n体問題

物理学において、n体問題とは、重力で相互作用する一群の天体の個々の運動を予測する問題である。^{[1]この問題の解決は、}太陽、月、惑星、目に見える恒星の運動を理解したいという願望によって動機付けられてきた。20世紀には、球状星団の星系のダイナミクスを理解することが重要なn体問題となった。^[2]一般相対性理論におけるn体問題は、時間や空間の歪みなどの追加要因のために、解決がかなり困難である 。

古典的な物理的な問題は、非公式には次のように述べることができます。

天体群の準定常軌道特性（瞬間位置、速度、時間）^[3]が与えられた場合、それらの相互作用力を予測し、その結果、将来のすべての時点におけるそれらの真の軌道運動を予測する。^[4]

二体問題は完全に解かれており、有名な制限 三体問題と同様に以下で議論される。^[5]

惑星の軌道の3つの軌道位置（アイザック・ニュートン卿が天文学者ジョン・フラムスティードから得た位置^[6]）を知っていたニュートンは、単純な解析幾何学によって方程式を作成し、惑星の運動を予測することができました。つまり、位置、軌道直径、周期、軌道速度といった軌道特性を与えることができました。^[7]それを行なったニュートンと他の人たちは、数年かけてすぐに、それらの運動方程式ではいくつかの軌道を正確に予測できなかったり、あまりうまく予測できなかったりすることを発見しました。^[8]ニュートンは、これはすべての惑星間の重力相互作用がすべての軌道に影響を与えているためだと気づきました。

前述の発見は、n 体問題の物理的な本質を直撃しています。ニュートンが理解していたように、惑星の実際の軌道を確立するには、開始位置と速度、または 3 つの軌道位置を提供するだけでは不十分であり、重力相互作用力も認識する必要があります。このようにして、 17 世紀初頭にn体「問題」が認識され、浮上しました。これらの重力引力は、ニュートンの運動法則と万有引力の法則に準拠していますが、多数の多重 ( n体) 相互作用により、歴史的に正確な解決は困難でした。皮肉なことに、この準拠は誤ったアプローチにつながりました。

ニュートンの時代以降、n体問題は歴史的に正しく述べられなくなった。なぜなら、重力相互作用力への言及が含まれていなかったからである。ニュートンは直接的には述べていないが、プリンキピアの中で、重力相互作用力のためにn体問題は解けないと示唆している。[ ^9]ニュートンはプリンキピアの第21段落 で次のように述べている^{[10] 。}

したがって、両方の物体に引力が見られます。太陽は木星と他の惑星を引き付け、木星はその衛星を引き付け、同様に衛星は互いに作用します。そして、一対の惑星のそれぞれの作用は互いに区別することができ、それぞれが他方を引き付ける2つの作用と見なすことができますが、同じ2つの物体の間にある限り、それらは2つではなく、2つの末端間の単純な作用です。2つの物体は、それらの間のロープの収縮によって互いに引き寄せられます。作用の原因は2つ、つまり2つの物体のそれぞれの配置です。作用は、2つの物体に及ぼされる限り、同様に2つあります。しかし、2つの物体の間にある限り、作用は1つで1つです...

ニュートンは、運動の第 3 法則を通じて、「この法則によれば、すべての物体は互いに引き合うはずである」という結論を下しました。重力相互作用力の存在を暗示するこの最後の記述が鍵となります。

以下に示すように、この問題はJean Le Rond D'Alembertの非ニュートン第一原理と第二原理、および非線形n体問題アルゴリズムにも準拠しており、後者は相互作用する力を計算するための閉じた形式のソリューションを可能にします。

n体問題の一般解を見つけるという問題は非常に重要かつ挑戦的であると考えられていました。実際、19 世紀後半にスウェーデン国王オスカル 2 世は、イェスタ ミッタク レフラーの助言のもと、この問題の解を見つけた人に賞金を与えることになりました。その発表は非常に具体的なものでした。

ニュートンの法則に従って互いに引き合う任意の数の質点のシステムが与えられ、2 つの点が衝突することは決してないという仮定の下で、各点の座標を、時間の既知の関数であり、そのすべての値に対して級数が一様に収束する変数の級数として表現してみます。

