長さの収縮

長さの収縮とは、動いている物体の長さがその物体自体の静止系で測定された固有長よりも短く測定される現象である。^[1]これはローレンツ収縮またはローレンツ・フィッツジェラルド収縮（ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フランシス・フィッツジェラルドにちなんで）としても知られており、通常は光速のかなりの部分でのみ顕著である。長さの収縮は物体が移動している方向にのみ起こる。標準的な物体の場合、この効果は日常的な速度では無視でき、通常の目的では無視できるが、物体が観察者に対して光速に近づくと重要になる。

長さの収縮は、ジョージ・フィッツジェラルド(1889) とヘンドリック・アントーン・ローレンツ(1892)によって、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明し、静止エーテルの仮説 (ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説) を救うために提唱された。^{[2] [3]} フィッツジェラルドとローレンツはどちらも、運動する静電場が変形するという事実 ( 1888年に電磁気理論からこの変形を導き出したオリバー・ヘビサイドにちなんで「ヘビサイド楕円体」) に言及したが、当時は分子間力が電磁力と同じように動作すると仮定する十分な根拠がなかったため、それはアドホック仮説であると考えられていた。1897年、ジョセフ・ラーモアはすべての力が電磁気起源であると考えられるモデルを開発し、長さの収縮はこのモデルの直接的な結果のように思われた。しかし、アンリ・ポアンカレ（1905）は、電磁力だけでは電子の安定性を説明できないことを示した。そのため、彼は別のアドホック仮説を導入しなければならなかった。それは、電子の安定性を確保し、長さの収縮を動的に説明し、静止したエーテルの運動を隠す非電気的な結合力（ポアンカレ応力）である。 ^[4]

アルバート・アインシュタイン（1905）は、実験データではなく彼の仮説から収縮仮説を導き出すことで、収縮仮説のアドホックな性質を取り除いたとされている^{[4] 。 [5]} ヘルマン・ミンコフスキーは、 4次元時空の概念を導入することで、すべての相対論的効果の幾何学的解釈を与えた^[6]。

まず、静止している物体と動いている物体の長さを測定する方法を注意深く検討する必要があります。^[7]ここで、「物体」とは、端点が常に互いに静止している距離、つまり同じ慣性基準系内で静止している距離を意味します。観測者（または測定機器）と観測対象物体の相対速度がゼロの場合、物体の正しい長さは 、測定棒を直接重ね合わせるだけで簡単に決定できます。ただし、相対速度がゼロより大きい場合は、次のように進めることができます。 ${\displaystyle L_{0}}$

観測者は、a)ポアンカレ・アインシュタイン同期に従って光信号を交換することによって同期されるか、b) 「低速時計輸送」、つまり、1 つの時計が輸送速度がゼロになる極限で時計の列に沿って輸送されることによって同期される時計の列を設置します。同期プロセスが完了すると、物体は時計の列に沿って移動し、すべての時計は物体の左端または右端が通過した正確な時刻を保存します。その後、観測者は、物体の左端が通過した時刻を保存した時計 A と、物体の右端が同時に通過した時計 B の位置を見るだけで済みます。距離 AB は、移動する物体の長さに等しいことは明らかです。 ^{[7]この方法を使用すると、}同時性の定義は、移動する物体の長さを測定するために重要になります。 ${\displaystyle L}$

もう一つの方法は、棒の静止系にある時計で測定された時間で棒の一方の端からもう一方の端まで移動する、固有時間 を示す時計を使用することです。棒の長さは、棒の静止系または時計の静止系での移動時間と速度を掛けることで計算できます。 ^[8]${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$

ニュートン力学では、同時性と持続時間は絶対的であるため、どちらの方法でも とは等しくなります。しかし、相対性理論では、同時性と時間の遅れの相対性と関連して、すべての慣性系における光速度の不変性がこの等しさを破壊します。最初の方法では、1 つの慣性系の観測者がオブジェクトの端点を同時に測定したと主張しますが、他のすべての慣性系の観測者は、オブジェクトの端点が同時に測定されなかったと主張します。2 番目の方法では、時間の遅れにより 時間とは等しくなく、長さも異なります。${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

すべての慣性系における測定値の偏差は、ローレンツ変換と時間の遅れの公式によって与えられます（導出を参照）。固有長は変化せず、常に物体の最大長を表しますが、同じ物体を別の慣性系で測定すると、固有長よりも短くなります。この収縮は運動の線に沿ってのみ発生し、次の関係式で表すことができます。

