ゲオルク・カントル

ゲオルク・カントル
カンター、 1910年頃
生まれる	ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィヒ・フィリップ・カントル (1845-03-03)1845年3月3日 サンクトペテルブルク、ロシア帝国
死亡	1918年1月6日(1918-01-06)（72歳） ドイツ帝国、ザクセン州、ハレ
国籍	ドイツ語-ロシア語
母校	スイス連邦工科大学 ベルリン大学 ゲッティンゲン大学
知られている	集合論
配偶者	ヴァリー・グットマン ​ （ 1874年生まれ）
受賞歴	シルベスターメダル（1904年）
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ハレ大学
論文	不確定な秒数の決定 (1867)
博士課程の指導教員	エルンスト・クンマー カール・ヴァイエルシュトラス
サイン

ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィヒ・フィリップ・カントール（/ ˈ k æ n t ɔːr / KAN -tor ;ドイツ語: [ˈɡeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantoːɐ̯] ; 1845年3月3日 [旧暦2月19日] - 1918年1月6日^{[1] ）は、数学者であり、}集合論の創始において極めて重要な役割を果たした。集合論は数学における基礎理論となっている。カントールは、2つの集合のメンバー間の1対1対応の重要性を確立し、無限集合と整列集合を定義し、実数は自然数より多いことを証明した。この定理のカントールの証明方法は、無限数の無限数の存在を意味している。彼は基数と序数、およびそれらの算術を定義した。カントルの著作は哲学的に非常に興味深いものであり、彼自身もそのことをよく知っていた。^[2]

もともと、カントールの超限数理論は直感に反し、衝撃的でさえあるとみなされていた。このため、レオポルド・クロネッカーやアンリ・ポアンカレ^{[3]といった同時代の数学者から抵抗を受け、後には}ヘルマン・ワイルやL. E. J. ブラウワーからも抵抗を受けた。一方、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは哲学的な異論を唱えた。 「カントールの理論をめぐる論争」を参照。敬虔なルーテル派のクリスチャンであったカントール^[4]は、この理論は神から伝えられたものだと信じていた^[5] 。一部のキリスト教神学者(特に新スコラ学者) は、カントールの研究を神の本質における絶対的無限性の唯一性への挑戦と見なし^{[6] 、} あるときは超限数理論を汎神論と同一視したが 、カントールはこの主張を激しく拒絶した。すべての神学者がカントールの理論に反対していたわけではない。著名な新スコラ哲学者コンスタンティン・グトベルレットはこれを支持し、ヨハン・バプティスト・フランツェリン枢機卿はこれを有効な理論として受け入れた（カントルがいくつかの重要な説明を行った後）。^[8]

カントルの著作に対する反対は時として激しいものだった。レオポルド・クロネッカーは公然と反対し、個人攻撃をし、カントルを「科学のペテン師」、「背信者」、「若者を堕落させる者」と評した。^[9]クロネッカーは、代数的数は可算であり、超越数は不可算であるというカントルの証明に反対した。この証明は現在では標準的な数学のカリキュラムに含まれている。カントルの死後数十年経って著作を書いたウィトゲンシュタインは、数学は「集合論の有害な慣用句で完全に満ちている」と嘆き、これを「まったくのナンセンス」であり「滑稽」で「間違っている」と一蹴した。^[10] 1884年から生涯の終わりまでカントルが繰り返しうつ病に悩まされたのは、同時代の多くの人々の敵対的な態度のせいだとされたが、^{[11]これらのエピソードはおそらく}双極性障害の兆候だったと説明する者もいる。^[12]

厳しい批判はその後の称賛と一致するものとなった。1904年、王立協会はカントルに数学の業績に対して与えられる最高の栄誉であるシルベスターメダルを授与した。 ^[13] ダヴィド・ヒルベルトは「カントルが創り出した楽園から我々を追い出す者は誰もいない」と宣言して批判者からそれを擁護した。^{[14] [15]}

ゲオルク・カントルは1845年にロシア帝国のサンクトペテルブルクで生まれ、11歳まで同市で育った。6人兄弟の長男で、優れたバイオリニストとみなされていた。祖父のフランツ・ベーム（1788年 - 1846年）（バイオリニストのヨーゼフ・ベームの弟）は、ロシア帝国オーケストラの有名な音楽家兼ソリストであった。^{[16]カントルの父親は}サンクトペテルブルクの証券取引所の職員であったが、父親が病気になったため、家族は1856年にサンクトペテルブルクよりも冬が穏やかなドイツ、最初はヴィースバーデン、次にフランクフルトに移った。1860年、カントルはダルムシュタットの実科学校を優秀な成績で卒業した。数学、特に三角法における彼の並外れた才能は注目されていた。 1862年8月、カントルはダルムシュタット高等工科大学（現在のダルムシュタット工科大学）を卒業した。^{[17] [18]} 1862年、カントルはチューリッヒのスイス連邦工科大学に入学した。1863年6月に父が亡くなり、多額の遺産を相続した後、^{[19]カントルは}ベルリン大学に転校し、レオポルド・クロネッカー、カール・ヴァイエルシュトラス、エルンスト・クンマーの講義に出席した。1866年の夏、当時数学研究の中心地であったゲッティンゲン大学で過ごした。カントルは優秀な学生で、1867年に博士号を取得した。^{[19] [20]}

