60 ] [ 51 ]
アインシュタインの相対性理論に関する最初の論文は、ポアンカレの短い論文[ 51 ]の3か月後に発表されたが、ポアンカレの長いバージョン[ 52 ]より前に発表された。アインシュタインは相対性原理に基づいてローレンツ変換を導出し、ポアンカレ(1900)が記述したものと同様の時計同期手順(アインシュタイン同期)を使用したが、アインシュタインの論文は参考文献が全く含まれていない点で注目に値する。ポアンカレは特殊相対性理論に関するアインシュタインの研究を認めることはなかった。しかし、アインシュタインは1919年5月3日にハンス・ヴァイヒンガーに宛てた手紙の中で、ヴァイヒンガーの一般的な見解は自分の見解に近く、ポアンカレの見解はヴァイヒンガーの見解に近いと考え、間接的にポアンカレの見解に共感を示した。[ 61 ]アインシュタインは、1921年の「幾何学と経験（Geometrie und Erfahrung）」と題する講演の中で、非ユークリッド幾何学に関連してポアンカレの死後功績を認めたが、特殊相対性理論に関連しては認めなかった。アインシュタインは、死の数年前にポアンカレを相対性理論の先駆者の一人として評し、「ローレンツはすでに、彼にちなんで名付けられた変換がマクスウェル方程式の解析に不可欠であることを認識しており、ポアンカレはこの洞察をさらに深めた…」と述べている。[ 62 ]
ポアンカレの特殊相対性理論の発展における業績はよく知られているが、[ 57 ]多くの歴史家は、アインシュタインの業績と多くの類似点があるにもかかわらず、両者の研究目的と業績の解釈は大きく異なっていたと強調している。[ 63 ]ポアンカレは、地方時について同様の物理的解釈を展開し、信号速度との関連性に気づいたが、アインシュタインとは異なり、論文の中でエーテルの概念を使い続け、エーテルの中で静止している時計は「真の」時間を示し、動いている時計は地方時を示すと主張した。このように、ポアンカレは相対性原理を古典的な概念に沿わせようとしたが、アインシュタインは空間と時間の相対性という新しい物理的概念に基づいて、数学的に等価な運動学を展開した。[ 64 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]
これはほとんどの歴史家の見解だが、ET Whittakerのように、ポアンカレとローレンツこそが相対性理論の真の発見者であると主張する少数派もいる。[ 69 ]
ポアンカレは群論を物理学に導入し、ローレンツ変換群を研究した最初の人物であった。[ 70 ] [ 71 ]また、離散群とその表現の理論にも大きな貢献をした。
この主題は、フェリックス・クラインが「エアランゲン・プログラム」（1872年）で明確に定義しています。それは、任意の連続変換の幾何学的不変量、一種の幾何学です。「トポロジー」という用語は、ヨハン・ベネディクト・リスティングの提案により、それまで使用されていた「Analysis situs」の代わりに導入されました。いくつかの重要な概念は、エンリコ・ベッティとベルンハルト・リーマンによって導入されました。しかし、あらゆる次元の空間におけるこの科学の基礎は、ポアンカレによって築かれました。この主題に関する彼の最初の論文は1894年に発表されました。[ 72 ]
彼の幾何学の研究は、ホモトピーとホモロジーの抽象的な位相的定義につながった。彼はまた、ベッチ数や基本群などの組合せ位相の基本概念と不変量を初めて導入した。ポアンカレは、 n次元多面体の辺、頂点、面の数を関連付ける公式(オイラー・ポアンカレの定理) を証明し、次元の直感的な概念を初めて正確に定式化した。[ 73 ]
ポアンカレは、現在では古典となっている2冊のモノグラフ、『天体力学の新方法』（1892～1899年）と『天体力学講義』（1905～1910年）を出版した。これらの中で、彼は研究成果を3体の運動の問題にうまく適用し、解の挙動（周波数、安定性、漸近性など）を詳細に研究した。彼は、小パラメータ法、不動点、積分不変量、変分方程式、漸近展開の収束を導入した。ブルンス（1887年）の理論を一般化して、ポアンカレは3体問題が積分不可能であることを示した。言い換えれば、3体問題の一般解は、物体の明確な座標と速度を通して代数関数と超越関数で表現することはできない。この分野における彼の業績は、アイザック・ニュートン以来、天体力学における最初の大きな成果であった。[ 74 ]
