周期解が生じる臨界点
任意のマップの複素固有値 (点)。ホップ分岐の場合、2 つの複素共役固有値が虚軸と交差します。 数学の分岐理論 では 、 ホップ 分岐は 、パラメータが変化するとシステムの安定性が切り替わり、 周期的な解が生じる 臨界点 である 。 [1] より正確には、パラメータが閾値を超えると、 固定点の周りの 線形化 の 複素共役 固有値 のペアが 複素平面の虚軸と交差し、 動的システム の 固定点 が安定性を失う局所分岐である。動的システムに関するかなり一般的な仮定の下では、パラメータが変化すると、
固定点は小振幅の リミットサイクルになる。
ホップ分岐は、 アンリ ・ポアンカレ、アレクサンドル・アンドロノフ、エーバーハルト・ホップにちなんで、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐 と も 呼ば れ ます 。
概要
超臨界ホップ分岐と亜臨界ホップ分岐 付近のホップ分岐のダイナミクス 。可能な軌道は赤、安定構造は濃い青、不安定構造は破線の明るい青で示されています。超臨界ホップ分岐: 1a) 安定固定点 1b) 不安定固定点、安定限界サイクル 1c) 位相空間ダイナミクス。亜臨界ホップ分岐: 2a) 安定固定点、不安定限界サイクル 2b) 不安定固定点 2c) 位相空間ダイナミクス。 角度ダイナミクスと、軌道の巻き方向を決定します。
λ = 0
{\displaystyle \lambda =0}
ω
{\displaystyle \omega}
リミットサイクルは、第 1 リャプノフ係数 と呼ばれる特定の量が負で、分岐が超臨界の
場合、 軌道的に安定です。それ以外の場合は不安定で、分岐は亜臨界です。
ホップ分岐の通常の形式は 、 次の時間依存微分方程式です。
d ず
d t
= ず （ （ λ + 私 ） + b
|
ず
|
2
） 、
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}
ここで、 z 、 b は 両方とも複素数であり、 λ は 実数パラメータです。 記述: 数 α は第 1 リャプノフ 係数と呼ばれます。
b = α + 私 β 。
{\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}
α が負の場合、 λ > 0 に対して安定したリミットサイクルが存在します。
ず （ t ） = r
e
私 ω t
{\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,}
どこ
r =
− λ
/
α
そして
ω = 1 + β
r
2
。
{\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ および }}\omega =1+\beta r^{2}.\,}
この分岐は 超臨界と呼ばれます。 α が正の場合、 λ < 0に対して不安定なリミット サイクルが存在します。 この分岐は 亜臨界と呼ばれます。
直感 直交座標における超臨界ホップ分岐の正規形。 [2] 超臨界ホップ分岐の通常の形は、極座標で直感的に表現できる。
d r
d t
= （ μ −
r
2
） r 、
d θ
d t
= ω
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta}{dt}}=\omega }
ここで、 は 振動の瞬間的な振幅であり、 は瞬間的な角度位置です。 [3] 角速度は 固定されています。 のとき 、 の微分方程式は に不安定な固定点を持ち 、 に安定した固定点を持ちます。したがって、システムは半径 と角速度 を 持つ安定した円形のリミットサイクルを記述します 。 のとき、 は 唯一の固定点であり、安定しています。その場合、システムは原点に収束する螺旋を記述します。
r （ t ）
{\displaystyle r(t)}
θ （ t ）
{\displaystyle \theta (t)}
（ ω ）
{\displaystyle (\omega )}
μ > 0
{\displaystyle \mu >0}
r （ t ）
{\displaystyle r(t)}
r = 0
{\displaystyle r=0}
r =
μ
{\displaystyle r={\sqrt {\mu}}}
μ
{\displaystyle {\sqrt {\mu }}}
ω
{\displaystyle \omega}
μ < 0
{\displaystyle \mu <0}
r = 0
{\displaystyle r=0}
直交座標 極座標は、 と書くことで直交座標に変換できます 。 [3] とを時間に関して
微分する と、微分方程式が得られます。
x = r コス （ θ ）
{\displaystyle x=r\cos(\theta )}
ええ = r 罪 （ θ ）
{\displaystyle y=r\sin(\theta )}
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
d x
d t
=
d r
d t
コス （ θ ） −
d θ
d t
r 罪 （ θ ）
= （ μ −
r
2
） r コス （ θ ） − ω r 罪 （ θ ）
= （ μ −
x
2