カントルは1867年にベルリン大学に数論に関する博士論文を提出した。ベルリンの女子校で短期間教鞭を執った後、ハレ大学に職を得て生涯をそこで過ごした。彼は同じく数論に関する博士論文で必要な学位を授与され、1869年にハレ大学に着任するとその論文を提出した。^{[20] [21]}

1874年、カントルはヴァリー・グットマンと結婚した。二人の間には6人の子供がおり、最後のルドルフは1886年に生まれた。カントルは、父親から受け継いだ遺産のおかげで、学者としての収入は少なかったものの、家族を養うことができた。ハルツ山地での新婚旅行中、カントルは2年前に休暇中にスイスのインターラーケンで出会ったリヒャルト・デデキントと数学の議論に多くの時間を費やした。

カントルは1872年に臨時教授に昇進し、1879年に教授となった。^{[20] [19]} 34歳で教授の地位に就いたことは注目すべき業績であったが、カントルはもっと権威のある大学、特に当時ドイツの一流大学であったベルリンの教授職を希望した。しかし、彼の研究はそれが不可能となるほど多くの反対に遭った。 ^[22] 1891年に亡くなるまでベルリンの数学を率いたクロネッカーは、カントルを同僚に持つことに次第に不快感を覚えるようになり、^[23]若い世代の数学者に自分の考えを教えることでカントルを「若者を堕落させる者」とみなした。^[24]さらに悪いことに、数学界では確固たる地位を占め、カントルの元教授でもあったクロネッカーは、1874年にカントルの最初の主要な出版物の出版を意図的に遅らせて以来、カントルの研究の主旨に根本的に反対していた。^{[20]現在では}数学における構成的観点の創始者の一人と見なされているクロネッカーは、カントルの集合論の多くを嫌っていた。なぜなら、それは特定の性質を満たす集合の存在を主張しながらも、その性質を実際に満たす集合の具体例を挙げていなかったからである。カントルがベルリンでの職に応募するたびに拒否され、そのプロセスにはたいていクロネッカーが関与していたため、^[20]カントルはクロネッカーの姿勢のためハレを離れることは絶対にできないと考えるようになった。

1881年、カントルのハレでの同僚エドゥアルト・ハイネが死去した。ハレは、ハイネの空席をデデキント、ハインリヒ・M・ウェーバー、フランツ・メルテンスの順に提供すべきだというカントルの提案を受け入れたが、各人は申し出を受けた後、辞退した。フリードリヒ・ヴァンゲリンが最終的に任命されたが、カントルと親しい関係には決してなかった。

1882年、カントルとデデキントの間の数学的な文通は、デデキントがハレの教授職を辞退したためか、終了した。^{[25]カントルはまた、スウェーデンの}イェスタ・ミッタク＝レフラーとも重要な文通を始め、すぐにミッタク＝レフラーの雑誌Acta Mathematicaに論文を発表し始めた。しかし1885年、ミッタク＝レフラーはカントルがActaに提出した論文の哲学的性質と新しい用語について懸念した。^{[26]彼はカントルに、論文が校正段階にある間に}Actaから論文を取り下げるよう求め、「... 100年ほど早すぎた」と書いた。カントルはこれに従ったが、その後ミッタク＝レフラーとの関係と通信を縮小し、第三者に宛てて「ミッタク＝レフラーが望むようにしていたら、私は1984年まで待たなければならなかっただろうが、それは私にとってはあまりにも長い要求に思えた！...しかし、もちろん私はアクタ・マテマティカについて二度と何も知りたくなかった」と書いた。^[27]

カントルは1884年5月に初めてうつ病にかかった。^{[19] [28]}彼の作品に対する批判は彼の心に重くのしかかった。1884年にミッターク＝レフラーに書いた52通の手紙のすべてにクロネッカーのことが言及されていた。これらの手紙の1通からの一節は、カントルの自信が損なわれたことを明らかにしている。

... いつ科学研究の続きに戻れるかは分かりません。現時点では、まったく何もできず、講義という最も必要な義務に自分を限定しています。必要な精神的新鮮ささえあれば、科学的に活動的になれたらどんなに幸せでしょう。^[29]