問題が解決できなかった場合、古典力学への他の重要な貢献は賞に値するとみなされるでしょう。ポアンカレは元の問題を解決しなかったにもかかわらず、賞を受賞しました。（彼の貢献の最初のバージョンには重大な誤りさえありました。^[11]）最終的に印刷されたバージョンには、カオス理論の発展につながる多くの重要なアイデアが含まれていました。当初述べられた問題は、最終的にカール・フリティオフ・スンドマンによってn = 3に対して解決され、 L. K.ババザンジャンツ^{[12] [13]}とQiudong Wangによってn > 3に一般化されました。^[14]

n体問題では、三次元空間ℝ ³の慣性座標系にあるn個の質点m _i、i = 1, 2, …, n が相互の重力の影響下で運動する問題を考える。各質点m i_には位置ベクトルq _{i が}ある。ニュートンの第 2 法則によれば、質量 x 加速度m _i ⁠ d ² q _i/²日目⁠ は質量にかかる力の合計に等しい。ニュートンの万有引力の法則によれば、単一の質量m _jが質量m _iに及ぼす重力は^[15]で与えられる。 ここでGは万有引力定数、 ‖ q _j − q _i ‖はq _iとq _jの間の距離の大きさ（l ₂ノルムによって誘導される距離）である。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

すべての質量を合計すると、n体の運動方程式が得られます。

ここでUは自己ポテンシャルエネルギー である

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

運動量をp _i = m _iと定義する⁠ d q _i/dt⁠、 n体問題に対するハミルトンの運動方程式は^[16]となり 、ハミルトン関数は 、 Tは運動エネルギーである $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$$${\displaystyle H=T+U}$$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

ハミルトン方程式は、n体問題が6 n 個の1 次微分方程式のシステムであり、6 n 個の 初期条件が3 n 個の初期位置座標と3 n 個の初期運動量値であることを示しています。

n体問題における対称性は、問題を単純化する運動の全体積分を生み出す。 ^[17] 問題の並進対称性により、質量の中心は 一定速度で動くため、C = L ₀ t + C ₀となり、ここでL ₀は線速度、C _{0 は}初期位置である。運動定数L ₀とC _{0 は、}運動の 6 つの積分を表す。回転対称性により、全角運動量は一定となり 、× は外積となる。全角運動量Aの 3 つの成分により、さらに 3 つの運動定数が得られる。運動の最後の一般定数は、エネルギー保存則Hによって与えられる。したがって、すべてのn体問題には 10 個の運動積分がある。 $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

TとUは_それぞれ2次と−1次の同次関数であるため、運動方程式はスケーリング不変性を持ちます。q i ( t )が解であれば、任意のλ > 0に対してλ −2/3 ^q i ₍ λt )も解になります。^[18]

n体系 の慣性モーメントは次のように与えられ 、ビリアルは次のように与えられるQ = ⁠$${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$1/2⁠ ⁠dI/dtラグランジュ・ヤコビの公式によれば[ ^19] $${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

動的平衡にあるシステムの場合、 ⟨ ⁠の長期時間平均はd ²私/²日目⁠ ⟩はゼロです。すると平均して総運動エネルギーは総位置エネルギーの半分となり、 ⟨ T ⟩ = ⁠1/2⁠ ⟨ U ⟩は、重力システムのビリアル定理の例である。 ^[20] Mが全質量で、 Rがシステムの特徴的なサイズ（たとえば、システムの質量の半分を含む半径）である場合、システムが動的平衡に落ち着くための臨界時間は^{[21]である。} $${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$$

惑星の相互作用力に関する議論は、歴史的には常に二体問題から始まっています。このセクションの目的は、惑星の力を計算する際の実際の複雑さについて説明することです。このセクションでも、重力、重心、ケプラーの法則などのいくつかの主題が他の Wikipedia のページで説明されていることに注意してください。また、次のセクション (三体問題) も他のページで説明されています。ただし、ここではこれらの主題はn体問題の観点から説明されています。

二体問題（n = 2）は、主要な質点が固定されていると仮定することで、古典理論（ニュートンではなく）によってヨハン・ベルヌーイ（1667–1748）によって完全に解決されました。これはここで概説されています。 ^[22]次に、太陽と地球という2つの物体の運動を考えてみましょう。太陽は固定されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