−
ええ
2
） x − ω ええ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\cos(\theta )-{\frac {d\theta }{dt}} r\sin(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\cos(\theta )-\omega r\sin(\theta )\\&=(\mu -x^{2 }-y^{2})x-\omega y\end{整列}}}
そして
d ええ
d t
=
d r
d t
罪 （ θ ） +
d θ
d t
r コス （ θ ）
= （ μ −
r
2
） r 罪 （ θ ） + ω r コス （ θ ）
= （ μ −
x
2
−
ええ
2
） ええ + ω x 。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\sin(\theta )+{\frac {d\theta }{dt}} r\cos(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\sin(\theta )+\omega r\cos(\theta )\\&=(\mu -x^{2 }-y^{2})y+\omega x.\end{整列}}}
臨界未満のケース 亜臨界ホップの正規形は、の符号を反転することによって得られる 。
d r
/
d t
{\displaystyle dr/dt}
d r
d t
= − （ μ −
r
2
） r 、
d θ
d t
= ω
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta}{dt}}=\omega }
これは、 の固定点の安定性を逆転させます 。 リミットサイクルは不安定になり、原点は安定します。
r （ t ）
{\displaystyle r(t)}
μ > 0
{\displaystyle \mu >0}
例 セルコフ システムにおけるホップ分岐 (記事を参照)。パラメータが変化すると、安定した平衡から外れた リミット サイクル (青色) が発生します。 ホップ分岐は、 捕食者と被食者の相互作用 に関する ロトカ・ヴォルテラモデル （ 濃縮のパラドックス として知られる）、 神経膜電位に関する ホジキン・ハクスリーモデル、 [4] 解糖系 のセルコフモデル 、 [5] ベロウソフ ・ジャボチンスキー反応 、 ローレンツアトラクター 、 ブルッセレータ 、および 古典電磁気学 で発生します。 [6] ホップ分岐は核分裂波でも発生することが示されている。 [7]
セルコフモデルは
d x
d t
= − x + 1つの ええ +
x
2
ええ 、
d ええ
d t
= b − 1つの ええ −
x
2
ええ 。
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}
この図はセルコフモデルにおけるホップ分岐を示す位相図です。 [8]
鉄道車両システムでは、ホップ分岐解析が特に重要です。通常、鉄道車両の低速での安定した動きは、高速では不安定になります。これらのシステムの非線形解析の目的の1つは、ボゴリュボフ法を使用して、接線上の鉄道車両の分岐、非線形横方向安定性、ハンチング動作の解析調査を実行することです。 [9]
シリアル拡張方式 [10]
によって定義されるシステムを考えます。 ここで、 は滑らかで、 はパラメータです。パラメータの線形変換後、 が ゼロ未満からゼロ以上に増加すると、原点は螺旋状のシンクから螺旋状のソースに変わると想定できます。
x ¨
+ h （
x ˙
、 x 、 μ ） = 0
{\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}
h
{\displaystyle h}
μ
{\displaystyle \mu}
μ
{\displaystyle \mu}
ここで、 について、 ツータイミング を使って 摂動展開を 実行します 。
ここで、 は 「スロータイム」（つまり「ツータイミング」）であり、 は の関数です。 調和バランス の議論により（詳細は [10] を参照 ）、 を使用できます 。次に、 を に代入し 、 次まで展開すると 、 の 3 つの常微分方程式が得られます 。
μ > 0
{\displaystyle \mu >0}
x （ t ） = ϵ
x
1
（ t 、 T ） +
ϵ
2
x
2
（ t 、 T ） +
ϵ
3
x
3
（ t 、 T ） + ⋯
{\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots }
T = ν t
{\displaystyle T=\nu t}
ϵ 、 ν
{\displaystyle \epsilon ,\nu }
μ
{\displaystyle \mu}
ϵ =
μ
1
/
2
、 ν = μ
{\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu }
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
x ¨
+ h （
x ˙
、 x 、 μ ） = 0