この危機により、彼は数学ではなく哲学の講義を志望するようになった。また、ウィリアム・シェイクスピアの作品とされる戯曲をフランシス・ベーコンが書いたという証拠があるかもしれないと考え、エリザベス朝文学の熱心な研究を開始した（シェイクスピアの作者問題を参照）。この研究は最終的に1896年と1897年に出版された2冊のパンフレットに結実した。^[30]

カントルはその後すぐに回復し、その後、対角線論法や定理を含むさらなる重要な貢献を果たした。しかし、1891年12月29日のクロネッカーの死後も、1874年から1884年にかけての注目すべき論文の高いレベルに再び達することはなかった。^[20]彼は最終的にクロネッカーとの和解を求め、それを成し遂げた。しかし、彼らを隔てる哲学的な意見の不一致と困難は続いた。

1889年、カントルはドイツ数学会の設立に尽力し^[20]、1891年にハレで行われた同会の第一回会合の議長を務め、対角線上の議論を初めて発表した。カントルの評判は高く、クロネッカーが反対したにもかかわらず、同会の初代会長に選出された。クロネッカーがカントルに対して示した敵意をよそに、カントルはクロネッカーを会合で講演するよう招いたが、当時、妻がスキー事故で負傷し瀕死の状態だったため、講演はできなかった。ゲオルク・カントルは、1897年にスイスのチューリッヒで開催された第一回国際数学者会議の設立にも尽力した^[20]。

カントルは1884年に入院した後、 1899年まで再び療養所に入院したという記録はない。^[28] 2度目の入院から間もなく、12月16日に末息子のルドルフが急死し（カントルはベーコン理論とウィリアム・シェイクスピアについての講義を行っていた）、この悲劇でカントルの数学に対する情熱は大きく失われた。^{[31]カントルは1903年に再び入院した。1年後、彼は}ユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。^[32]エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したにもかかわらず、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。 ^[13]カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ、そのために何度か教職を免除され、さまざまな療養所に繰り返し入所した。1904年の出来事の後、2、3年の間隔で入院を繰り返した。^[33]しかし、彼は数学を完全に放棄したわけではなく、 1903年にドイツ数学者協会の会合で集合論のパラドックス（ブラーリ・フォルティのパラドックス、カントルのパラドックス、ラッセルのパラドックス）について講義し、1904年にはハイデルベルクで開催された国際数学者会議に出席した。

1911年、カンターはスコットランドのセント・アンドリュース大学創立500周年記念式典に招待された著名な外国人学者の一人だった。カンターはバートランド・ラッセルに会うことを期待して出席したが、そのラッセルが最近出版した『プリンキピア・マテマティカ』にはカンターの著作が何度も引用されていたが、会うことは叶わなかった。翌年、セント・アンドリュース大学はカンターに名誉博士号を授与したが、病気のため本人が学位を受け取ることはできなかった。

カントルは1913年に引退し、第一次世界大戦中は貧困と栄養失調に苦しんだ。^[34] 70歳の誕生日の公式祝賀会は戦争のため中止された。1917年6月、彼は最後の療養所に入り、妻に帰宅の許可を求める手紙を何度も書いた。ゲオルク・カントルは、人生最後の1年を過ごした療養所で、1918年1月6日に致命的な心臓発作を起こした。^[19]

1874年から1884年にかけてのカントールの研究は集合論の起源である。^[35]この研究以前は、集合の概念は数学の始まりから暗黙的に使用されてきたかなり初歩的なものであり、アリストテレスの考えにまで遡る。集合論に重要な内容があることに気付いた者はいなかった。カントール以前には、有限集合（理解しやすい）と「無限」（数学的ではなく哲学的な議論のテーマと考えられていた）しかなかった。カントールは、無限集合には（無限に）多くのサイズが可能であることを証明することで、集合論が自明ではなく研究する必要があることを確立した。集合論は、代数、解析学、位相幾何学など、数学の伝統的な分野すべてにおける数学的対象（例えば、数や関数）に関する命題を単一の理論で解釈し、それらを証明または反証するための標準的な公理を提供するという意味で、現代数学の基礎理論としての役割を果たすようになった。集合論の基本概念は現在、数学全体で使用されている。^[36]

カントルは初期の論文の一つ^[37]で、実数の集合は自然数の集合よりも「数が多い」ことを証明した。これは初めて、異なるサイズの無限集合が存在することを示した。彼はまた、集合論における1対1対応（以下「1対1対応」と表記）の重要性を認識した最初の人物でもあった。彼はこの概念を使用して有限集合と無限集合を定義し、後者を可算集合（または可算無限集合）と非可算集合（非可算無限集合）に細分化した。^[38]

