超越関数

数学において、超越関数とは、係数が独立変数の関数であり、加算、減算、乗算、除算の基本演算のみを使用して（極限を取る必要なしに）記述できる多項式方程式を満たさない解析関数である。これは代数関数とは対照的である。^{[1] [2]}

超越関数の例には、指数関数、対数関数、双曲線関数、三角関数などがあります。これらの式に関する方程式は超越方程式と呼ばれます。

形式的には、 1つの実変数または複素変数の解析関数が 超越関数であるとは、その変数から代数的に独立している場合を言う。 ^[3]これは、その関数がいかなる 多項式方程式も満たさないことを意味する。例えば、${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$全ての${\displaystyle x}$

は超越的ではなく代数的である。なぜなら多項式方程式を満たすからである。

${\displaystyle (ax+b)-(cx+d)f(x)=0}$。

同様に、次の式を満たす 関数は${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$全ての${\displaystyle x}$

基本的な算術演算を含む有限式として記述することはできませんが、超越的ではなく代数的です。

この定義は複数の変数の関数に拡張できます。

超越関数の正弦と余弦は、古代ギリシャ (ヒッパルコス) やインド (ジャヤとコティジャヤ) で証明されているように、物理的測定から表にまとめられました。正弦の表に相当するプトレマイオスの弦の表について、オラフ・ペダーセンは次のように書いています。

連続性という数学的概念はプトレマイオスには知られていない。彼がこれらの関数を連続的なものとして扱っていたのは、単純な線形補間のプロセスによって、独立変数の任意の値に対応する従属変数の値を決定できるという暗黙の仮定から来ている。 [ ^4]

これらの円関数に対する革命的な理解は17 世紀に生まれ、レオンハルト オイラーが1748 年に著書『無限の解析入門』で説明しました。これらの古代の超越関数は、アルキメデスが『放物線の求積法』を発表してから 2 千年後の 1647 年にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが直角双曲線の求積法xy = 1によって連続関数として知られるようになりました。

双曲線の下の面積は、境界の定数比に対して定数面積のスケーリング特性を持つことが示されました。このように記述された双曲対数関数は、1748 年にレオンハルト オイラーが定数を可変指数で累乗する関数、たとえば定数底がeである指数関数に関連付けるまで、あまり役に立ちませんでした。これらの超越関数を導入し、逆関数を意味する全単射特性に注目することで、自然対数が代数関数でなくても 、自然対数の代数的操作を行うための機能がいくらか提供されました。

指数関数は と書きます。オイラーはこれを無限級数と同一視しました。ここで、k !はkの階乗を表します。 ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$

この級数の偶数項と奇数項は、cosh( x )とsinh( x )を表す和を提供するので、これらの超越双曲関数は、級数に(-1) ^{k を}導入することで円関数の正弦と余弦に変換でき、交互級数になります。オイラーの後、数学者は正弦と余弦をこのように見て、超越性を対数関数と指数関数に関連付け、多くの場合、複素数演算におけるオイラーの公式を介しています。 ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$

以下の関数は超越関数です:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=e^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=\log _{e}{x}\\[2pt]f_{4}(x)&=\cosh {x}\\f_{5}(x)&=\sinh {x}\\f_{6}(x)&=\tanh {x}\\f_{7}(x)&=\sinh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{8}(x)&=\tanh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{9}(x)&=\cos {x}\\f_{10}(x)&=\sin {x}\\f_{11}(x)&=\tan {x}\\f_{12}(x)&=\sin ^{-1}{x}\\[2pt]f_{13}(x)&=\tan ^{-1}{x}\\[2pt]f_{14}(x)&=x!\\f_{15}(x)&=1/x!\\[2pt]f_{16}(x)&=x^{x}\\[2pt]\end{aligned}}}$$

最初の関数 では、指数を任意の他の無理数に置き換えることができ、関数は超越数のままです。2番目と3番目の関数 と では、底を1以外の任意の正の実数に置き換えることができ、関数は超越数のままです。関数4～8は双曲三角関数を表し、関数9～13は円三角関数を表します。14番目の関数は、ガンマ関数を介した階乗関数の解析拡張を表し、 はその逆数で整関数です。最後に、最後の関数 では、任意の非ゼロの実数 に対して指数を に置き換えることができ、関数は超越数のままです。 ${\displaystyle f_{1}(x)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f_{2}(x)}$${\displaystyle f_{3}(x)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f_{14}(x)}$${\displaystyle f_{15}(x)}$${\displaystyle f_{16}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle kx}$${\displaystyle k}$

