運動量中心フレーム

物理学では、運動量中心フレーム（COMフレーム）はゼロ運動量フレームとも呼ばれ、システムの全運動量がゼロになる慣性フレームです。速度までは一意ですが、原点までは一意ではありません。システムの運動量中心は場所ではなく、相対的な運動量/速度の集合、つまり参照フレームです。したがって、「運動量中心」は「運動量中心フレーム」の略です。^[1]

運動中心フレームの特殊なケースは、質量中心フレームです。これは、質量の中心（単一の点）が原点に留まる慣性フレームです。すべての運動中心フレームにおいて、質量の中心は静止していますが、必ずしも座標系の原点にあるわけではありません。特殊相対性理論では、システムが孤立している場合にのみ、COM フレームは必然的に一意です。

運動量中心座標系は、すべての粒子の線状運動量の合計が0となる慣性座標系として定義される。Sを実験室基準系、S ′を運動量中心座標系とする。ガリレイ変換を用いると、 S ′ における粒子速度は

${\displaystyle v'=v-V_{\text{c}},}$

どこ

${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$

は質量中心の速度です。運動量中心システムにおける全運動量は次のようにゼロになります。

${\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{\text{c}})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}$

また、システムの全エネルギーは、すべての慣性基準フレームから見た最小のエネルギーです。

相対性理論では、孤立した質量のあるシステムに対して COM フレームが存在します。これは、ノイマンの定理の結果です。COM フレームでは、システムの全エネルギーは静止エネルギーであり、この量 (係数c ²で割った場合、cは光速)は、システムの 不変質量(静止質量) を与えます。

${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}$

系の不変質量は、任意の慣性系において相対論的不変関係によって与えられる。

${\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}$

しかし、運動量がゼロの場合、運動量項 ( p / c ) ^{2 は}ゼロになり、したがって全エネルギーは静止エネルギーと一致します。

エネルギーはゼロではないが静止質量がゼロのシステム（一方向に移動する光子、または同等の平面 電磁波など）には、正味運動量がゼロになるフレームがないため、COM フレームがありません。光速の不変性により、質量のないシステムはどのフレームでも光速で移動し、常に正味運動量を持ちます。そのエネルギーは、各参照フレームについて、運動量の大きさに光速を掛けたものに等しくなります。

${\displaystyle E=pc.}$

このフレームの使用例を以下に示します。これは、必ずしも弾性ではない 2 体衝突 (運動エネルギーが保存される) です。COM フレームを使用すると、実験フレーム(測定または計算が行われるフレーム) よりもはるかに簡単に粒子の運動量を求めることができます。状況は、ガリレイ変換と運動量保存(一般性のため、運動エネルギーのみではなく) を使用して分析されます。これは、質量m ₁とm _{2の 2 つの粒子がそれぞれ初期速度}u ₁とu ₂ (衝突前) で運動している場合です。変換は、実験フレーム (プライムなしの量) から COM フレーム (プライムありの量) への各粒子の速度からフレームの速度を取得するために適用されます。^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} ,}$

ここで、VはCOMフレームの速度である。VはCOMの速度、つまりCOMの位置R（システムの質量中心の位置）の時間微分であるため、次の式で表される。[ ^2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

したがって、COMフレームの原点R' = 0では、これは次のことを意味する。

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

実験フレームで運動量保存則を適用しても同じ結果が得られます。ここで、運動量はp ₁とp ₂です。

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

そしてCOMフレームでは、粒子p ₁ 'とp ₂ 'の全運動量がゼロになることが明確に主張されています。

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

COM フレーム方程式を使用してVを解くと、上記のラボ フレーム方程式が返され、任意のフレーム (COM フレームを含む) を使用して粒子の運動量を計算できることがわかります。上記のフレームを使用すると、COM フレームの速度を計算から除外できることが確立されているため、COM フレーム内の粒子の運動量はラボ フレーム内の量 (つまり、指定された初期値) で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}.}$

実験室系における粒子1と粒子2の 相対速度は

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

そして2体換算質量は

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

粒子の運動量はコンパクトに減少し、

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} .}$

これは、両方の粒子の運動量の計算を大幅に簡略化したものです。縮減質量と相対速度は、実験室フレームの初期速度と質量から計算でき、一方の粒子の運動量は、もう一方の粒子の運動量の負数になります。衝突後も速度は上記の式を満たすため、初期速度u ₁とu ₂の代わりに最終速度v ₁とv _{2で計算を繰り返すことができます。} ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

つまり、COMフレームの原点R = 0では、衝突後

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

実験室フレームでは、運動量保存則は次のように完全に解釈されます。

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

この式は、

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

代わりに、単に全質量Mに質量中心の速度Vを掛けたものがシステムの 総運動量Pであることを示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

上記と同様の分析から、

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} ,}$

ここで、実験室系における粒子1と粒子2の 最終的な相対速度は

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

• 実験室の基準フレーム
• ブライトフレーム