勾配

ユークリッド計量を持つ3次元デカルト座標系において、勾配が存在する場合、それは次のように与えられる。

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

ここで、 i、j、kはそれぞれx、y、z座標の方向における標準単位ベクトルである。

例えば、関数の勾配 $${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$ は $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$ または $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

一部のアプリケーションでは、勾配を直交座標系における成分の行ベクトルまたは列ベクトルとして表現するのが一般的ですが、この記事では、勾配を列ベクトル、導関数を行ベクトルとする慣例に従います。

円筒座標では、勾配は次のように与えられます。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$$

ここで、_{ρは軸方向距離、φは方位角、zは軸方向座標、eρ}、 eφ 、 ezは座標方向に沿っ_た単位ベクトルである_。

ユークリッド距離を用いた球面座標では、勾配は次のように与えられる。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$$

ここで、 rは半径方向の距離、φは方位角、θは極角であり、e _r、e _θ、e _φは座標方向を指す局所単位ベクトルです (つまり、正規化された共変基底)。

他の直交座標系における勾配については、「直交座標（3次元における微分演算子）」を参照してください。

一般座標を考えます。これをx ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿと表記します。ここでnは領域の次元数です。ここで、上付き添え字は座標または成分のリスト内の位置を表すため、x ^2はx の二乗ではなく、2 番目の成分を表します。添え字iは任意の要素x ⁱを表します。アインシュタイン記法を用いると、勾配は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$（その双対は$\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$)

どこ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$そして$\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$それぞれ非正規化局所共変基底と反変基底を参照する。${\displaystyle g^{ij}}$は逆計量テンソルであり、アインシュタインの総和規約はi とjに関する総和を意味する。

座標が直交している場合、勾配（および微分）を正規化された基底で簡単に表現できます。これを と呼びます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$そして ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$スケールファクター（ラメ係数とも呼ばれる） を使用して${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$ :

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$（そして${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$)

2 つ以上の添え字の繰り返しを避けることができないため、アインシュタイン記法を使用することはできません。上付き添え字と下付き添え字を使用しても、${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$、${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$、 そして${\displaystyle h_{i}}$それらは反変でも共変でもない。

後者の式は、円筒座標と球座標について上述した式に評価されます。

勾配は全微分（全微分）と密接に関係している${\displaystyle df}$: これらは互いに転置（双対）です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は列ベクトルで表され、共ベクトル（線形マップ）は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$）は行ベクトルで表され、^{[ a ]}勾配${\displaystyle \nabla f}$そしてその導関数${\displaystyle df}$これらはそれぞれ、同じ成分を持つが互いに転置された列ベクトルと行ベクトルとして表現される。

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$$${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

これらはどちらも同じ構成要素を持っていますが、どのような数学的対象を表しているかが異なります。各点において、導関数は余接ベクトルであり、与えられた（ベクトル）入力の微小変化に対して（スカラー）出力がどれだけ変化するかを表す線形形式（または共ベクトル）です。一方、各点において、勾配は接ベクトルであり、（ベクトル）入力の微小変化を表します。記号で表すと、勾配は点における接空間の要素です。${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$一方、導関数は接空間から実数への写像であり、${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$各点における接空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ベクトル空間と「自然に」同一視できる^{[ e ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それ自体と同様に、各点における余接空間は双対ベクトル空間と自然に同一視できる。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$共ベクトルの。したがって、ある点における勾配の値は、元のベクトルではベクトルと考えることができる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$単なる接線ベクトルとしてではなく。

計算上、接線ベクトルが与えられた場合、そのベクトルに導関数（行列として）を乗算することができます。これは、勾配との 内積を取ることと同じです。$${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

U をR ⁿの開集合とする。関数f : U → Rが微分可能であれば、 fの微分はfのフレシェ微分である。したがって、∇ fはUから空間R ⁿへの関数であり、 $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$ ここで、・は内積を表します。

その結果、勾配はそれ自体が導関数ではなく、導関数の双対であるにもかかわらず、導関数の通常の性質は勾配にも当てはまる。

線形性

勾配は、fとg が点a ∈ R ⁿで微分可能な 2 つの実数値関数であり、αとβが 2 つの定数である場合、αf + βg がaで微分可能であり、さらに$${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

プロダクトルール

fとg が点a ∈ R ⁿで微分可能な実数値関数である場合、積の法則は、積fgが点aで微分可能であることを主張し、$${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

連鎖律

f  : A → RはR ⁿの部分集合A上で定義された実数値関数であり、fは点aで微分可能であるとします。勾配に適用される連鎖律には 2 つの形式があります。まず、関数gがパラメトリック曲線であるとします。つまり、関数g : I → R ⁿは Rの部分集合I ⊂ RをR ⁿに写像します。gが点c ∈ Iでg ( c ) = aとなるように微分可能である場合、 $${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$ここで、∘ は合成演算子です。( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x ))。

より一般的に、 I ⊂ R ^kの場合、以下が成り立つ。 $${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$ ここで( Dg ) ^Tは転置ヤコビ行列を表す。