質量m _2の質量m ₁に対する運動を記述する方程式は、これら2つの方程式の差から容易に得られ、共通項を消去すると次の式が得られます。 ここで $${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

• r = r ₂ − r _1は、 m ₁に対するm ₂のベクトル位置です。
• αはオイラー加速度である⁠d ² r/²日目⁠ ;
• η = G ( m ₁ + m ₂ )です。

方程式α + ⁠η/r3 ^{3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 49 40 51 42 43 44 46 4}⁠ r = 0は、ベルヌーイが 1734 年に解いた二体問題の基本微分方程式です。このアプローチでは、まず力を決定し、次に運動方程式を解く必要があることに注意してください。この微分方程式には、楕円、放物線、または双曲解があります。 ^{[23] [24] [25]}

ニュートンの万有引力の法則を適用するときに、m ₁ (太陽) が空間内で固定されていると考えるのは誤りであり、誤った結果につながります。重力で相互作用する 2 つの孤立した物体の固定点はそれらの相互重心であり、この2 体問題は、重心を基準としたヤコビ座標を使用するなどして正確に解くことができます。

クラレンス・クレミンショー博士は、主に木星と太陽の質量のみを組み合わせることで得られた結果である太陽系の重心のおおよその位置を計算しました。サイエンス プログラムは、博士の研究について次のように述べています。

太陽は太陽系の質量の 98 パーセントを占め、残りの大部分は火星より上の惑星が占めている。平均すると、太陽・木星系の質量の中心は、最も質量が大きい 2 つの天体だけを単独で考えた場合、太陽の中心から 462,000 マイル、つまり太陽表面から約 30,000 マイル上にある。しかし、他の大きな惑星も太陽系の質量の中心に影響を与える。たとえば 1951 年には、木星が土星、天王星、海王星の反対側にあったため、系の質量の中心は太陽の中心からそれほど遠くなかった。ロサンゼルスのグリフィス天文台の C. H. クレミンショー博士の計算によると、1950 年代後半、これら 4 つの惑星がすべて太陽の同じ側にあったとき、系の質量の中心は太陽表面から 330,000 マイル以上離れていた。^[26]

太陽は銀河中心の周りを回転しながら揺れ、太陽系と地球をそれに引きずりながら動いています。数学者ケプラーが3つの有名な方程式を導き出す際に行ったのは、ティコ・ブラーエのデータを使用して惑星の見かけの動きを曲線フィッティングすることであり、太陽の周りの実際の円運動を曲線フィッティングすることではありませんでした（図を参照）。ロバート・フックとニュートンはどちらも、ニュートンの万有引力の法則が楕円軌道に関連する力には当てはまらないことをよく知っていました。^{[10]実際、ニュートンの万有引力の法則は、水星の軌道、小惑星帯の重力の振る舞い、または}土星の環を説明していません。^{[27]ニュートンは（『}プリンキピア』第11章で）楕円軌道にかかる力を予測できなかった主な理由は、彼の数学モデルが、現実世界にはほとんど存在しない状況、つまり動かない中心に向かって引き寄せられる物体の運動に限定されていたためであると述べています。現在の物理学や天文学の教科書の中には、ニュートンの仮定の否定的な意味を強調せず、彼の数学モデルが事実上現実であると教えるものがいくつかあります。上記の古典的な二体問題の解は数学的な理想化であると理解する必要があります。ケプラーの惑星運動の第一法則も参照してください。

このセクションでは、単純化された仮定を行った後の、 歴史的に重要なn体問題の解決について説明します。

過去にはn ≥ 3のn体問題についてはあまり知られていなかった。^[28] n = 3の場合が最も研究されてきた。三体問題を理解するための以前の多くの試みは定量的なものであり、特殊な状況に対する明示的な解を見つけることを目的としていた。