{\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}
ϵ
3
{\displaystyle \epsilon^{3}}
x
1
、
x
2
、
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
最初の方程式は という形式になり 、解 が得られます。 ここで、 は の「ゆっくり変化する項」です 。これを 2 番目の方程式に代入すると、 を解くことができます 。
∂
t t
x
1
+
ω
0
2
x
1
= 0
{\displaystyle \partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0}
x
1
（ t 、 T ） = あ （ T ） コス （
ω
0
t + ϕ （ T ） ）
{\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T))}
あ （ T ） 、 ϕ （ T ）
{\displaystyle A(T),\phi (T)}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
（ t 、 T ）
{\displaystyle x_{2}(t,T)}
次に、 3 番目の方程式に を代入すると、 右辺が三角関数の項の和である という形式の方程式が得られます。これらの項のうち、「共鳴項」、つまり をゼロに設定する必要があります。これは、 ポアンカレ–リンシュテット法 と同じ考え方です 。これにより、 の 2 つの常微分方程式が得られ 、 の平衡値 とその安定性を解くことができます。
x
1
、
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
∂
t t
x
3
+
ω
0
2
x
3
= 。 。 。
{\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=...}
コス （
ω
0
t ） 、 罪 （
ω
0
t ）
{\displaystyle \cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)}
あ 、 ϕ
{\displaystyle A,\phi }
あ
{\displaystyle A}
例 および で定義されるシステムを考えます 。このシステムには原点に平衡点があります。 が負から正に増加すると、原点は安定した螺旋点から不安定な螺旋点に変わります。
d x
d t
= μ x + ええ −
x
2
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+yx^{2}}
d ええ
d t
= − x + μ ええ + 2
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}
μ
{\displaystyle \mu}
まず、次の式から を 消去します。ここで、 を用いて 、上記のように摂動展開を実行します 。次数 まで展開すると 、次の式が得られます。 最初の式には解 があります 。ここでは、 それぞれ単純振動の「ゆっくり変化する振幅」と「ゆっくり変化する位相」です。
ええ
{\displaystyle y}
d x
d t
= μ x + ええ −
x
2
⟹
x ¨
= μ
x ˙
+ （ − x + μ ええ + 2
x
2
） − 2 x
x ˙
⟹
x ¨
− 2 μ
x ˙
+ （ 1 +
μ
2
） x + 2 x
x ˙
− （ 2 + μ ）
x
2
= 0
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+yx^{2}\implies {\ddot {x}}=\mu {\dot {x}}+(-x+\mu y+2x^{2})-2x{\dot {x}}\implies {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0}
x （ t ） = ϵ
x
1
（ t 、 T ） +
ϵ
2
x
2
（ t 、 T ） + ⋯
{\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }
ϵ =
μ
1
/
2
、 T = μ t
{\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},T=\mu t}
ϵ
3
{\displaystyle \epsilon^{3}}
{
∂
t t
x
1
+
x
1
= 0
∂
t t
x
2
+
x
2
= 2
x
1
2
− 2
x
1
∂
t
x
1
∂
t t
x
3
+
x
3
= 4
x
1
x
2
+ 2
∂
t
（
x
1
−
x
1
x
2
−
∂
T
x
1
）
{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}
x
1
(
t
,
T
)
=
A
(
T
)
cos
(
t
+
ϕ
(
T
)
)
{\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T))}
A
(
T
)
,
ϕ
(
T
)