${\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}$

どこ

• ${\displaystyle L}$物体に対して運動している観測者によって観測される長さである。
• ${\displaystyle L_{0}}$適切な長さ（静止フレームにおける物体の長さ）
• ${\displaystyle \gamma (v)}$はローレンツ因子であり、次の ように定義される。$${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$
  • ${\displaystyle v}$観測者と移動物体間の相対速度である
  • ${\displaystyle c}$光の速度は

元の式でローレンツ因子を置き換えると、次の関係式が得られる。

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

この式では、 と は両方とも物体の移動線に平行に測定されます。相対的に移動している観測者にとって、物体の長さは、同時に測定された物体の両端の距離を減算することによって測定されます。より一般的な変換については、ローレンツ変換を参照してください。光速に非常に近い速度で移動する物体を観察する静止した観測者は、移動方向の物体の長さをゼロに非常に近いものとして観察します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$

そして、13 400 000  m/s (3000万mph、0.0447 c ) 収縮時の長さは静止時の長さの99.9%です。42 300 000  m/s (9500万mph、0.141 c ) でも、長さは依然として 99% です。速度の大きさが光速に近づくにつれて、その効果は顕著になります。

相対性原理（慣性系を越えて自然法則は不変であるという原理）では、長さの収縮は対称的であることが要求される。つまり、棒が慣性系 内で静止している場合、その棒の固有長は で、長さは で収縮している。しかし、棒が 内で静止している場合、その棒の固有長は で、長さは で収縮している。これは、対称ミンコフスキー図 を使って鮮明に図示することができる。なぜなら、ローレンツ変換は幾何学的に 4 次元時空における回転に対応するからである。^{[9] [10]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$

磁力は、電子が原子核に対して相対的に動くときに相対的に収縮することによって生じます。電流が流れる電線の隣を移動する電荷に働く磁力は、電子と陽子の相対的な動きの結果です。^{[11] [12]}

1820 年、アンドレ＝マリー・アンペールは、同じ方向に電流が流れる平行な電線が互いに引き合うことを証明しました。電子の基準系では、動いている電線がわずかに収縮し、反対側の電線の陽子が局所的に密度が高くなります。反対側の電線の電子も動いているため、収縮しません (それほどではありません)。この結果、電子と陽子の間に見かけ上の局所的な不均衡が生じます。つまり、一方の電線で動いている電子は、もう一方の電線の余分な陽子に引き付けられます。逆の場合も考えられます。静的な陽子の基準系では、電子は動いて収縮し、同じ不均衡が生じます。電子のドリフト速度は比較的非常に遅く、1 時間あたり 1 メートル程度ですが、電子と陽子の間の力は非常に大きいため、この非常に遅い速度であっても、相対論的な収縮が大きな影響を及ぼします。

この効果は、電流が電子スピンに置き換えられた、電流のない磁性粒子にも適用されます。^{[引用が必要]}

観測対象物体と共に動く観測者は、物体の収縮を測定することはできない。なぜなら、相対性原理（トラウトン・ランキン実験で実証されたように）に従って、観測者自身と物体は同じ慣性系で静止していると判断できるからである。したがって、長さの収縮は物体の静止系では測定できず、観測対象物体が運動している系でのみ測定できる。さらに、そのような非共動系であっても、長さの収縮を直接実験的に確認することは困難である。その理由は、(a) 現在の技術水準では、かなり伸びた物体を相対論的な速度まで加速することはできず、(b) 必要な速度で移動する物体は原子粒子だけであり、その空間的伸びは収縮を直接測定するには小さすぎるからである。