• 1687 年、アイザック ニュートンは『プリンキピア』で、相互の引力を受ける 3 つの物体の運動の問題の研究の第一歩を発表しましたが、彼の努力は言葉による説明と幾何学的なスケッチに終わりました。特に第 1 巻の命題 66 とその関連を参照してください (ニュートン、1687 年および 1999 年 (翻訳)、また Tisserand、1894 年も参照)。
• 1767 年、オイラーは、任意の質量の 3 つの物体が固定された直線に沿って比例して移動する共線運動を発見しました。オイラーの三体問題は、物体のうち 2 つが空間内で固定されている特殊なケースです (これは、2 つの質量のある物体が円軌道を描き、朔望基準系内でのみ固定されている、円制限三体問題と混同しないでください)。
• 1772 年、ラグランジュは、任意の質量の 3 つの物体それぞれについて、周期解の 2 つのクラスを発見しました。1 つのクラスでは、物体は回転する直線上にあります。もう 1 つのクラスでは、物体は回転する正三角形の頂点にあります。どちらの場合も、物体の経路は円錐曲線になります。これらの解は、ある定数k > 0に対してq̈ = kq となる中心配置の研究につながりました。
• 地球・月・太陽系の主要な研究はシャルル＝ウジェーヌ・ドローネーによって行われ、彼はこのテーマについてそれぞれ 900 ページに及ぶ 2 巻の本を 1860 年と 1867 年に出版しました。他の多くの成果の中でも、この研究はすでにカオスを示唆しており、摂動論におけるいわゆる「小さな分母」の問題を明確に示しています。
• 1917年、フォレスト・レイ・モールトンは、今では古典となった『天体力学入門』（参考文献参照）を出版し、その中で制限三体問題の解法を図示した（下図参照）。^[29]余談だが、制限三体問題の解法については、メイロヴィッチの本の413～414ページを参照のこと。^[30]

モールトンの解は、より質量の大きい天体 (太陽など) が宇宙で静止し、より質量の小さい天体 (木星など) がその周りを公転し、平衡点 (ラグランジュ点) がより質量の小さい天体の前方と後方に 60° 間隔を保っていると見なすと、視覚化がより簡単になる (そして間違いなく解きやすくなる) かもしれない (ただし、実際にはどちらの天体も完全には静止しておらず、両方ともシステム全体の質量の中心、つまり重心の周りを公転している)。主天体の質量比が十分に小さい場合、これらの三角形の平衡点は安定しており、(ほぼ) 質量のない粒子は、より大きな主天体 (太陽) の周りを公転するときに、これらの点の周りを公転する。円形問題の 5 つの平衡点は、ラグランジュ点として知られている。下の図を参照。

上記の制限三体問題数学モデルの図 (Moulton_による)では、ラグランジュ点 L ₄と L _{5 は}トロヤ群小惑星が存在した場所です(ラグランジュ点 を参照)。m 1は太陽、m _{2 は}木星です。L _{2 は}小惑星帯内の点です。このモデルでは、太陽-木星図全体がその重心の周りを回転していることを認識する必要があります。制限三体問題の解は、トロヤ群小惑星が最初に見られるようになる前にそれを予測しました。h 円と閉じたループは、太陽と木星から発せられる電磁気流を反映しています。Richard H. Batin の推測 (参考文献を参照) に反して、2 つのh _{1 は}重力シンクであり、重力がゼロである と であり、トロヤ群小惑星がそこに閉じ込められている理由であると推測されています。小惑星の総質量は不明です。

制限三体問題では、物体のうちの 1 つの質量は無視できると仮定します。 ^{[引用が必要]}無視できる物体が、より質量の小さい物体の衛星である場合の議論については、ヒル球を参照してください。連星系については、ロッシュローブを参照してください。三体問題の特定の解は、反復経路の明らかな兆候のないカオス的な運動をもたらします。 ^{[引用が必要]}

制限問題（円形と楕円形の両方）は、多くの有名な数学者や物理学者、特に19世紀末のポアンカレによって広範囲に研究されました。制限三体問題に関するポアンカレの研究は、決定論的 カオス理論の基礎となりました。^[要出典]制限問題には、5つの平衡点が存在します。3つは質量と同一線上（回転フレーム内）にあり、不安定です。残りの2つは、2つの物体がそれぞれ第1頂点と第2頂点である正三角形の両方の、第3頂点にあります。