{\displaystyle A(T),\phi (T)}
2 番目の方程式には解 があり 、ここで もゆっくり変化する振幅と位相です。 であるため、 2 つの項 を として 結合できます 。
x
1
(
t
,
T
)
=
B
cos
(
t
+
θ
)
+
A
2
−
1
3
A
2
(
sin
(
2
t
+
2
ϕ
)
+
cos
(
2
t
+
2
ϕ
)
)
{\displaystyle x_{1}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
B
,
θ
{\displaystyle B,\theta }
x
=
ϵ
x
1
+
ϵ
2
x
2
+
⋯
=
ϵ
(
A
cos
(
t
+
ϕ
)
+
ϵ
B
cos
(
t
+
θ
)
)
+
⋯
{\displaystyle x=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots =\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots }
A
cos
(
t
+
ϕ
)
+
ϵ
B
cos
(
t
+
θ
)
{\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )}
C
cos
(
t
+
ξ
)
{\displaystyle C\cos(t+\xi )}
したがって、一般性を失うことなく、 と仮定できます 。したがって 、 を 3 番目の方程式に代入すると、次が得られます。 共鳴項を消去すると、次が得られます。 最初の方程式は、 が安定した平衡であることを示しています。したがって、ホップ分岐によって、（反発ではなく）引き付け合うリミット サイクルが作成されることがわかります。
B
=
0
{\displaystyle B=0}
x
2
(
t
,
T
)
=
A
2
−
1
3
A
2
(
sin
(
2
t
+
2
ϕ
)
+
cos
(
2
t
+
2
ϕ
)
)
{\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
∂
t
2
x
3
+
x
3
+
(
2
A
−
A
3
−
2
A
′
)
sin
(
t
+
ϕ
)
−
(
2
A
ϕ
′
+
11
A
3
/
3
)
cos
(
t
+
ϕ
)
+
1
3
A
3
(
5
sin
(
3
t
+
3
ϕ
)
−
cos
(
3
t
+
3
ϕ
)
)
{\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )-(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
A
′
=
A
−
A
3
/
2
,
ϕ
′
=
−
11
6
A
2
{\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}
A
=
2
{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
を代入すると 、 が得られます 。 時間の原点を再度選択して を作ることができます 。 を解くと が 得られます。 を の式に戻し て代入すると 、 が得られます。 これらを に戻して代入すると 、 の次数までの の直列展開も得られます 。
A
=
2
{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
ϕ
=
−
11
3
T
+
ϕ
0
{\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}
ϕ
0
=
0
{\displaystyle \phi _{0}=0}
∂
t
2
x
3
+
x
3
+
1
3
A
3
(
5
sin
(
3
t
+
3
ϕ
)
−
cos
(
3
t
+
3
ϕ
)
)
{\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
x
3
=
2
12
(
5
sin
(
3
t
+
3
ϕ
)
−
cos
(
3
t
+
3
ϕ
)
)
{\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
A
=
2
{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
x
1
=
2
cos
(
t
+
ϕ
)
,
x
2
=
2
−
2
3
(
sin
(
2
t
+
2
ϕ
)
+
cos
(
2
t
+
2
ϕ
)
)
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
y
=
x
2
+
x
˙
−
μ
x
{\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}
y
{\displaystyle y}
μ
3
/
2
{\displaystyle \mu ^{3/2}}
表記の簡潔さを考慮すると 、
θ
:=
t
+
ϕ
{\displaystyle \theta :=t+\phi }
x
=
μ
1
/
2
2
cos
θ
+
μ
(
2
−
2
3
sin
(
2
θ
)
−
2
3
cos
