フクシアングループ

数学において、フックス群はPSL(2, R )の離散部分群である。群 PSL(2, R ) は、双曲平面の向きを保つ等長変換、単位円板の等角変換、または上半平面の等角変換の群と同義と見なすことができるため、フックス群はこれらの空間のいずれかに作用する群と見なすことができます。定義にはいくつかのバリエーションがあり、フックス群は有限生成であると仮定される場合もあれば、PGL(2, R )の部分群であることが許される（そのため、向きが反転する要素を含む）、PSL(2, R ) の部分群と共役なクライン群（PSL(2, C ) の離散部分群）であることが許される場合もあります。

フックス群は、リーマン面のフックスモデルを作成するために使用されます。この場合、群は面のフックス群と呼ばれることがあります。ある意味では、フックス群は、結晶学群がユークリッド幾何学に対して行うのと同じことを非ユークリッド幾何学に対して行います。一部のエッシャーグラフィックスは、フックス群に基づいています (双曲幾何学のディスク モデル用)。

一般フックス群は、論文 (Fuchs 1880) に触発されたアンリ・ポアンカレ(1882)によって初めて研究され 、ラザロ・フックスにちなんで命名されました。

を上半平面とする。すると、 は、計量を与えたときの 双曲平面のモデルとなる。${\displaystyle H=\{z\in \mathbb {C} |\operatorname {Im} {z}>0\}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

PSL(2, R ) 群は線型分数変換（メビウス変換とも呼ばれる）によって作用する。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

この作用は忠実であり、実際PSL(2, R )はすべての向き保存 等長変換の群と同型である。 ${\displaystyle H}$

フックス群はPSL(2, R )の部分群として定義され、に不連続に作用する。つまり、 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle H}$

• 内の任意の に対して、軌道には 内の集積点がありません。${\displaystyle z}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma z=\{\gamma z:\gamma \in \Gamma \}}$${\displaystyle H}$

がフックス群であることの同等の定義は、離散群であることであり、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$

• 通常の点単位収束の位相において単位元に収束するの要素のすべてのシーケンスは、最終的には定数になります。つまり、すべての に対して となる整数が存在します。ここでは単位行列です。${\displaystyle \gamma_{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle n>\mathbb {N} }$${\displaystyle \gamma _{n}=I}$${\displaystyle I}$

この場合、不連続性と離散性は同値ですが、これは、（ とは対照的に）完全なリーマン球面上に作用する共形同相写像の任意の群の場合には一般には当てはまりません。実際、フックス群 PSL(2, Z ) は離散的ですが、実数直線上に集積点があります。つまり、 PSL(2, Z ) の元はすべての有理数に適用され、有理数QはRにおいて稠密です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Im} z=0}$${\displaystyle z=0}$

PSL(2, C )からの行列によって定義される線型分数変換は、リーマン球面 P ¹ ( C ) = C ∪ ∞を保存しますが、上半平面Hを何らかの開円板Δに送信します。このような変換による共役は、PSL(2, R )の離散部分群を、Δを保存するPSL(2, C ) の離散部分群に送信します。

これにより、フックス群の次の定義が導かれます。Γ ⊂ PSL(2, C ) が適切な開円板 Δ ⊂ C ∪ ∞ 上で不変に作用するとします。つまり、Γ(Δ) = Δ です。このとき、Γ がフックス群であるためには、次の 3 つの同値な性質のいずれかが成り立つ必要があります。

1. Γは離散群である（PSL(2, C )上の標準位相に関して）。
2. Γは各点z∈Δで適切に不連続に作用します。
3. 集合 Δ は、Γ の不連続領域 Ω(Γ) の部分集合です。

つまり、これら 3 つのうちの 1 つがフックス群の定義として機能し、他のものは定理として続きます。不変の真部分集合 Δ の概念は重要です。いわゆるピカール群PSL(2, Z [ i ]) は離散的ですが、リーマン球面のディスクは保存されません。実際、フックス群であるモジュラー群PSL(2, Z )でさえ、実数直線上で不連続に作用しません。モジュラー群は有理数に集積点を持ちます。同様に、 Δ が不連続領域の真部分集合であるという考えも重要です。真部分集合でない場合、その部分群はクライン群と呼ばれます。

