リミットサイクル

数学において、二次元位相空間を持つ力学系の研究において、リミットサイクルとは、位相空間内の閉じた軌道であり、時間が無限大に近づくか、あるいは負の無限大に近づくかのいずれかのときに、少なくとも他の1つの軌道が螺旋状にその軌道に収束するという性質を持つ。このような挙動は、いくつかの非線形系で見られる。リミットサイクルは、多くの現実世界の振動系の挙動をモデル化するために用いられてきた。リミットサイクルの研究は、アンリ・ポアンカレ（1854～1912）によって始められた。

我々は、次の形式の2次元力学系を考える。 $${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$ どこ $${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$$ は滑らかな関数である。このシステムの軌跡は、ある滑らかな関数である。${\displaystyle x(t)}$値は$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$これはこの微分方程式を満たします。このような軌道は、一定ではなく出発点に戻る場合、つまり何らかの条件が満たされる場合、閉じた（または周期的な）軌道と呼ばれます。$t_0>0$そのため${\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}$すべての人々のために$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$軌道は軌跡の画像であり、$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$閉じた軌道、またはサイクルとは、閉じた軌跡の像のことです。リミットサイクルとは、他の軌跡の極限集合であるサイクルのことです。

ジョルダン曲線定理によれば、すべての閉じた軌道は平面を曲線の内部と外部の2つの領域に分割する。

限界サイクルと、その内部で限界サイクルに近づく軌道が与えられた場合、${\displaystyle +\infty }$すると、リミットサイクルの周囲に近傍が存在し、その近傍から始まる内部のすべての軌道は、時間が近づくにつれてリミットサイクルに近づく。${\displaystyle +\infty }$対応する記述は、時間が近づくにつれて極限サイクルに近づく内部の軌跡に対して成り立つ。${\displaystyle -\infty }$また、リミットサイクルに近づく外部軌道についても同様である。

時間が無限大に近づくにつれて、すべての隣接軌道がリミットサイクルに近づく場合、それは安定または吸引リミットサイクル（ω-リミットサイクル）と呼ばれます。逆に、時間が負の無限大に近づくにつれてすべての隣接軌道がそれに近づく場合は、不安定リミットサイクル（α-リミットサイクル）です。時間が無限大に近づくにつれてリミットサイクルに螺旋状に落ち込む隣接軌道と、時間が負の無限大に近づくにつれて螺旋状に落ち込む隣接軌道がある場合、それは半安定リミットサイクルです。安定でも不安定でも半安定でもないリミットサイクルもあります。たとえば、隣接軌道が外側からリミットサイクルに近づく一方で、リミットサイクルの内側には他のサイクルの族（リミットサイクルではない）が近づく場合などです。

安定なリミットサイクルはアトラクターの一例です。これらは自己持続的な振動を意味します。閉じた軌道はシステムの完全な周期的挙動を表し、この閉じた軌道からのわずかな摂動でもシステムは元の軌道に戻り、リミットサイクルに留まります。

すべての閉じた軌道は、その内部にシステムの静止点、すなわち点を含んでいます。${\displaystyle p}$どこ${\displaystyle V'(p)=0}$ベンディクソン・デュラックの定理とポアンカレ・ベンディクソンの定理は、それぞれ2次元非線形力学系の極限サイクルの存在または非存在を予測する。

一般的に、極限サイクルを見つけることは非常に難しい問題です。平面上の多項式微分方程式の極限サイクルの数は、ヒルベルトの第16問題の第2部の主な対象です。例えば、あるシステムが存在するかどうかは不明です。${\displaystyle x'=V(x)}$両方の成分が${\displaystyle V}$これらは2つの変数の2次多項式であり、システムが4つ以上のリミットサイクルを持つ。

リミットサイクルは、自己持続振動を持つシステムをモデル化する多くの科学的応用において重要です。例としては、以下のようなものがあります。

• 空力限界サイクル振動^{[ 1 ]}
• ニューロンにおける活動電位のホジキン・ハクスリーモデル。
• セルコフの解糖モデル。^{[ 2 ]}
• 動物の遺伝子発現、ホルモンレベル、体温の毎日の変動は概日リズムの一部であるが、^{[ 3 ] [ 4 ]}これはより最近の証拠によって反証されている。^{[ 5 ]}
• がん細胞の移動は、閉じ込められた微小環境においてリミットサイクル振動に従う。^{[ 6 ]}
• 一部の非線形電気回路はリミットサイクル振動を示し、^{[ 7 ]}これがオリジナルのファンデルポールモデルの着想源となった。
• マッキー・グラス方程式に示されている呼吸と造血の制御。^{[ 8 ]}

• アトラクター
• 双曲集合
• 周期点
• 自己振動
• 安定多様体
• 相還元

• スティーブン・H・ストロガッツ（2014）。非線形力学とカオス：物理学、生物学、化学、工学への応用。アバロン。ISBN 9780813349114。
• M. Vidyasagar (2002).非線形システム解析（第2 版）. SIAM. ISBN 9780898715262。
• フィリップ・ハートマン、「常微分方程式」、応用数理学会、2002年。
• ヴィトルト・フュレヴィッチ著、『常微分方程式講義』、ドーバー出版、2002年。
• ソロモン・レフシェッツ著、『微分方程式：幾何学的理論』、ドーバー出版、2005年。
• ローレンス・ペルコ著、『微分方程式と力学系』、シュプリンガー・フェルラーク、2006年。
• アーサー・マタック、「リミットサイクル：存在と非存在の基準」、MITオープンコースウェアhttp://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

• 「リミットサイクル」 . planetmath.org . 2019年7月6日取得。