しかし、非共動フレームではこの効果が 間接的に確認されています。

• これは有名な実験の否定的な結果であり、長さの収縮の導入が必要となった:マイケルソン・モーリーの実験(後にケネディ・ソーンダイクの実験も)。特殊相対性理論では、次のように説明される: 静止系では、干渉計は相対性原理に従って静止していると見なすことができるため、光の伝播時間はすべての方向で同じである。干渉計が動いている系では、横方向のビームは動かない系に対してより長い対角線の経路を通過する必要があるため移動時間は長くなるが、縦方向のビームが順方向と逆方向の移動にそれぞれL /( c − v ) とL /( c + v ) の時間をかけることで遅延される係数はさらに長くなる。したがって、否定的な実験結果に従って両方の移動時間の等しさを回復するために、縦方向では干渉計を収縮させる必要があると考えられる。したがって、光の双方向の速度は一定に保たれ、干渉計の垂直アームに沿った往復の伝播時間は干渉計の動きと方向に依存しません。
• 地球の基準系で測定された大気の厚さを考えると、ミューオンの寿命は極めて短いため、たとえ光速であっても地表まで到達することはできないはずであるが、それでも地表まで到達する。しかし、地球の基準系から見ると、これは時間の遅れによってミューオンの時間が遅くなることによってのみ可能となる。しかし、ミューオンの基準系では、大気が収縮して移動距離が短くなることによってこの効果が説明される。^[13]
• 静止時には球形である重イオンは、ほぼ光速で移動すると「パンケーキ」または平らな円盤の形をとるはずです。実際、粒子衝突から得られる結果は、長さの収縮による核子密度の増加を考慮した場合にのみ説明できます。^{[14] [15] [16]}
• 相対速度が大きい荷電粒子のイオン化能力は予想以上に高い。相対論以前の物理学では、運動中のイオン化粒子が他の原子や分子の電子と相互作用できる時間が短くなるため、イオン化能力は高速度では低下するはずである。しかし、相対論では、予想以上に高いイオン化能力は、イオン化粒子が運動しているフレーム内のクーロン場の長さが収縮し、運動線に垂直な電界強度が増加するためであると説明できる。^{[13] [17]}
• シンクロトロンや自由電子レーザーでは、相対論的電子がアンジュレータに注入され、シンクロトロン放射が発生する。電子の適切なフレームでは、アンジュレータが収縮し、放射周波数が増加する。さらに、実験室フレームで測定された周波数を見つけるには、相対論的ドップラー効果を適用する必要がある。したがって、長さの収縮と相対論的ドップラー効果の助けを借りてのみ、アンジュレータ放射の極めて短い波長を説明できる。^{[18] [19]}

1911年、ウラジミール・ヴァリチャクは、ローレンツによれば長さの収縮は客観的に見られるが、アインシュタインによればそれは「時計の調整と長さの測定方法によって引き起こされる、見かけ上の主観的な現象にすぎない」と主張した。^{[20] [21]}アインシュタインは反論を発表した。

著者は、物理的事実に関してローレンツの見解と私の見解の相違を不当に述べた。長さの収縮が本当に存在するかどうかという問題は誤解を招く。共動観測者にとっては存在しない限り、それは「本当に」存在しない。しかし、共動観測者ではない観測者によって物理的手段で原理的に実証できるような形では「本当に」存在する。 [ ^22]

— アルバート・アインシュタイン、1911年

アインシュタインはまた、その論文の中で、長さの収縮は単に時計の調整や長さの測定方法に関する恣意的な定義の産物ではないと主張した。彼は次のような思考実験を提示した。A'B' と A"B" を、それぞれ x' と x" で測定された同じ固有長さL ₀の 2 本の棒の端点とする。これらを x* 軸に沿って反対方向に動かし、静止しているものとし、軸に対して同じ速度で動かす。端点 A'A" は点 A* で交わり、B'B" は点 B* で交わる。アインシュタインは、長さ A*B* は A'B' や A"B よりも短いことを指摘したが、これは棒の 1 本をその軸に対して静止させることによっても実証できる。^[22]

収縮公式​​の表面的な適用により、いくつかのパラドックスが発生する可能性があります。例としては、はしごのパラドックスやベルの宇宙船のパラドックスがあります。ただし、これらのパラドックスは、同時性の相対性を正しく適用することで解決できます。別の有名なパラドックスはエーレンフェストのパラドックスで、これは剛体の概念が相対性理論と互換性がないことを証明し、ボルンの剛性の適用可能性を低下させ、共回転する観測者にとって幾何学が実際には非ユークリッドであることを示しています。

長さの収縮とは、座標系に従って同時に行われた位置の測定を指します。これは、高速で移動する物体の写真を撮ることができれば、その画像では物体が移動方向に収縮しているように見えることを示唆している可能性があります。ただし、このような視覚効果は、写真が遠くから撮影されるのに対し、長さの収縮は物体の端点の正確な位置でのみ直接測定できるため、まったく異なる測定です。ロジャー・ペンローズやジェームズ・テレルなどの複数の著者によって、移動している物体は一般に写真上で長さが収縮して見えないことが示されました。^{[23]この結果は}、ビクター・ワイスコフによってPhysics Today の記事で広く知られるようになりました。 ^[24]たとえば、角直径が小さい場合、移動する球は円形のまま回転します。^[25]この種の視覚的な回転効果は、ペンローズ・テレル回転と呼ばれます。^[26]