最もよく知られている超越関数は、対数、指数関数（任意の非自明な底を持つ）、三角関数、双曲関数、およびこれらすべての逆関数です。あまり知られていないのは、ガンマ関数、楕円関数、ゼータ関数などの解析の特殊関数で、これらはすべて超越関数です。一般化された超幾何関数とベッセル関数は一般に超越関数ですが、いくつかの特殊なパラメータ値に対しては代数関数になります。

超越関数は、何らかの「制限処理」を使用せずに、加算、減算、乗算、除算、および累乗根（ここでは任意の整数）の演算のみを使用して定義することはできません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

超越関数でない関数は代数関数です。代数関数の簡単な例としては有理関数と平方根関数がありますが、一般に代数関数は、上記の例で示されているように、基本関数の有限式として定義することはできません（アーベル・ルフィニの定理を参照）。 ${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$

多くの代数関数の不定積分は超越関数です。たとえば、積分は対数関数 に等しくなります。同様に、多くの代数関数列の極限または無限和は超越関数です。たとえば、は指数関数 に収束し、無限和は双曲余弦関数 に等しくなります。実際、このような「極限手順」を使用せずに代数関数で超越関数を定義することは不可能です(積分、連続極限、無限和はほんの一例です)。 ${\displaystyle \int _{t=1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$${\displaystyle log_{e}(x)}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$${\displaystyle \cosh x}$

微分代数は、三角関数を持つ多項式を変数として取る場合など、積分によって、あるクラスから代数的に独立した関数が頻繁に作成される方法を調べます。

数理物理学の特殊関数を含む最もよく知られている超越関数は代数微分方程式の解である。ガンマ関数やゼータ関数など、そうでないものは超越的超越関数または超超超越関数と呼ばれる。^[5]

fが代数関数で が代数的数である場合、f ( α )も代数的数である。逆は真ではない。任意の代数的αに対してf ( α ) が代数的数となるような超越関数fが存在する。^[6]与えられた超越関数に対して、代数的な結果を与える代数的数の集合は、その関数の例外集合と呼ばれる。 ^{[7] [8]}正式には次のように定義される。 ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

多くの場合、例外的な集合はかなり小さいです。たとえば、これは1882年にリンデマンによって証明されました。特に、exp(1) = e は超越数です。また、 exp( iπ ) = −1は代数的であるため、 iπ は代数的ではないことがわかります。i は代数的であるため、πは超越数であることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},}$

一般に、関数の例外集合を見つけることは難しい問題ですが、計算できれば、超越数論の結果につながることがよくあります。他に知られている例外集合をいくつか示します。

• クラインのj不変量、 ここで⁠ ⁠は上半平面、⁠ ⁠は数体の次数⁠ ⁠この結果はテオドール・シュナイダーによるものです。^[9]$${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$
• 2 を底とする指数関数:この結果は、 が代数的であり、 が代数的かつ無理数である場合、 は超越関数であるというゲルフォン・シュナイダー定理の系です。したがって、関数2 ^{x は}、0 または 1 に等しくない任意の代数cに対してc ^xに置き換えることができます。実際、次の式が得られます。$${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• 超越数論におけるシャヌエル予想の帰結は、${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• シャヌエル予想を仮定する必要がない空の例外集合を持つ関数は${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

与えられた関数の例外集合を計算するのは簡単ではないが、代数的数の任意の部分集合、たとえばAが与えられた場合、例外集合がAである超越関数が存在することが知られている。^[10]部分集合は適切である必要はなく、つまりAは代数的数の集合であってもよい。これは、超越数が与えられた場合にのみ超越数を生成する超越関数が存在することを直接的に意味する。アレックス・ウィルキーはまた、例示的な解析関数を提供することで、その超越性に関する一階述語論理の証明が存在しない超越関数が存在することを証明した。^[11]

次元解析において、超越関数は引数が無次元の場合にのみ意味をなす（代数的簡約の後で可能）ため注目に値します。このため、超越関数は次元エラーの原因として簡単に見つけることができます。たとえば、log(5 メートル) は、 log(5 メートル / 3 メートル)やlog(3) メートルとは異なり、意味のない式です。対数恒等式を適用してlog(5) + log(メートル)を取得しようとすると、問題が浮き彫りになります。つまり、次元に非代数的演算を適用すると、意味のない結果が生成されるということです。

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ウィキブックの結合合成代数には、超越関数に関するページがあります。

• 数学百科事典における「超越関数」の定義