Loading article…
『ポアンカレと三体問題』は、天体力学における三体問題に関するアンリ・ポアンカレの研究を扱った数学史のモノグラフである。ジューン・バロウ＝グリーンが1993年の博士論文を改訂して執筆し、1997年にアメリカ数学会とロンドン数学会が共同で刊行する数学史シリーズ第11巻として出版された（ ISBN 1997）。 0-8218-0367-0[ 1 ]アメリカ数学協会の基本図書館リスト委員会は、学部数学図書館への掲載を推奨している。[ 2 ]
三体問題とは、ニュートンの万有引力の法則の下で相互作用する3つの物体の運動と、それらの物体が長期間にわたって安定した軌道を持つかどうかという問題である。この問題は、ニュートンが万有引力の法則を定式化して以来、特に太陽、地球、月の共同運動に関して、数学的に大きな関心を集めてきた。本書『ポアンカレと三体問題』の中心となるのは、アンリ・ポアンカレによるこの問題に関する論文『三体問題と運動方程式について』である。このメモは、スウェーデンのオスカル2世の60歳の誕生日を記念して1889年にキング・オスカル賞を受賞し 、国王の誕生日にActa Mathematicaに掲載される予定でしたが、ラース・エドヴァルド・フラグメンとポアンカレが論文に重大な誤りがあることを発見しました。ポアンカレは論文の撤回を求め、そのために賞金以上の費用を費やしました。1890年にようやく改訂版が出版され、その後10年間でポアンカレはそれを拡張してモノグラフ「Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste [天体力学の新しい方法]」にしました。ポアンカレの研究はカオス理論の発見につながり、[ 3 ]級数の収束をめぐって数学者と力学天文学者の間に長きにわたる隔たりを生み出し、[ 4 ] [ 5 ]ポアンカレ自身の最初の名声の源となりました。[ 6 ] [ 4 ]長い間忘れ去られていたこれらの出来事の詳細な物語は、1990年代前半から中頃にかけて複数の著者による一連の出版物によって再び日の目を見ることになった。これにはバロー＝グリーンの博士論文、その博士論文に基づく学術誌の出版物、そして本書が含まれる。[ 5 ]
『ポアンカレと三体問題』の第1章ではこの問題を紹介し、第2章ではこの問題に関する初期の研究を概観している。初期の研究では、ニュートン、ヤコブ・ベルヌーイ、ダニエル・ベルヌーイ、レオンハルト・オイラー、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ピエール＝シモン・ラプラス、アレクシス・クレロー、シャルル＝ウジェーヌ・ドローネー、ヒューゴ・グリデン、アンダース・リンドステット、ジョージ・ウィリアム・ヒルらがいくつかの具体的な解を見出した。[ 1 ] [ 5 ]第 3 章では、微分方程式、級数展開、および三体問題のいくつかの特殊解に関する研究を含むポアンカレの初期の研究を概観し、第 4 章では、ゴスタ・ミッタク＝レフラーによるActa Arithmeticaの創刊と、ミッタク＝レフラーが 1885 年に発表した賞の競争[ 1 ] [ 3 ]の歴史を概観し、バロー＝グリーンは、この競争はポアンカレの関心を念頭に置いて意図的に設定された可能性があると示唆し[ 7 ]、ポアンカレの回想録が受賞することになる。第 5 章は、ポアンカレの回想録そのものに関するものである。[ 1 ] [ 3 ]撤回されたバージョンと公開されたバージョンの重要な違いの詳細な比較が含まれており、[ 4 ] [ 8 ] [ 7 ]混沌軌道の可能性だけでなく、ホモクリニック軌道[ 1 ]やシステムの不変量を構築するための積分の使用など、含まれていた新しい数学的内容の概要が示されています。[ 5 ]ポアンカレの拡張されたモノグラフと、三体問題に関する彼の他の後の研究に関する章の後、本書の残りの部分では、ポアンカレの研究が後の数学者に与えた影響について論じています。これには、ポール・パンルヴェ、エドヴァルド・フーゴ・フォン・ツァイペル、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタ、ジャン・シャジー、リチャード・マクギー、ドナルド・G・サーリ、および夏志宏による解の特異点に関する貢献、アレクサンドル・リャプノフによる解の安定性に関する貢献、ジョージ・ダーウィンによる数値結果に関する貢献が含まれます。フォレスト・レイ・モールトン、ベングト・ストロムグレンによる冪級数に関する研究、ジュリオ・ビスコンチーニとカール・F・サンドマンによる冪級数に関する研究、アンドレイ・コルモゴロフ、ウラジミール・アーノルド、ユルゲン・モーザーによるKAM理論に関する研究[ 5 ] 、ジョージ・デイビッド・バーコフ、ジャック・アダマール、VK・メルニコフ、マーストン・モースによる 追加の貢献[ 1 ] [ 3 ] [ 8 ]などがある。しかし、現代のカオス理論の多くは「他の場所で十分に扱われている」ため、この話から除外されており[ 8 ] 、チウドン・ワンによるサンドマンの収束級数を3体の物体から任意の数の物体に一般化した研究も省略されている[ 5 ] 。エピローグでは、現代のコンピュータのパワーがポアンカレ理論の数値的研究に及ぼす影響について考察している[ 6 ]。
本書は数学史の専門家を対象としているが、[ 1 ]微分方程式 に精通している数学の学生であれば誰でも読むことができる。[ 6 ] ただし、本書の中心部分であるポアンカレの研究分析は、数学的な詳細が不足しているため、他の資料を参照しないと容易に理解できない可能性がある。[ 7 ]
評論家の Ll. G. Chambers は、「これは素晴らしい作品であり、力学の最も基本的なトピックの 1 つに新たな光を当てています」と書いています。[ 1 ] 評論家のJean Mawhin は、「キング オスカー賞の混沌とした物語についての決定的な作品」であり、「読みやすい」と評しています。[ 3 ]評論家の R. Duda は、「明確に構成され、よく書かれており、豊富な資料に基づいている」と評しています。 [ 8 ] Mawhin と Duda の両方とも、文献への「貴重な追加」だと述べています。[ 3 ] [ 8 ]また、評論家の Albert C. Lewis は、「すべての大学の数学の学生の読書リストに載せるに値する、高度な数学への洞察を提供している」と書いています。[ 6 ]評論家のフロリン・ディアク（自身もn体問題の著名な研究者）は、ワンが省略されていること、バロー＝グリーンが「ポアンカレ自身の著作の中のつながりを見落としていることがある」こと、そして彼女の翻訳の一部が不正確であることを不満に思っているが、同時にこの本を推薦している。[ 5 ]