長さの収縮はいくつかの方法で導き出すことができます。

慣性座標系 S において、運動する物体の端点をと で表す。この座標系では、物体の長さは、上記の慣例に従い、 におけるその端点の同時位置を決定することによって測定される。一方、静止座標系 S' で測定されたこの物体の適切な長さは、ローレンツ変換を使用して計算できる。時間座標を S から S' に変換すると異なる時間になるが、物体は S' では静止しており、端点がいつ測定されるかは問題ではないため、これは問題ではない。したがって、空間座標の変換で十分であり、次のようになる。^[7]${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}$

なので、およびと設定することにより、S'における適切な長さは次のように与えられる。 ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$

したがって、フレーム S で測定された物体の長さは、次の係数で収縮します。 ${\displaystyle \gamma }$

同様に、相対性原理によれば、S 内で静止している物体は S' 内でも収縮する。上記の符号とプライムを対称的に交換すると、次のようになる。

したがって、S方向に静止している物体をS'方向に測定すると、収縮した長さは

逆に、物体がS内にあり、その適切な長さが分かっている場合、物体の位置が常に変化するため、物体の端点における測定の同時性は別のフレームS'で考慮する必要がある。したがって、空間座標と時間座標の両方を変換する必要がある。^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

長さの間隔を計算し、同時に時間測定を仮定し、適切な長さを代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$${\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}$${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}}$

式（２）は

${\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}$

これを(1)に代入すると、 が縮んだ長さ になることが分かります。 ${\displaystyle \Delta x'}$${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$。

同様に、同じ方法は、S' 内で静止している物体に対して対称的な結果をもたらします。

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$。

長さの収縮は時間の遅れからも導かれ、^[28]によれば、1つの「動いている」時計（固有時刻 を示す）の速度は、2つの同期した「休んでいる」時計（を示す）に比べて遅くなります。時間の遅れは実験的に複数回確認されており、次の関係式で表されます。 ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

適当な長さの棒がで静止しており、時計が で静止していて、速度 で互いに動いているとします。相対性原理によれば、相対速度の大きさはどちらの基準系でも同じなので、棒の端点間の時計の移動時間はそれぞれ では 、 では で与えられ、したがっておよびとなります。時間の遅れの公式を代入すると、これらの長さの比は次のようになります。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T=L_{0}/v}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle L_{0}=Tv}$${\displaystyle L'=T'_{0}v}$

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$。

したがって、で測定された長さは次のように表される。 ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$

したがって、時計が棒を横切る時間は では よりも長い（ での時間の遅れ）ため、棒の長さも ではよりも長くなります（ での長さの収縮）。同様に、時計が で静止し、棒が で静止している場合、上記の手順により次の式が得られます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$

追加の幾何学的考察により、長さの収縮は、 E ³での回転の前後の直方体の平行スライスに類似した三角関数の現象と見なすことができることがわかります (右の左半分の図を参照)。これは、 E ^1,2で直方体をブーストすることのユークリッド類似です。ただし、後者の場合、ブーストされた直方体を移動するプレートの 世界スラブとして解釈できます。

画像: 左: 3 次元ユークリッド空間E ^3内の回転した直方体。断面は、回転前よりも回転方向で長くなっています。右: ミンコフスキー時空 (1 つの空間次元が抑制されている) E ^1,2内の移動する薄いプレートの世界スラブ。これはブーストされた直方体です。断面は、ブースト前よりもブースト方向で薄くなっています。どちらの場合も、横方向は影響を受けず、直方体の各コーナーで交わる 3 つの平面は相互に直交しています(右ではE ^1,2の意味で、左ではE ³の意味で)。

特殊相対性理論では、ポアンカレ変換はアフィン変換の一種であり、慣性運動の代替状態（および原点の異なる選択）に対応するミンコフスキー時空上の代替直交座標チャート間の変換として特徴付けられます。ローレンツ変換は、線形変換（原点を保存）であるポアンカレ変換です。ローレンツ変換は、ユークリッド幾何学における回転が果たすのと同じ役割をミンコフスキー幾何学で果たします（ローレンツ群は時空の自己等長変換の等方性群を形成します）。実際、特殊相対性理論は、次の表に示すように、ミンコフスキー時空における 一種の非ユークリッド三角法の研究に大きく帰着します。

• 物理学 FAQ: ローレンツ-フィッツジェラルド収縮を見ることができますか? または: ペンローズ-テレル回転; 納屋とポール