連鎖律の2番目の形式については、h  : I → R がRの部分集合I上の実数値関数であり、h が点f ( a ) ∈ Iで微分可能であると仮定します。すると、 $${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

等値面とは、ある関数が特定の値をとるすべての点の集合のことである。

f が微分可能であれば、点 x における勾配とベクトル v の内積 (∇ f ) x ⋅ v は、方向vにおける点xでのf_の方向微分を与えます。したがって、この場合、fの勾配はfのレベル集合に直交します。例えば、3 次元空間におけるレベル面は、 F ( x , y , z ) = cの形の方程式で定義されます。この場合、 Fの勾配はレベル面に垂直です。

より一般的に言えば、リーマン多様体内の任意の埋め込み超曲面は、 dFがどこにもゼロにならないようなF ( P ) = 0の形の方程式によって切り出すことができる。このとき、 Fの勾配は超曲面に垂直となる。

同様に、アフィン代数超曲面は、Fを多項式とする方程式F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0で定義できます。超曲面の特異点では、 Fの勾配はゼロになります（これが特異点の定義です）。非特異点では、勾配はゼロでない法線ベクトルになります。

関数の勾配は勾配場と呼ばれます。連続勾配場は常に保存ベクトル場です。つまり、任意の経路に沿った線積分は経路の両端点のみに依存し、勾配定理（線積分に関する微積分学の基本定理）によって計算できます。逆に、連続保存ベクトル場は常に関数の勾配です。

関数の勾配${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$点xは、最も急な上昇方向でもある。つまり、方向微分が最大となる方向である。

させて${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$は任意の単位ベクトルとする。方向微分は次のように定義される。

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},}$$

関数を代入すると、${\displaystyle f(x+vh)}$テイラーシリーズでは、

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},}$$

どこ${\displaystyle R}$は、${\displaystyle vh}$。

で割る${\displaystyle h}$、極限を取ると、コーシー・シュワルツの不等式^{[ 8 ]によって上から制限される項が得られます。}

$${\displaystyle |\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq ||\nabla f||||v||=||\nabla f||.}$$

選択する${\displaystyle v^{*}=\nabla f/||\nabla f||}$方向微分を最大化し、上限に等しい

$${\displaystyle |\nabla _{v^{*}}f(x)|=||\nabla f||^{2}/||\nabla f||=||\nabla f||.}$$

ヤコビ行列は、複数の変数のベクトル値関数と、ユークリッド空間間またはより一般的には多様体間の微分可能な写像に対する勾配の一般化である。^{[ 9 ] [ 10 ]}バナッハ空間 間の関数に対するさらなる一般化は、フレシェ微分である。

f  : R ⁿ → R ^{m を}、その各一次偏導関数がℝ ⁿ上に存在するような関数とします。このとき、 fのヤコビ行列はm × n行列として定義され、次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$または単に${\displaystyle \mathbf {J} }$( i , j )番目のエントリは${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$明示的に $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

ベクトル場の全微分はベクトルからベクトルへの線形写像であるため、テンソル量である。

直交座標系において、ベクトル場f = ( f ¹ , f ² , f ³ )の勾配は次のように定義される。

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

（ここでアインシュタインの総和表記法が用いられ、ベクトルe _iとe _kのテンソル積は (2,0) 型の二進テンソルである。）全体として、この式はヤコビ行列の転置に等しい。

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

曲線座標系、あるいはより一般的には曲がった多様体上では、勾配にはクリストッフェル記号が含まれる。

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

ここで、g ^jkは逆計量テンソルの成分であり、e _iは座標基底ベクトルである。

より不変的に表現すると、ベクトル場fの勾配は、レヴィ・チヴィタ接続と計量テンソルによって定義できます。 ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

ここで、∇c_は接続を表します。

リーマン多様体( M , g )上の任意の滑らかな関数fに対して、 fの勾配は、任意のベクトル場Xに対して、次のようになるベクトル場∇ fである。 $${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$ つまり、 $${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$ ここで、g _x ( , )は計量gによって定義されるxにおける接ベクトルの内積を表し、∂ _X fは任意の点x ∈ Mを、xで評価された方向Xにおけるfの方向微分に変換する関数です。言い換えれば、Mの開集合からR ⁿの開集合への座標チャートφにおいて、(∂ _X f )( x )は次のように与えられます。 $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$ ここで、X ^{j は}この座標図におけるXのj番目の成分を表す。

したがって、勾配の局所形式は次のようになります。

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

M = R ⁿの場合を一般化すると、関数の勾配は外微分と関連している。 $${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$ より正確には、勾配∇fは、音楽的同型性を用いて微分1形式dfに関連付けられたベクトル場である。$${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$ （「シャープ」と呼ばれる）は、計量gによって定義される。R ⁿ上の関数の外微分と勾配の関係は、計量が内積によって与えられる平坦な計量である場合の、この関係の特殊なケースである。