これらのモノグラフには、後に数学的「カオス理論」（特にポアンカレの再帰定理を参照）と力学系の一般理論の基礎となったポアンカレのアイデアが含まれています。ポアンカレは、重力回転流体の平衡形状に関する天文学の重要な著作を執筆しました。彼は分岐点の重要な概念を導入し、環状や洋ナシ形などの非楕円体のような平衡形状の存在とその安定性を証明しました。この発見により、ポアンカレは王立天文学会の金メダル（1900年）を受賞しました。[ 75 ]
ポアンカレは、微分方程式系の特異点の研究に関する博士論文を弁護した後、「微分方程式によって定義される曲線について」（1881～1882年）というタイトルの一連の論文を執筆した。[ 76 ]これらの論文の中で、彼は「微分方程式の定性的理論」と呼ばれる新しい数学の分野を構築した。ポアンカレは、微分方程式が既知の関数で解けない場合でも、方程式の形式そのものから、解の性質と挙動に関する豊富な情報が得られることを示した。特に、ポアンカレは平面上の積分曲線の軌跡の性質を調査し、特異点（鞍点、焦点、中心、節点）の分類を与え、極限サイクルとループ指数の概念を導入し、いくつかの特殊な場合を除いて極限サイクルの数は常に有限であることを示した。ポアンカレはまた、積分不変量と変分方程式の解に関する一般理論を発展させた。有限差分方程式については、彼は解の漸近解析という新しい方向性を開拓した。彼はこれらの成果を数学物理学や天体力学の実際的な問題の研究に応用し、使用された方法は彼の位相幾何学の研究の基礎となった。[ 77 ]
ポアンカレの仕事ぶりは、花から花へと飛び回るミツバチに例えられることがある。ポアンカレは自身の思考過程に興味を持ち、その習慣を研究し、1908年にパリの一般心理学研究所でその観察結果について講演を行った。彼は自身の思考様式と、数々の発見につながった経緯を結びつけた。
数学者のダルブーは、ポアンカレが直観的であると主張し、視覚的な表現を頻繁に用いて研究していたことがその証拠だと論じた。ジャック・アダマールは、ポアンカレの研究は驚くべき明晰さを示していると書き[ 78 ]、ポアンカレ自身は、論理は発明の方法ではなく、アイデアを構造化する方法であり、論理はアイデアを制限するものだと信じていたと書いた。
ポアンカレの精神構造は、ポアンカレ自身だけでなく、パリ高等研究院心理学研究所の心理学者エドゥアール・トゥールーズにとっても興味深いものであった。トゥールーズは『アンリ・ポアンカレ』（1910年）という本を著した。[ 79 ] [ 80 ]その中で、彼はポアンカレの規則的なスケジュールについて論じている。
これらの能力は、彼の欠点によってある程度相殺されていた。
さらに、トゥールーズは、ほとんどの数学者はすでに確立された原理に基づいて研究していたのに対し、ポアンカレは毎回基本的な原理から出発したと述べた。[ 81 ]
彼の思考方法は、以下のように要約できる。
詳細を考慮した習慣と、安全性の高い即時性、即時性、安全性を考慮したグループのグループ、即時性と自動性のクラスを実現します。回想録（細部を無視して山の頂上だけを見ることに慣れていた彼は、驚くべき速さで一つの頂上から別の頂上へと移動し、発見した事実はそれらの中心の周りに集まり、即座に自動的に彼の記憶の中に定着した）。
—ベリバー（1956年）
ポアンカレは特殊相対性理論の基礎を築いたとされており、[ 11 ] [ 10 ]中には彼がその創始者であると主張する者もいる。 [ 82 ]彼は「当時の数学と理論物理学を支配した」と言われ、「生前は間違いなく最も尊敬された数学者であり、今日でも世界で最も象徴的な科学者の一人である」と言われている。[ 83 ]ポアンカレは「万能の専門家」と見なされており、天体力学を洗練させ、新しい分野の創設を含め、当時の数学のほぼすべての分野を進歩させ、特殊相対性理論の父であり、当時の物理学におけるすべての大きな議論に参加し、科学哲学に関連する当時の大きな認識論的議論の主要人物であり、1879年のマニー坑道のメタンガス爆発を技術者として調査した人物でもある。 [ 83 ]ポアンカレは研究の幅広さから、当時のフランス科学アカデミーのすべての部門（幾何学、力学、物理学、天文学、航海術）に選出された唯一の会員であった。 [ 84 ]
