相対論的力学

物体自身の基準系で測定された物体の質量は、静止質量または不変質量と呼ばれ、時には次のように表記される。${\displaystyle m_{0}}$物体が速度を持って移動する場合${\displaystyle \mathbf {v} }$別の参照系では、その量${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$は、その座標系における物体の「相対論的質量」と呼ばれることが多い。^{[ 1 ]} 一部の著者は、${\displaystyle m}$静止質量を表すために、ただし、分かりやすさのために、この記事では慣例に従って を使用します。${\displaystyle m}$相対論的質量と${\displaystyle m_{0}}$静止質量の場合。^{[ 2 ]}

レフ・オクンは、相対論的質量の概念は「今日では合理的な根拠がない」ため、もはや教えるべきではないと提唱している。^{[ 3 ]}ヴォルフガング・リンドラーやTR・サンディン などの他の物理学者は、この概念は有用であると主張している。^{[ 4 ]}この議論の詳細については、特殊相対性理論における質量 を参照のこと。

静止質量がゼロの粒子は、質量ゼロと呼ばれます。光子と重力子は質量ゼロであると考えられており、ニュートリノもほぼ質量ゼロです。

特殊相対性理論（SR）において運動量とエネルギーを定義する方法はいくつか（同等の）ものがあります。1つは保存則を用いる方法です。これらの法則がSRにおいて有効であるためには、あらゆる参照系において真でなければなりません。しかし、ニュートン力学における運動量とエネルギーの定義を用いて簡単な思考実験を行うと、これらの量がSRにおいて保存されないことがわかります。相対論的速度を考慮するために定義に若干の修正を加えることで、保存則の概念を維持することができます。SRにおいて運動量とエネルギーの正しい定義として採用されているのは、この新しい定義です。

物体の4元運動量は単純明快で、形式的には古典的な運動量と同一だが、3元ベクトルを4元ベクトルに置き換えるだけである。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

質量が不変な物体のエネルギーと運動量${\displaystyle m_{0}}$速度を持って移動${\displaystyle \mathbf {v} }$与えられた参照系に関して、それぞれ次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

その要因${\displaystyle \gamma }$これは、上述の4速度の定義から来ています。${\displaystyle \gamma }$別の言い方で表現することも可能であり、それについては次のセクションで説明します。

運動エネルギー、${\displaystyle K}$は次のように定義されます（#運動エネルギーを参照）。

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

運動エネルギーの関数としての速度は次のように表される。

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

空間運動量は次のように表すことができます。${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ニュートン力学の形式を維持し、ニュートン質量を相対論的質量に置き換える。しかし、この置き換えは、力や運動エネルギーなどの一部の量ではうまくいかない。さらに、相対論的質量はローレンツ変換の下で不変ではないが、静止質量は不変である。このため、多くの人は静止質量を使用し、${\displaystyle \gamma }$4次元速度または座標時間を通して明示的に表現する。

エネルギー、運動量、速度の間の単純な関係は、エネルギーと運動量の定義から、エネルギーに${\displaystyle \mathbf {v} }$運動量を乗算すると${\displaystyle c^{2}}$、そして2つの式が等しいことに注目すると、

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$この式をで割ると、消去できます。${\displaystyle c}$そして、正方形化、

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

エネルギーの定義を${\displaystyle \gamma }$そして、正方形化、

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

そして、以下のように置き換える。

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

これは相対論的なエネルギー・運動量関係である。

エネルギーが${\displaystyle E}$そして勢い${\displaystyle \mathbf {p} }$測定される基準系によって、その量は異なります。${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$は不変です。その値は${\displaystyle -c^{2}}$4元運動量ベクトルの大きさの2乗倍。

システムの不変質量は次のように表される。

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

運動エネルギーと結合エネルギーのため、この量は系を構成する粒子の静止質量の合計とは異なります。ニュートン力学とは異なり、特殊相対性理論では静止質量は保存量ではありません。しかし、物体が内部的に変化していても、周囲とエネルギーや運動量を交換しない限り、その静止質量は変化せず、どの基準系でも同じ結果で計算できます。

相対論的エネルギー・運動量方程式は、質量のない粒子_（m₀ = 0）であっても、すべての粒子に対して成り立つ。この場合：

${\displaystyle E=pc}$

Ev  = c ² pに代入すると、v = cとなり、質量のない粒子（光子など）は常に光速で移動することがわかります。   

複合系の静止質量は、一般的に構成要素の静止質量の合計とはわずかに異なることに注意してください。これは、静止系において、構成要素の運動エネルギーによって質量が増加し、（負の）結合エネルギーによって質量が減少するためです。特に、仮想的な「光の箱」は、運動量が相殺されるため静止質量を持たない粒子で構成されていても、静止質量を持つことになります。

系の不変質量の上記の式を見ると、単一の質量を持つ物体が静止しているとき（v = 0、p = 0）、質量がゼロでないことがわかります。m 0 = E / c ^{2 。対応するエネルギーは、単一の粒子が静止しているときの全エネルギーでもあり、「静止エネルギー」と呼ばれます。運動}_する慣性系から見ると、粒子の系では全エネルギーと運動量が増加します。しかし、単一の粒子の場合、静止質量は一定のままであり、粒子の系の場合、不変質量は一定のままです。これは、どちらの場合も、エネルギーと運動量の増加が互いに減算し、相殺されるためです。したがって、粒子の系の不変質量は、単一の粒子の静止質量と同様に、すべての観測者に対して計算された定数となります。

