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数学、論理学、数学哲学において、非述語的とは自己参照的な定義のことである。大まかに言えば、定義が非述語的であるのは、定義される集合、あるいは（より一般的には）定義されるものを含む別の集合を想起（言及または量化）する場合である。述語的であること、あるいは非述語的であることの意味について、一般的に受け入れられている厳密な定義は存在しない。著者によって、異なるが関連性のある定義が与えられている。
非述語性の反対は述語性であり、これは本質的に、ある「レベル」での型の量化が、より高次の新しいレベルの型をもたらすような、階層化された（あるいは分岐した）理論を構築することを意味する。典型的な例は直観主義型理論であり、これは（明示的なレベルは持たないものの）分岐性を保持することで非述語性を否定している。ここでいう「レベル」は、用語定義における依存関係の階層数に対応する。
ラッセルのパラドックスは、非述語的構成の有名な例である。すなわち、自身を含まないすべての集合の集合である。パラドックスは、そのような集合が存在し得ないという点にある。もし存在するとすれば、それが自身を含むかどうかという疑問が生じる。もし含むならば、定義上、自身を含まないはずであり、含まないならば、定義上、自身を含むはずである。
集合Xの最大下限glb ( X )にも非述語的な定義があります。すなわち、y = glb( X )は、Xのすべての要素xに対してy以下であり、Xのすべての要素以下の任意のz がy以下である場合に限ります。この定義は、集合 (問題となる順序によっては無限大になる可能性あり) を量化しており、その要素の1 つは glb 自体です。したがって、述語主義はこの定義を拒否します。[ 1 ]
クラスを定義しない規範（1つの変数を含む）を非述語的と呼ぶことを提案し、クラスを定義する規範を述語的と呼ぶことにする。
「述語的」と「非述語的」という用語はバートランド・ラッセルによって導入されたが、その意味はその後少し変化している。
ソロモン・フェファーマンは述語性の歴史的概観を提供し、それを現在の未解決の研究課題と結びつけている。[ 2 ]
悪循環原理は、パラドックスの後にアンリ・ポアンカレ（1905-6年、1908年）[ 3 ]とバートランド・ラッセルによって、正当な集合仕様の要件として提案されました。この要件を満たさない集合は非述語的と呼ばれます。
最初の近代的なパラドックスは、チェーザレ・ブラリ＝フォルティの1897年の論文「超限数に関する問題」[ 4 ]で現れ、ブラリ＝フォルティのパラドックスとして知られるようになった。ゲオルク・カントールは、自身の「素朴な」集合論において同じパラドックスを発見したようで、これはカントールのパラドックスとして知られるようになった。ラッセルがこの問題に気づいたのは、1901年6月[ 5 ]、フレーゲの数学的論理に関する論文、1879年の「概念書」を読んだことがきっかけだった。フレーゲの論文で問題となっている文は次の通りである。
一方、引数が確定していて関数が不確定である場合もある。[ 6 ]
言い換えれば、f ( a )が与えられたとき、関数fは変数であり、aは不変部分である。では、 f ( a )の値をf自体に置き換えてみてはどうだろうか？ラッセルはすぐにフレーゲに手紙を書き、次のように指摘した。
あなたは、関数もまた不定要素として作用できると述べています。私は以前はそう信じていましたが、次の矛盾のために、この見解は疑わしいと思われます。w を述語とします。つまり、それ自体を述語とすることができない述語です。w はそれ自体を述語として表すことができますか？それぞれの答えから、その反対が導き出されます。したがって、 wは述語ではないと結論付けなければなりません。同様に、全体として捉えた場合、それ自体に属さないクラスのクラス（全体として）は存在しません。このことから、特定の状況下では、定義可能な集合は全体を形成しないと結論付けます。[ 7 ]
フレーゲはすぐにラッセルに返信し、問題点を認めた。
あなたがその矛盾を発見したことは、私にとって大きな驚きであり、ほとんど当惑と言ってもいいでしょう。なぜなら、それは私が算術を構築しようとしていた基礎を揺るがしたからです。[ 8 ]
この問題は両者にとって個人的に不利な結果をもたらしたが（両者とも印刷所に原稿があり、修正しなければならなかった）、ヴァン・ヘイエノールトは「このパラドックスは論理学者の世界を揺るがし、その余波は今日でも感じられる。…集合と要素という単純な概念を用いるラッセルのパラドックスは、まさに論理学の領域に属する。このパラドックスはラッセルが『数学の原理』（1903年）で初めて発表し、そこで詳細に議論されている…」と述べている。[ 9 ]ラッセルは6年間の試行錯誤の末、最終的に1908年の型理論で「還元可能性の公理を提唱」してこの問題に答えた。「それは、任意の関数は、彼が述語関数と呼ぶものと同一範囲である、つまり、見かけ上の変数の型が引数の型よりも高くならない関数である」と述べている。[ 10 ]しかし、この「公理」はあらゆる方面から抵抗を受けた。
非述語的に定義された数学的対象を拒否する（ただし、自然数は古典的な理解どおりに受け入れる）と、数学哲学において述語主義として知られる立場に至る。これはアンリ・ポアンカレとヘルマン・ワイルが著書『連続体』の中で提唱したものである。ポアンカレとワイルは、非述語的定義が問題となるのは、一つ以上の基礎となる集合が無限集合である場合に限られると主張した。
エルンスト・ツェルメロは、 1908年の著書『整列の可能性に関する新しい証明』[ 11 ]の中で、「b.非述語的定義に関する反論」という章全体を提示し、そこで「ポアンカレ（1906年、307頁 ）[は]定義が『述語的』であり論理的に許容されるのは、定義された概念に依存するすべての対象、つまり、何らかの方法で定義できるすべての対象を排除する場合に限られると述べている」 [ 12 ]に反論している。彼は非述語的定義の例として、 (i) デデキント連鎖の概念と、(ii)「解析学において、以前に定義された『完全な』数の集合Zの最大値または最小値が、さらなる推論に使用される場合。これは、例えば、よく知られているコーシーの証明で起こる…」の2つを挙げている。[ 13 ]彼はその節を次の観察で締めくくっている。「定義は、定義される概念と同等の概念に依拠することが十分あり得る。実際、あらゆる定義において定義されるものと定義されるものは同等の概念であり、ポアンカレの要求を厳密に遵守すると、あらゆる定義、ひいては科学全体が不可能になるだろう。」[ 14 ]
ツェルメロが以前に定義した「完全な」数の集合の最小値と最大値の例は、クリーネ1952:42-42 に再び登場し、クリーネは非述語的定義の議論の中で最小上界の例を使用していますが、この問題を解決していません。次の段落で、彼は、ワイルが 1918 年のDas Kontinuum (連続体) で非述語的定義を排除しようとした試みと、「上界を持つ任意の空でない実数集合Mは最小上界を持つという定理(ワイル 1919 も参照)」を維持できなかったことについて議論しています。[ 15 ]
ラムジーは、「非述語的」な定義は無害であると主張した。たとえば、「部屋で一番背の高い人」という定義は、それが要素となっているものの集合、つまり部屋にいるすべての人の集合に依存しているため、非述語的である。数学に関して言えば、非述語的定義の例として、集合内の最小数があり、これは正式には次のように定義される。y = min ( X )は、 Xのすべての要素xに対して、yがx以下であり、かつyがXに含まれる場合に限る。
バージェス（2005）は、フレーゲの論理学、ペアノ算術、二階算術、公理的集合論の文脈で、述語的理論と非述語的理論について詳しく論じている。