物理学者のアンリ・ベクレルは1904年にポアンカレをノーベル賞に推薦し、「ポアンカレの数学的、哲学的天才は物理学のすべてを網羅し、研究者に未知の世界への探求のための確固たる基盤を与えることで人類の進歩に最も貢献した人物の一人である」と評した。[ 85 ]ポアンカレの死後、同時代の多くの知識人が彼を称賛し、作家のマリー・ボナパルトは未亡人となった妻ルイーズに「あなたが誰よりもよく知っているように、彼は私たちの時代の最も偉大な思想家、最も力強い天才であるだけでなく、深く比類のない心の持ち主でもありました。そして、彼と親しく過ごせたことは、生涯の貴重な思い出として残っています」と書き送った。[ 86 ]
数学者ETベルはポアンカレを「最後の普遍主義者」と称し、多くの分野における彼の卓越した能力を指摘し、次のように述べている。[ 87 ]
ポアンカレは、純粋数学と応用数学の両方を含む、事実上すべての数学を自らの専門分野とした最後の人物であった。ポアンカレほど哲学的な見識の広さを持つ数学者は少なく、明快な説明能力において彼に勝る者はいない。
哲学者で数学者のバートランド・ラッセルは、近代フランスが生んだ最も偉大な人物は誰かと尋ねられたとき、即座に「ポアンカレ」と答えた。 [ 87 ]ベルは、ポアンカレが理論科学と同じくらい実践科学にも長けていたなら、「比類なき3人、アルキメデス、ニュートン、ガウスと並ぶ4人目の偉人になっていたかもしれない」と指摘した。[ 88 ]
ベルはさらに、レオンハルト・オイラーよりも優れた記憶力について言及し、次のように述べている。[ 88 ]
彼の主な娯楽は読書であり、そこで彼の並外れた才能が初めて発揮された。一度読んだ本は、驚異的な速さで読み終えると、まるで永久に彼の所有物になったかのように記憶し、特定の出来事が起こったページと行をいつでも言い当てることができた。彼はこの驚異的な記憶力を生涯持ち続けた。ポアンカレがオイラーと分かち合ったこの稀有な能力は、視覚記憶あるいは空間記憶とでも呼ぶべきものだろう。時間記憶、つまり遠い昔の出来事の連続を驚くほど正確に思い出す能力においても、彼は並外れて優れていた。
ベルはポアンカレの視力が非常に悪かったことを指摘し、彼は公式や定理をほぼ完全に耳で覚えていたと述べている。「高度な数学を学ぶ学生になったとき、黒板がはっきりと見えなくなった彼は、後ろにもたれて聞き、メモを取らずに完璧に理解し記憶した。彼にとっては簡単なことだったが、ほとんどの数学者には理解できないことだった。」[ 88 ]
受賞
彼にちなんで名付けられた
アンリ・ポアンカレはノーベル物理学賞を受賞しませんでしたが、アンリ・ベクレルや委員会メンバーのゴスタ・ミッタク＝レフラーのような影響力のある支持者がいました。[ 92 ] [ 93 ]推薦記録によると、ポアンカレは1904年から1912年（彼の死去の年）までの間に合計51件の推薦を受けていました。[ 94 ] 1910年のノーベル賞の58件の推薦のうち、34件でポアンカレの名前が挙げられていました。[ 94 ]推薦者には、ノーベル賞受賞者のヘンドリック・ローレンツとピーテル・ゼーマン（いずれも1902年）、マリー・キュリー（1903年）、アルベルト・マイケルソン（1907年）、ガブリエル・リップマン（1908年）、グリエルモ・マルコーニ（1909年）などが含まれていました。[ 94 ]
ポアンカレ、ボルツマン、ギブスといった著名な理論物理学者がノーベル賞を受賞しなかったという事実は、ノーベル委員会が理論よりも実験を重視していた証拠と見なされている。[ 95 ] [ 96 ]ポアンカレの場合、彼を推薦した何人かは、最大の問題は特定の発見、発明、または技術を挙げることだと指摘した。[ 92 ]