円制限三体問題にヒントを得て、四体問題は、より小さな天体が他の三つの巨大な天体に比べて質量が小さいと見なすことで大幅に簡略化され、その結果、円軌道を記述するように近似される。これは、双円制限四体問題（双円モデルとも呼ばれる）として知られ、1960年にスーシュ・ホアンが書いたNASAの報告書に遡ることができる。^[31]この定式化は、主に太陽の重力を加えた地球-月系における宇宙船の軌道をモデル化するために、天体力学で非常に重要になっている。双円制限四体問題の以前の定式化は、地球-月-太陽以外のシステムをモデル化するときに問題になる可能性があるため、ネグリとプラド[ ^32]によって定式化され、適用範囲が拡大され、簡素さを失うことなく精度が向上した。

惑星問題とは、質量の 1 つが他のすべての質量よりもはるかに大きい場合のn体問題です。惑星問題の典型的な例は、太陽 -木星-土星系で、太陽の質量は木星や土星の質量の約 1000 倍です。^[18]この問題のおおよその解決方法は、惑星間の相互作用を摂動として扱い、問題をn − 1組の恒星 - 惑星ケプラー問題に分解することです。摂動近似は、システム内に軌道共鳴がない限り、つまり摂動を受けていないケプラー周波数の比がどれも有理数でない限り、うまく機能します。共鳴は、展開図の小さな分母として現れます。

共鳴と小さな分母の存在は、惑星問題における安定性という重要な疑問をもたらした。恒星の周りをほぼ円軌道で回る惑星は、時間が経っても安定した軌道または制限された軌道を維持するのか？^{[18] [33]} 1963年、ウラジミール・アーノルドはKAM理論を使用して、惑星問題の一種の安定性を証明した。平面に制限された惑星問題の場合、準周期軌道の正の測度セットが存在する。 ^[33] KAM理論では、カオス的な惑星軌道は準周期KAMトーラスによって制限される。アーノルドの結果は、2004年にフェジョスとハーマンによってより一般的な定理に拡張された。^[34]

中心配置 q 1 ₍ 0), …, q _N (0)は、粒子がすべてゼロ速度で放出された場合に、すべての粒子が質量中心Cに向かって崩壊するような初期配置である。^[33]このような運動はホモセティック運動と呼ばれる。中心配置は、すべての質量がケプラーの軌道（楕円、円、放物線、または双曲）に沿って動き、すべての軌道が同じ離心率eを持つホモグラフィック運動も生み出す可能性がある。楕円軌道の場合、e = 1 はホモセティック運動に対応し、e = 0は、構成が剛体であるかのように、構成が初期構成の等長のままである相対平衡運動を与える。 ^[35]中心配置は、システムの第 1 積分を固定することによって作成される 不変多様体のトポロジーを理解する上で重要な役割を果たしてきた。

すべての質量が衝突することなく同じ曲線上を移動する解は振り付けと呼ばれます。^[36] n = 3の振り付けは、 1772年にラグランジュによって発見されました。これは、3つの物体が回転フレーム内の正三角形の頂点に位置するものです。n = 3の8の字の振り付けは、1993年にC.ムーアによって数値的に発見され、 ^[37] 2000年にA.チェンシナーとR.モンゴメリーによって一般化され証明されました。^{[38]それ以来、} n ≥ 3の多くの他の振り付けが発見されています。

問題のあらゆる解決において、等長変換や時間シフトを適用するだけでなく、時間の逆転（摩擦の場合とは異なり）を適用することでも解決が得られます。^{[引用が必要]}

n体問題 ( n ≥ 3 )に関する物理学の文献では、「 n体問題を解くことは不可能である」と言及されることがあります (上記のアプローチを採用することによって)。^[要出典]ただし、解の「不可能性」について議論する場合は注意が必要です。これは、第一積分法のみに言及しているからです (根のみを含む式を使用して5 次以上の代数方程式を解くことは不可能であるというアーベルとガロアの定理と比較してください)。

古典的なn体問題を解く方法の 1 つは、「テイラー級数によるn体問題」です。

まず微分方程式系を定義する：^[要出典] $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

x _i ( t ₀ )および⁠​d x _i ( t ₀ )/dt⁠ が初期条件として与えられ、すべての⁠d ² x _i ( t )/²日目⁠ は知られています。 ⁠を区別するd ² x _i ( t )/²日目⁠結果は⁠d ³ x _i ( t )/³日目⁠ t ₀ではこれも既知であり^{、テイラー級数は反復的に構築されます。 [説明が必要]}