(
2
θ
)
)
+
μ
3
/
2
1
72
(
5
sin
(
3
θ
)
−
cos
(
3
θ
)
)
+
O
(
μ
2
)
y
=
−
μ
1
/
2
2
sin
θ
+
μ
(
1
+
4
3
sin
(
2
θ
)
−
1
3
cos
(
2
θ
)
)
+
μ
3
/
2
1
72
(
36
sin
θ
+
28
cos
θ
−
5
sin
(
3
θ
)
+
7
cos
(
3
θ
)
)
+
O
(
μ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=&\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +&\mu \left(2-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\\y&=&-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +&\mu \left(1+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(36\sin \theta +28\cos \theta -5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\end{aligned}}}
これにより、リミット サイクルのパラメトリック方程式が得られます。これは、右の図にプロットされています。
ホップ分岐の定義 固定点の安定性特性の局所的変化による周期軌道の出現または消失はホップ分岐として知られています。次の定理は、共役な非ゼロの純虚数の 固有値 のペアを持つ固定点に対して有効です。これは、この分岐現象が発生する条件を示しています。
定理（ [11] のセクション11.2を参照 ）。を 定常点 で評価された 連続パラメトリック 動的システムの ヤコビアン とします 。 のすべての固有値は、 1つの共役な非ゼロの純虚数ペア を除いて、負の実部を持つものとします 。 システムパラメータの変化により、これら2つの固有値が虚軸と交差すると、
ホップ分岐が発生します。
J
0
{\displaystyle J_{0}}
Z
e
{\displaystyle Z_{e}}
J
0
{\displaystyle J_{0}}
±
i
β
{\displaystyle \pm i\beta }
ラウス・ハーウィッツ基準 ラウス・ハーヴィッツ基準 （ [12] のセクションI.13 ）はホップ分岐が発生するために必要な条件を与える。 [13]
シュトゥルムシリーズ を特性多項式 に関連付けられた シュトゥルム級数 とします 。 これらは次の形式で表すことができます。
p
0
,
p
1
,
…
,
p
k
{\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}
P
{\displaystyle P}
p
i
(
μ
)
=
c
i
,
0
μ
k
−
i
+
c
i
,
1
μ
k
−
i
−
2
+
c
i
,
2
μ
k
−
i
−
4
+
⋯
{\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }
における 係数は 、 いわゆる フルヴィッツ行列式 に対応する。 [13] その定義は、関連する フルヴィッツ行列 と関連している。
c
i
,
0
{\displaystyle c_{i,0}}
i
{\displaystyle i}
{
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}
提案 命題 1 .おそらくを除いて、 すべてのフルヴィッツ行列式が正である場合 、関連するヤコビ行列式には純粋な虚数固有値は存在しません。
c
i
,
0
{\displaystyle c_{i,0}}
c
k
,
0
{\displaystyle c_{k,0}}
命題 2 。すべてのフルヴィッツ行列式( の すべての) が正であり 、 関連するヤコビ行列のすべての固有値が、純虚数の共役ペアを除いて負の実部を持つ場合。
c
i
,
0
{\displaystyle c_{i,0}}
i
{\displaystyle i}
{
0
,
…
,
k
−
2
}
{\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}
c
k
−
1
,
0
=
0
{\displaystyle c_{k-1,0}=0}
c
k
−
2
,
1
<
0
{\displaystyle c_{k-2,1}<0}
パラメトリック連続動的システムでホップ分岐が発生するために私たちが求めている条件 (上記の定理を参照) は、この最後の命題によって与えられます。
例 常微分方程式で記述された古典的な ファンデルポール振動子 を考えてみましょう。
{
d
x
d
t
=
μ
(
1
−
y
2
)
x
−
y
,
d
y
d
t
=
x
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}
このシステムに関連付けられたヤコビ行列は次のとおりです。
J
=
(
−
μ
(
−
1
+
y
2
)
−
2
μ
y
x
−
1
1
0
)
.
