ジャイロベクトル空間

ジャイロベクトル空間は、ベクトル空間がユークリッド幾何学で使用される方法に類似して、双曲幾何学を研究するためにアブラハムA. アンガーによって提唱された数学的概念です。^{[1]アンガーは、}グループ に基づいて加算されるベクトルの代わりに、ジャイログループに基づいて加算されるジャイロベクトルの概念を導入しました。アンガーは、速度の合成（ブーストとも呼ばれる - 「ブースト」は相対速度の側面であり、「変換」と混同しないでください）を表すローレンツ変換の使用に代わる特殊相対性理論の定式化のツールとしてこの概念を開発しました。これは「ジャイロ演算子」を導入することによって実現されます。2 つの 3D 速度ベクトルを使用して演算子が構築され、それが別の 3D 速度に作用します。

ジャイログループは弱結合性の群のような構造です。Ungar は、ジャイログループという用語を、彼がジャイロ可換ジャイログループと呼ぶものに対して提案しました。ジャイログループという用語は、群とアーベル群の類推で、非ジャイロ可換の場合に予約されています。ジャイログループは、ボルループの一種です。ジャイロ可換ジャイログループは、K ループ^[2]と同等ですが、定義は異なります。ブルックループ^[3]やダイアディックシンセット^[4]という用語も使用されています。

ジャイログループ( G , )は、基底集合Gと次の公理を満たす 二項演算から構成されます。${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

1. Gには、 Gのすべてのaに対して 0 a = aとなる左単位元 0 が少なくとも 1 つあります。${\displaystyle \oplus }$
2. G内の各aに対して、( a ) a = 0となる a の左逆と呼ばれるG内の元aが存在します。${\displaystyle \ominus }$${\displaystyle \ominus }$${\displaystyle \oplus }$
3. Gの任意のa、b、cに対して、二項演算が左ジャイロ結合法則に従うようなGの唯一の元 gyr[ a、b ] cが存在する: a ( b c ) = ( a b ) gyr[ a、b ] c ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
4. c ↦ gyr[ a , b ] cによって与えられる写像 gyr [ a , b ]: G → Gはマグマ( G , )の自己同型です。つまり、 gyr[ a , b ] は Aut( G , )の元であり、 Gの自己同型 gyr[ a , b ] はGのa、  bによって生成されるGのジャイロ自己同型と呼ばれます。演算 gyr: G  ×  G  → Aut( G ,  ) はGのジャイレータと呼ばれます。${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$
5. ジャイロ自己同型写像​​gyr[ a , b ]は左ループ特性gyr[ a , b ] = gyr[ a b , b ]を持つ。${\displaystyle \oplus }$

最初の公理のペアは、グループ公理のようなものです。最後のペアは、ジャイレータ公理を提示し、真ん中の公理は 2 つのペアをリンクします。

ジャイロ群は逆元と恒等元を持つため、準群とループとして適格です。

ジャイロ群は群の一般化です。すべての群は、 G内のすべてのaとbに対する恒等写像として定義されたgyr[ a , b ]を持つジャイロ群の例です。

有限ジャイロ群の例は^[5]に示されている。

任意のジャイログループ ( G , ) で成立するいくつかの恒等式は以下のとおりです。${\displaystyle \oplus }$

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$（回転）
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$（左結合性）
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$（右結合性）

さらに、以下のジャイロ可換性の定義の根拠となる、ジャイロ反転法則を証明することもできます。

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$（回転反転の法則）

任意のジャイログループのジャイレーショングループが満たす追加の定理には次のものがあります。

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$（アイデンティティの揺らぎ）
2. ${\displaystyle \mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]}$（ジャイロ自己同型反転則）
3. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$（回転均一性）
4. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]}$(右ループプロパティ)
5. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]}$(左ループプロパティ)

^[6]の50ページにはさらに多くの恒等式が示されている。上記の恒等式の特に有用な帰結は、ジャイロ群が左ボル特性を満たすということである。

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))}$

ジャイログループ (G, )は、その二項演算がジャイロ可換法則a b = gyr[ a , b ]( b a ) に従う場合、ジャイロ可換である。相対論的速度の加算について、 a  +  bとb  +  a を関係付ける回転の役割を示すこの式は、1914 年にLudwik Silbersteinによって発表された。^{[7] [8]}${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