Sundman の結果をn > 3 (またはn = 3かつc = 0 ^{[説明が必要]} )の場合に一般化するには、2 つの障害に直面する必要があります。

1. シーゲルによって示されたように、2 つ以上の物体が関与する衝突は解析的に正規化できないため、サンドマンの正規化は一般化できません。^[要出典]
2. この場合、特異点の構造はより複雑になり、他の種類の特異点が発生する可能性があります (以下を参照)。

最後に、Sundmanの結果は、1990年代にQiudong Wangによってn > 3の物体の場合に一般化されました。 ^[39]特異点の構造はより複雑なので、Wangは特異点の問題を完全に除外しなければなりませんでした。彼のアプローチの中心点は、方程式を適切な方法で新しいシステムに変換し、この新しいシステムの解の存在区間が[0,∞)になるようにすることです。

n体問題には 2 種類の特異点があります。

• 2 つ以上の物体の衝突ですが、q ( t ) (物体の位置) は有限のままです。(この数学的な意味では、「衝突」とは、2 つの点状の物体が空間内で同一の位置にあることを意味します。)
• 衝突は発生しないが、q ( t ) が有限のままではない特異点。このシナリオでは、物体は有限時間内に無限に発散し、同時に分離がゼロになる傾向があります (「無限大で」仮想衝突が発生します)。

後者はパンルヴェ予想（衝突しない特異点）と呼ばれています。その存在は、n > 3の場合にパンルヴェによって予想されています（パンルヴェ予想を参照）。n = 5の場合のこの動作の例はXia ^[40]によって構築され、 n = 4の場合のヒューリスティックモデルはGerver ^{[41]によって構築されました。Donald} G. Saari は、 4 個以下の物体の場合、特異点を生じる初期データの集合は測度が0 であることを示しました。^[42]

古典的な（すなわち非相対論的な）二体問題やn > 2の選択された構成に対しては解析的な解が存在するが、一般にn体問題は数値的手法を用いて解くかシミュレートする必要がある。^[21]

少数の物体の場合、n体問題は直接法（粒子間法とも呼ばれる）を使用して解くことができます。これらの方法は、運動の微分方程式を数値的に積分します。この問題の数値積分は、いくつかの理由で困難になる可能性があります。まず、重力ポテンシャルは特異であり、2 つの粒子間の距離がゼロに近づくにつれて無限大になります。重力ポテンシャルを「緩和」して、小さな距離での特異点を除去できます。^[21] 次に、一般にn > 2の場合、n体問題はカオス的であり、^[43]つまり、積分における小さな誤差でも時間の経過とともに指数関数的に大きくなる可能性があります。3 番目に、シミュレーションはモデル時間の長い範囲（数百万年など）にわたって行われる場合があり、積分時間が長くなるにつれて数値誤差が蓄積されます。 $${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

数値積分における誤差を減らすための手法は数多くある。^[21]局所座標系は、太陽系シミュレーションにおける地球-月座標系など、いくつかの問題で大きく異なるスケールを扱うために使用される。変分法と摂動論は、数値積分を修正できる近似解析軌道を生み出すことができる。シンプレクティック積分器の使用は、シミュレーションがハミルトン方程式に高い精度で従うこと、特にエネルギーが保存されることを保証する。

数値積分を用いた直接法では、⁠1/2⁠すべての粒子対のポテンシャルエネルギーを評価するにはn ^2回の計算が必要であり、したがって計算時間はO ( n ² )となる。多くの粒子を使ったシミュレーションでは、 O ( n ² )という係数によって大規模な計算に特に時間がかかるようになる。 ^[21]

直接法に比べて時間の計算量を削減する近似法が数多く開発されている。^[21]