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{pmatrix}}.}
(0,0)における線形化の特性多項式( )は次の式に等しい:
λ
{\displaystyle \lambda }
P
(
λ
)
=
λ
2
−
μ
λ
+
1.
{\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}
係数は次のとおりです。
関連する Sturm 級数は 次のとおりです。
a
0
=
1
,
a
1
=
−
μ
,
a
2
=
1
{\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1}
p
0
(
λ
)
=
a
0
λ
2
−
a
2
p
1
(
λ
)
=
a
1
λ
{\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}
シュトゥルム多項式 は 次のように表すことができます（ここでは ）。
i
=
0
,
1
{\displaystyle i=0,1}
p
i
(
μ
)
=
c
i
,
0
μ
k
−
i
+
c
i
,
1
μ
k
−
i
−
2
+
c
i
,
2
μ
k
−
i
−
4
+
⋯
{\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }
上記の命題 2 は、次のものが必要であることを示しています。
c
0
,
0
=
1
>
0
,
c
1
,
0
=
−
μ
=
0
,
c
0
,
1
=
−
1
<
0.
{\displaystyle c_{0,0}=1>0,c_{1,0}=-\mu =0,c_{0,1}=-1<0.}
1 > 0 かつ −1 < 0 であることは明らかなので、次の場合にはファンデルポール振動子にホップ分岐が発生する可能性があると結論付けることができます 。
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
参照
参考文献
^ 「ホップ分岐」 (PDF) .マサチューセッツ工科大学 ^ ハイトマン、S.、ブレイクスピア、M (2017-2022) ブレインダイナミクスツールボックス。bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923 ^ ab ストロガッツ、スティーブン H. (1994)。 非線形ダイナミクスとカオス 。 アディソンウェスリー。ISBN 978-0-7382-0453-6 。 ^ Guckenheimer, J.; Labouriau, JS (1993)、「ホジキン方程式とハクスリー方程式の分岐: 新たな展開」、 数理生物学紀要 、 55 (5): 937–952、 doi :10.1007/BF02460693、 S2CID 189888352 。 ^ 「Selkov Model Wolfram Demo」 [demonstrations.wolfram.com] 。 2012年 9月30日 閲覧 。 ^ López, Álvaro G (2020-12-01). 「電気力学的物体の均一運動の安定性解析」. Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi :10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN 1402-4896. S2CID 228919333. ^ Osborne, Andrew G.; Deinert, Mark R. (2021年10月). 「分裂波における安定性、不安定性、ホップ分岐」. Cell Reports Physical Science . 2 (10): 100588. Bibcode :2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID 240589650. ^詳細な導出については、 Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison Wesley. p. 205. ISBN を 参照。 978-0-7382-0453-6 。 ^ Serajian, Reza ( 2011). 「ホップ分岐理論によって認識される非線形ホイールセットハンティングに対する台車と車体の慣性の影響」 (PDF) 。 国際自動車工学ジャーナル 。3 (4): 186–196。 ^ ab 18.385J / 2.036J 非線形ダイナミクスとカオス 2014年秋:ホップ分岐。MIT OpenCourseWare ^ Hale, J.; Koçak, H. (1991). ダイナミクスと分岐 . 応用数学テキスト. 第3巻. ベルリン: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2 。 ^ Hairer, E.; Norsett, SP; Wanner, G. (1993). 常微分方程式の解法 I: 非剛性問題 (第 2 版). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0 。 ^ ab Kahoui, ME; Weber, A. (2000). 「ソフトウェアコンポーネントアーキテクチャにおける量指定子除去によるホップ分岐の決定」 Journal of Symbolic Computation . 30 (2): 161–179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .
さらに読む
外部リンク
ウィキメディア・コモンズにはホップ分岐 に関連するメディアがあります 。
ホモクリニック分岐の詳細な図。
がゼロから増加すると、ホップ分岐を経て原点から安定したリミットサイクルが現れます。ここでは、次数 までのリミットサイクルをパラメトリックにプロットします。