ポアンカレは、数学は論理学の一分野であると信じていたバートランド・ラッセルやゴットロープ・フレーゲとは正反対の哲学的見解を持っていた。ポアンカレはこれに強く反対し、直観こそが数学の生命であると主張した。ポアンカレは1902年の著書『科学と仮説』の中で、興味深い見解を示している。
表面的な観察者にとって、科学的真実は疑いの余地のないものであり、科学の論理は絶対的に正しい。科学者が時折間違いを犯すとしても、それは単に彼らがその法則を誤解しているからに過ぎない。
ポアンカレは算術は総合的であると信じていた。彼は、ペアノの公理は帰納法の原理で循環論法を用いずに証明することはできないと主張し（Murzi、1998）、したがって算術はアプリオリに総合的であり、分析的ではないと結論づけた。ポアンカレはさらに、数学は分析的ではないので論理から演繹することはできないと述べた。彼の見解はイマヌエル・カントの見解と似ていた（Kolak、2001、Folina、1992）。彼はカントールの集合論に強く反対し、その非述語的定義の使用に異議を唱えた。[ 97 ]さらに、『無限の論理』の中で、ポアンカレはこの批判をエルンスト・ツェルメロの集合論の公理化にまで広げ、ツェルメロは彼の体系の公理が矛盾がないことを証明しておらず、依然としてメンゲ（集合）の事前の直観を必要としていると主張した。[ 98 ]
しかし、ポアンカレは哲学や数学のすべての分野でカントの見解を共有していたわけではありません。たとえば、幾何学において、ポアンカレは非ユークリッド空間の構造は解析的に知ることができると考えていました。ポアンカレは、慣習が物理学において重要な役割を果たすと考えていました。彼の見解（および後のより極端なバージョン）は「慣習主義」として知られるようになりました。[ 99 ]ポアンカレは、ニュートンの第一法則は経験的なものではなく、力学の慣習的な枠組みの仮定であると考えていました（Gargani、2012）。[ 100 ]彼はまた、物理空間の幾何学は慣習的であると考えていました。彼は、物理場の幾何学または温度勾配のいずれかを変更できる例を検討し、空間を剛体定規で測定された非ユークリッド空間として記述するか、可変熱分布によって定規が拡大または縮小されるユークリッド空間として記述しました。しかし、ポアンカレは、私たちはユークリッド幾何学にあまりにも慣れ親しんでいるため、非ユークリッド物理幾何学に移行するよりも、ユークリッド幾何学を維持するために物理法則を変更することを好むだろうと考えた。[ 101 ]
ポアンカレがパリ心理学会で行った有名な講義（『科学と仮説』、『科学の価値』、『科学と方法』として出版）は、創造性と発明は、まず問題に対する可能な解決策のランダムな組み合わせ、次に批判的評価という2つの精神的段階から成るという考えの源泉としてジャック・アダマールによって引用された。[ 102 ]
ポアンカレは決定論的な宇宙について語ることが多かったが、新たな可能性の潜在意識的な生成には偶然が関わっているとも述べた。
無意識の作業がやや長引いた後、突然ひらめきのように心に現れる組み合わせは、一般的に有用で実り多い組み合わせであることは確かである…すべての組み合わせは潜在意識の自我の自動的な作用の結果として形成されるが、興味深いものだけが意識の領域に入り込む…調和のとれたものはごくわずかであり、それゆえに有用かつ美しく、私が述べてきた幾何学者の特別な感受性に影響を与えることができる。いったん刺激されると、私たちの注意はそれらに向けられ、それによってそれらが意識される機会が与えられる…逆に、潜在意識の自我には、規律の欠如と偶然から生まれた無秩序にこの名前を与えることができるならば、私が自由と呼ぶものが支配している。[ 103 ]
ポアンカレの2段階（ランダムな組み合わせとその後の選択）は、ダニエル・デネットの自由意志の2段階モデルの基礎となった。[ 104 ]
科学哲学に関する人気のある著作：
代数トポロジーについて：
天体力学について：
数学の哲学について：
他の：
英語訳の網羅的な参考文献リスト：
ポアンカレが証明した定理の一覧は以下のとおりです。