• Barnes-Hut シミュレーションなどのツリー コード法は、離れた粒子の寄与を高精度で計算する必要がない場合に使用される空間的に階層的な方法です。離れた粒子群の電位は、多重極展開またはその他の電位近似を使用して計算されます。これにより、複雑さをO ( n log n )に削減できます。
• 高速多重極法は、遠く離れた粒子からの多重極展開された力が互いに近い粒子に対しても同様であるという事実を利用し、遠方場の力の局所展開を使用して計算量を削減します。このさらなる近似により、計算量はO ( n )に削減されると主張されています。 ^[21]
• 粒子メッシュ法では、シミュレーション空間を 3 次元グリッドに分割し、そのグリッドに粒子の質量密度を補間します。次に、ポテンシャルの計算は、グリッド上でポアソン方程式を解くことになり、高速フーリエ変換を使用するとO ( n log n )時間で、マルチグリッド技術を使用するとO ( n )時間。これにより、短距離の力に対して誤差が大きくなるという代償を払って、高速なソリューションを提供できます。アダプティブ メッシュ リファインメントを使用すると、粒子の数が多い領域で精度を高めることができます。
• P ³ M 法とPM ツリー法は、離れた粒子には粒子メッシュ近似を使用するハイブリッド法ですが、近い粒子 (数グリッド間隔以内) にはより正確な方法を使用します。P ^{3 M は}、粒子-粒子、粒子-メッシュの略で、近距離では軟化ポテンシャルを使用した直接法を使用します。PM ツリー法では、近距離ではツリー コードを使用します。粒子メッシュ法と同様に、アダプティブ メッシュを使用すると計算効率が向上します。
• 平均場法は、ポテンシャルを表す自己無撞着なポアソン方程式と結合した質量密度を表す時間依存のボルツマン方程式を使用して粒子システムを近似します。これは、大規模なシステムに適した平滑化粒子流体力学近似の一種です

ブラックホールの事象の地平線付近のような強い重力場を持つ天体物理学的システムでは、n体シミュレーションは一般相対性理論を考慮に入れなければならない。そのようなシミュレーションは数値相対性理論の領域である。アインシュタイン場の方程式を数値的にシミュレートすることは極めて困難であり^[21]、可能であればアインシュタイン・インフェルト・ホフマン方程式などのパラメータ化されたポストニュートン形式（PPN）が使用される。一般相対性理論における二体問題は、一方の質量が他方の質量よりもはるかに大きいと仮定されるケプラー問題に対してのみ解析的に解くことができる。^[44]

n体問題に関する研究のほとんどは重力問題に関するものでした。しかし、n体数学とシミュレーション技術が有用であることが証明されている他のシステムも存在します。

構造生物学におけるタンパク質や細胞集合体のシミュレーションなどの大規模な静電気問題では、クーロンポテンシャルは重力ポテンシャルと同じ形をとりますが、電荷が正または負になり、反発力と引力が生じる点が異なります。 ^[45]高速クーロンソルバーは、高速多重極法シミュレータの静電的対応物です。これらは、シミュレーション領域に周期境界条件を課して使用されることが多く、エワルド和法を使用して計算を高速化します。^[46]

統計学と機械学習では、いくつかのモデルは、重力ポテンシャルの形式に似た損失関数を持つ。これは、すべてのオブジェクトのペアに対するカーネル関数の合計であり、カーネル関数は、パラメータ空間内のオブジェクト間の距離に依存する。 ^[47]この形式に当てはまる問題の例としては、多様体学習における全近傍法、カーネル密度推定、カーネルマシンなどがある。O ( n2 )の時間計算量をO ( n )に^削減する代替最適化として、双対木アルゴリズムなどが開発されており、重力n体問題にも 適用可能である。

計算流体力学における渦法と呼ばれる手法では、流体領域の渦度を粒子に離散化し、粒子をその中心の速度で移流させる。流体速度と渦度はポアソン方程式で関係付けられるため、速度は重力や静電気と同じ方法で解くことができる。つまり、すべての渦度を含む粒子に対するn体和として解くことができる。この和にはビオ・サバールの法則が使用され、渦度が電流の代わりとなる。^[48]粒子を含んだ乱流多相流のコンテキストでは、すべての粒子によって生成される全体的な擾乱場を決定することはn体問題である。流れの中で移動する粒子が流れのコルモゴロフスケールよりもはるかに小さい場合、それらの線形ストークス擾乱場を重ね合わせると、n個の粒子の位置における擾乱速度の 3 つの成分に対する3 n方程式のシステムが得られる。^{[49] [50]}

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• N 体シミュレーションは、N 体システム内の物体の軌道を数値的に求める手法です。