すべてのジャイログループにおいて、共加法と呼ばれる2番目の演算を定義できます。すべてのa、b  ∈  Gに対して、a b = a gyr[ a、b ] b となります。ジャイログループの加法がジャイロ可換である場合、共加法は可換です。 ${\displaystyle \boxplus }$ ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \ominus }$

相対論的速度は双曲幾何学のベルトラミ・クラインのモデルにおける点として考えることができるため、ベルトラミ・クラインのモデルにおけるベクトルの加算は速度の加算公式によって与えられる。この公式を 3 次元を超える双曲空間におけるベクトルの加算に一般化するには、外積の使用を避けて内積を使用する形式で公式を記述する必要がある。

一般的なケースでは、 2 つの速度のアインシュタイン速度の加算は、座標に依存しない形式で次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

ここで、 は式 で与えられるガンマ係数です。 ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }}$${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

座標を使用すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

どこ。 ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

アインシュタインの速度の加算は、とが平行の場合にのみ可換かつ結合的で ある。実際、 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

そして

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

ここで「gyr」はトーマス歳差運動をトーマス回転と呼ばれる演算子に数学的に抽象化したもので、次のように表されます。

${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

すべてのwに対して。トーマス歳差は、双曲幾何学では負の双曲三角形欠陥として解釈されます。

3 座標に適用される 3 × 3 行列形式の回転が gyr[ u , v ] で与えられる場合、4 座標に適用される 4 × 4 行列回転は次のように与えられます。

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$^[9 ]

速度uとvの2つのローレンツブーストB( u )とB( v )の合成は次のように与えられる: ^{[9] [10]}

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

回転を前と後のどちらに書くかによってB( u v ) または B( v u )のいずれかを使用できるという事実は、速度合成パラドックスを説明しています。 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

回転Uと回転Vを含む2つのローレンツ変換L( u ,U)とL( v ,V)の合成は次のように与えられる: ^[11]

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

上記では、ブーストは 4 × 4 行列として表すことができます。ブースト行列 B( v ) は、行列のエントリにvの成分、つまりv ₁、v ₂、v ₃を使用するブースト B 、またはセクションローレンツ変換#行列形式で使用される表現のv / cの成分を意味します。行列のエントリは 3 速度vの成分に依存し、これが表記 B( v ) の意味です。4 速度のエントリのうち 3 つは 3 速度のエントリと同じであるため、エントリは 4 速度の成分に依存すると主張することもできますが、ブーストを 3 速度でパラメーター化すると、2 つのブーストの合成から得られる結果のブーストが4 × 4 行列 B( u v ) の 3 速度合成u vの成分を使用するという利点があります。しかし、結果として得られるブーストには回転行列も乗算する必要があります。ブースト合成 (つまり、2 つの 4 × 4 行列の乗算) の結果は純粋なブーストではなく、ブーストと回転 (つまり、回転 Gyr[ u、v ] に対応する 4 × 4 行列で、B( u )B( v ) = B( u v )Gyr[ u、v ] = Gyr[ u、v ]B( v u )が得られるためです。 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

s を任意の正の定数、(V,+,.) を任意の実数内積空間、V _s ={ v  ∈ V :| v |<s} とします。アインシュタイン ジャイロベクトル空間 ( V _s ,  ,  ) は、スカラー乗算がr v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | で与えられるアインシュタイン ジャイロ群 ( V _s ,  ) です。ここでrは任意の実数、v  ∈  V _s、v  ≠  0、r 0  =  0で、表記はv r  =  r vです。 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

アインシュタインのスカラー乗法は、ジャイロベクトルが共線的である場合（単分配性）を除いて、アインシュタインの加法に対して分配されないが、ベクトル空間の他の特性を持つ：任意の正の整数nおよびすべての実数r、r ₁、r ₂、v  ∈  V _sに対して：

複素平面上の開単位円板のメビウス変換は極分解によって与えられる。

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$^{[要出典] [要説明]}これは、メビウス加算を定義すると書くことができます。${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$

これを高次元に一般化するために、複素数は平面上のベクトルとして考えられ、メビウスの加算はベクトル形式で次のように書き直されます。 ${\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}$

これにより、双曲幾何学のポアンカレ球モデルにおける点のベクトル加算が得られ、複素単位円の s=1 は任意の s>0 になります。

s を任意の正の定数、(V,+,.) を任意の実数内積空間、V _s ={ v  ∈ V :| v |<s} とします。メビウスのジャイロベクトル空間 ( V _s ,  ,  ) は、スカラー乗法がr v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | で与えられるメビウスのジャイロ群 ( V _s ,  ) です。ここでrは任意の実数、v  ∈  V _s、v  ≠  0、r 0  =  0で、表記はv r  =  r vです。 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