不変領域 Δ を開いた単位円または上半平面のいずれかとするのが最も一般的です。

離散作用のため、 Γ の作用を受ける上半平面上の点zの軌道 Γ zは、上半平面内に集積点を持たない。しかし、実軸上に極限点が存在する可能性がある。Λ(Γ) を Γ の極限集合、つまりz ∈ Hに対するΓ zの極限点の集合とする。すると、Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞ となる。極限集合は空の場合もあれば、1 つか 2 つの点を含む場合もあれば、無限の数の点を含む場合もある。後者の場合、次の 2 つのタイプがある。

第 1 種のフックス群は、その極限集合が閉じた実数直線R ∪ ∞ である群です。これは、商空間H /Γ が有限体積を持つ場合に発生しますが、無限体積を持つ第 1 種のフックス群も存在します。

それ以外の場合、フックス群は第 2 のタイプであると言われます。同様に、これは、極限集合がR ∪ ∞上のどこにも稠密でない完全集合であるような群です。どこにも稠密ではないため、任意の極限点は、極限集合に含まれない開集合に任意に近いことを意味します。言い換えると、極限集合はカントール集合です。

フックス群の型は、クライン群として考えた場合の型と同じである必要はありません。実際、すべてのフックス群は型 2 のクライン群です。なぜなら、それらの極限集合 (クライン群として) は、ある円に含まれるリーマン球面の適切な部分集合だからです。

フックス群の例としては、モジュラー群PSL(2, Z )がある。これは、PSL(2, R )の線形分数変換からなる 部分群である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

ここで、a、b、c、dは整数である。商空間H /PSL(2, Z )は楕円曲線のモジュライ空間である。

他のフックス群には、各整数n > 0に対する群Γ( n )が含まれる。ここでΓ( n )は、上記の形式の線形分数変換から成り、行列の要素は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

はn を法とする単位行列のものと一致する。

コンパクトな例としては、（通常、回転）（2,3,7）三角形群があり、これにはクラインの四次関数とマクビース面のフックス群、およびその他のフルヴィッツ群が含まれます。より一般的には、任意の双曲型フォン・ダイク群（三角形群の指数2の部分群で、方向保存等長変換に対応）はフックス群です。

これらはすべて第一種のフックス群です。

• PSL(2, R )のすべての双曲型巡回部分群と放物型巡回部分群はフックス群である。
• 任意の楕円巡回部分群は、それが有限である場合に限り、フックス群である。
• すべてのアーベルフックス群は巡回的です。
• Z × Zと同型なフックス群は存在しない。
• Γを非可換フックス群とする。このとき、PSL(2, R )におけるΓの正規化群はフックス群となる。

hが双曲要素である場合、上半平面におけるその作用の並進長Lは、2×2行列としての hのトレースと次の関係で関連付けられる。

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

フックス群がねじれがなく、かつコンパクトである場合、対応するリーマン面の 収縮についても同様の関連が成り立ちます。

• 準フクシアン群
• 非ユークリッド結晶群
• ショットキーグループ

• Fuchs、Lazarus (1880)、「Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der lineen Differentialgleichungen mitrationen Coeffizienten entstehen」、J. Reine Angew。数学。、89 : 151–169
• Hershel M. Farkas、Irwin Kra、「Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group」、American Mathematical Society、Providence RI、ISBN 978-0-8218-1392-8 （セクション 1.6 を参照） 
• Henryk Iwaniec、『Spectral Methods of Automorphic Forms、第 2 版』 (2002 年) ( Graduate Studies in Mathematicsの第 53 巻)、アメリカ数学会、プロビデンス、RI ISBN 978-0-8218-3160-1 (第 2 章を参照) 
• スヴェトラーナ・カトク、フクシアン・グループ(1992)、シカゴ大学出版局、シカゴISBN 978-0-226-42583-2 
• David Mumford著『Caroline Series』、David Wright 著『Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein』(2002) Cambridge University Press ISBN 978-0-521-35253-6。(豊富な図解を交え、理論と結果をわかりやすく解説しています。) 
• ピーター・J・ニコルズ『離散群のエルゴード理論』(1989) ロンドン数学会講義録シリーズ143、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジISBN 978-0-521-37674-7 
• ポアンカレ、アンリ(1882)、「Théorie des groupes fuchsiens」、Acta Mathematica、1、Springer Netherlands: 1–62、doi : 10.1007/BF02592124、ISSN  0001-5962、JFM  14.0338.01
• ヴィンバーグ、アーネスト B. (2001) [1994]、「フクシアン群」、数学百科事典、EMS プレス