粒子系の場合、エネルギー・運動量方程式では、粒子の運動量ベクトルを合計する必要がある。

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

すべての粒子の運動量の合計がゼロになる慣性系は、運動量中心系と呼ばれます。この特別な系では、相対論的エネルギー・運動量方程式においてp = 0 となり、したがって系の不変質量は、系のすべての部分の総エネルギーをc ^{2で割った値として与えられます。}

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

これは、全運動量がゼロとなる座標系で測定されるあらゆる系の不変質量であり、例えば、天秤に載せた高温ガスのボトルなどがこれに該当します。このような系では、天秤が測定する質量が不変質量であり、系の全エネルギーに依存します。したがって、分子の静止質量の合計よりも大きく、系全体の全エネルギーも含まれます。エネルギーや運動量と同様に、孤立系の不変質量は、系が完全に閉じている限り（質量やエネルギーの出入りが一切許されない限り）、変化しません。なぜなら、系に出入りするものがない限り、系の全相対論的エネルギーは一定に保たれるからです。

このような系のエネルギーの増加は、系を運動量中心系ではない慣性系に移動させることによって生じ、不変質量の増加を伴わずにエネルギーと運動量の増加を引き起こします。ただし、 E = m ₀ c ²は、運動量の合計がゼロになる運動量中心系にある孤立系にのみ適用されます。

この式を額面通りに受け取ると、相対性理論では質量は単に別の名前のエネルギー（そして異なる単位で測定される）であることがわかります。1927年にアインシュタインは特殊相対性理論について、「この理論では質量は不変の大きさではなく、エネルギー量に依存する（そして実際にはエネルギー量と同一である）大きさである」と述べています。^{[ 5 ]}

完全に閉じた系（すなわち孤立系）では、全エネルギー、全運動量、そして全不変質量が保存されます。しかし、質量の変化に関するアインシュタインの公式は、最も単純な Δ E = Δ mc²^の形にしか変換できません。これは、エネルギーが（例えば熱や光として）逃げ出す非閉鎖系においてのみ成り立ち、その結果、不変質量が減少します。アインシュタインの式は、このような系は、上記の公式に従って、周囲に放出するエネルギーに比例して質量を失うことを示しています。逆に、熱と光を放出する反応を起こす前の系と、反応後に熱と光が逃げ出した後の系の質量の差を測定できれば、系から逃げ出したエネルギーの量を推定することができます。

相対論的力学では、時間とともに変化する質量モーメント

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

および軌道3角運動量

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

点状粒子の 4 次元ベクトルは、粒子の4 次元位置Xと 4 次元運動量Pに関して結合されます。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

ここで、∧ は外積を表します。このテンソルは加法性を持ちます。システムの全角運動量は、システムを構成する各要素の角運動量テンソルの合計です。したがって、離散粒子の集合体の場合、粒子ごとに角運動量テンソルを合計するか、連続的な質量分布の範囲にわたって角運動量の密度を積分します。

これら6つの構成要素はそれぞれ、他の対象や場に対応する構成要素と組み合わせることで、保存量となる。

特殊相対性理論では、ニュートンの第二法則はF = m aの形では成り立たないが、次のように表現すれば成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

ここで、p = γ( v ) m ₀ vは上記で定義した運動量であり、m _0は不変質量である。したがって、力は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

したがって、古い文献の中には、γ( v ) ³ m _0を縦方向質量、γ( v ) m _0を横方向質量と呼ぶものがあり、後者は数値的には相対論的質量と同じである。特殊相対性理論における質量を参照のこと。

これを逆算して力から加速度を計算すると、次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

この節で説明する力は、古典的な3次元力であり、4元ベクトルではありません。この3次元力は、ニュートンの運動第三法則に従う力であるため、適切な力の概念です。これは、物体の共動座標系における3次元力をあたかも4元ベクトルであるかのように変換した、いわゆる4元力と混同してはなりません。ただし、3次元力の密度（単位4元体積あたりに伝達される線運動量）は、伝達される動力密度の負の値と組み合わせると、4元ベクトル（重量密度＋1）になります。

点状粒子に作用するトルクは、上記の角運動量テンソルを固有時間に関して微分したものとして定義される。^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

またはテンソル成分で表すと次のようになります。

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

ここで、Fは事象Xにおいて粒子に作用する 4 次元の力である。角運動量と同様に、トルクは加算性を持つため、広がりを持つ物体の場合、質量分布全体にわたって合計または積分する。

仕事エネルギー定理^{[ 12 ]}によれば、運動エネルギーの変化は物体に対して行われた仕事に等しい。特殊相対性理論では、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

初期状態で物体が静止していた場合、v ₀  =  0 および γ ₀ ( v ₀ )  =  1 であり、最終状態で速度v ₁  = vを持ち、γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ) と設定すると、運動エネルギーは次のようになります。   

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

静止エネルギーm ₀ c ²を全相対論的エネルギー γ( v ) m ₀ c ²から差し引くことによって直接得られる結果。

ローレンツ因子γ( v )は、 ( v / c ) ² < 1の場合、テイラー級数または二項級数に展開でき、次の式が得られる。

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

そして結果として

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots$ ;}

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

光速よりもはるかに小さい速度の場合、分母のc²以上^の項は無視できる。これらの式は、ニュートン力学における運動エネルギーと運動量の標準的な定義に帰着する。これは当然のことである。なぜなら、特殊相対性理論は低速域においてニュートン力学と整合しなければならないからである。