メビウスのスカラー乗算はアインシュタインのスカラー乗算と一致します (上記のセクションを参照)。これは、平行なベクトルに対してメビウスの加算とアインシュタインの加算が一致することに由来します。

双曲幾何学の適切な速度空間モデルは、適切な速度の加算式で与えられるベクトル加算による適切な速度で与えられる： ^{[6] [12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

ここで、 はによって与えられるベータ係数です。 ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

この式は、円盤や半平面を使用する双曲幾何学の他のモデルと比較して、空間全体を使用するモデルを提供します。

適切な速度ジャイロベクトル空間は、適切な速度ジャイロ群の加算と、r v  =  s  sinh( r  sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | で定義されるスカラー乗算を持つ実内積空間 V です。ここで、r は任意の実数、v  ∈  V、v  ≠  0、r 0  =  0であり、 v r  =  r vと表記されます。 ${\displaystyle \oplus _{U}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

ジャイロベクトル空間同型性は、ジャイログループの加算とスカラー乗算および内積を保存します。

3 つのジャイロベクトル空間、メビウス、アインシュタイン、固有速度は同型です。

M、E、U がそれぞれv _m、v _e、v _uを要素とするメビウス、アインシュタイン、固有速度ジャイロベクトル空間である場合、同型は次のように与えられます。

この表から、との関係は次の式で与えられます。 ${\displaystyle \oplus _{E}}$${\displaystyle \oplus _{M}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}$

これは、メビウス変換とローレンツ変換の関係に関連しています。

ジャイロ三角法は、ジャイロ概念を使用して双曲三角形を研究するものです。

通常研究される双曲三角法では、双曲関数cosh、sinh などを使用します。これは、ユークリッド三角関数 cos、sin を使用する球面三角法とは対照的ですが、通常の平面三角形の恒等式の代わりに球面三角形の恒等式を使用します。ジャイロ三角法では、通常の三角関数を使用するアプローチを採用していますが、ジャイロ三角形の恒等式と組み合わせて使用​​します。

三角形の中心の研究は​​伝統的にユークリッド幾何学に関するものであるが、三角形の中心は双曲幾何学でも研究することができる。ジャイロ三角法を使用すると、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方で同じ形式を持つ三角重心座標の式を計算することができる。式が一致するためには、式は角度の合計が180度であるという指定をカプセル化してはなりません。[ ^{14] [15] [16]}

ジャイロ三角法を使用すると、ジャイロ平行四辺形の法則に従って動作するジャイロベクトルの加算を見つけることができます。これは、ジャイログループの演算への共加算です。ジャイロ平行四辺形の加算は可換です。

ジャイロ平行四辺形の法則は、平行四辺形がユークリッド四辺形であり、その2つの対角線がその中点で交差するのと同様に、ジャイロ平行四辺形が2つのジャイロ対角線がその中点で交差する双曲四辺形であるという点で平行四辺形の法則に似ています。^[17]

ユークリッド3次元空間の開単位球に属するブロッホベクトルは、アインシュタイン加算^{[18]またはメビウス加算[6]}で研究することができる。

初期のジャイロベクトルの本^[19]のレビューでは次のように述べられています。

「長年にわたり、相対性理論や電気力学の問題解決に非ユークリッド的スタイルを使おうとする試みはいくつかあったが、十分な支持を得ることができず、さらに肯定的な結果も出なかったため、同様の取り組みを検討している人は躊躇するに違いない。最近まで、1912 年以来利用可能なツールを改良できる立場の人は誰もいなかった。アンガーは新著で、非ユークリッド的スタイルのあらゆるものから欠けている重要な要素、つまりアインシュタインの速度合成法則の構造を完全に活用するエレガントな非結合的代数形式を提供している。」^[20]

• Domenico Giulini、「特殊相対性理論の代数的および幾何学的構造」、Claus Lämmerzahl、Jürgen Ehlers 編著「特殊相対性理論: 今後 100 年間存続するか?」の一章、Springer、2006 年。

• アインシュタインの特殊相対性理論：双曲幾何学的観点
• Ungar, Abraham A. (2001). 「双曲三角法と双曲幾何学のポアンカレ球モデルへの応用」pp. 6–19. CiteSeerX  10.1.1.17.6107。