カントールは位相幾何学における重要な概念と濃度との関係を発展させた。例えば、1875年にヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスが発見したカントール集合^[39]はどこも稠密ではないが、実数全体の集合と同じ濃度を持つのに対し、有理数はどこも稠密だが可算であることを示した。また、端点のない可算稠密な線型順序はすべて有理数と順序同型であることも示した。

カントールは集合論における基本的な構成、例えば集合Aのべき集合( Aのすべての可能な部分集合の集合)を導入した。後に彼はAのべき集合のサイズはAが無限集合であってもAのサイズよりも必ず大きいことを証明した。この結果はすぐにカントールの定理として知られるようになった。カントールは基数と順序数と呼ばれる無限集合の完全な理論と算術を考案し、自然数の算術を拡張した。彼が基数に用いた表記法はヘブライ文字( ℵ、アレフ) に自然数の添え字を付したもので、順序数にはギリシャ文字( ω、オメガ) を用いた。この表記法は現在でも使用されている。 ${\displaystyle \aleph }$${\displaystyle \omega }$

カントールによって提唱された連続体仮説は、 1900年にパリで開催された国際数学者会議での演説で、デイヴィッド・ヒルベルトによって23の未解決問題の最初のものとして発表された。カントールの研究は、ヒルベルトの有名な賛辞を超えて好意的な注目を集めた。^[15]米国の哲学者チャールズ・サンダース・パースはカントールの集合論を賞賛し、1897年にチューリッヒで開催された第1回国際数学者会議でのカントールの公開講演の後、アドルフ・フルヴィッツとジャック・アダマールも両者とも称賛を表明した。その会議で、カントールはデデキントとの友情と文通を再開した。1905年から、カントールは集合論の歴史とカントールの宗教的思想について、イギリス人の崇拝者で翻訳家のフィリップ・ジュールダンと文通した。これは後に出版され、彼の解説的な著作のいくつかも出版された。

カントールの最初の 10 本の論文は、彼の学位論文のテーマである数論に関するものでした。ハレ大学の教授であったエドゥアルト ハイネの勧めで、カントールは解析学に目を向けました。ハイネは、ピーター グスタフ ルジューヌ ディリクレ、ルドルフ リプシッツ、ベルンハルト リーマン、そしてハイネ自身も解決できなかった未解決の問題、つまり三角級数による関数の表現の一意性を解決するようカントールに提案しました。カントールは 1869 年にこの問題を解決しました。この問題に取り組んでいるときに、三角級数の零点の集合 S の n 番目の導来集合 S nの添え字n_として現れる超限順序数を発見しました。Sを零点の集合とする三角級数 f(x) が与えられたとき、カントールは、 S _{1 を零}点の集合とする別の三角級数を生成する手順を発見したのです。S _k+1がS _kの極限点の集合であるならば、彼はS _k+1を零点とする三角級数を構成することができた。集合S _{k は}閉じているので、その極限点を含み、集合S、S ₁、S ₂、S ₃、... の無限減少列の交差は極限集合を形成し、これをS _ωと呼ぶことにする。そして彼は、S _ωにも極限点の集合S _{ω+1が必要であることに気づいた。彼の例は際限なく続き、ここには自然に発生する無限数}ω、ω  + 1 、ω  + 2 、...の無限列があった。^[40]

1870年から1872年にかけて、カントルは三角級数に関する論文をさらに発表し、無理数を有理数の収束する列として定義する論文も発表した。1872年にカントルと親しくなったデデキントは、その年の後半に、デデキントカットによる実数の有名な定義を初めて提示した論文の中でこの論文を引用している。無限基数という革命的な概念によって数の概念を拡張する一方で、カントルは同時代のオットー・シュトルツやポール・デュ・ボア＝レーモンの無限小の理論に逆説的に反対し、それらを「忌まわしいもの」であり「数学のコレラ菌」であると表現した。^{[41]カントルはまた、}無限小の矛盾に関する誤った「証明」も発表した。^[42]

数学の一分野としての集合論の始まりは、カントールの1874年の論文^[35]「すべての実代数的数の集合の特性について」の出版によって特徴づけられることが多い。^[44]この論文は、無限には複数の種類があることを厳密に証明した最初の論文であった。それまでは、すべての無限集合は暗黙のうちに同数である（つまり、「同じサイズ」または同じ数の要素を持つ）と想定されていた。^[45]カントールは、実数の集合と正の整数の集合は同数ではないことを証明した。言い換えれば、実数は可算ではない。彼の証明は、彼が1891年に示した対角線の議論とは異なる。 ^{[46]カントールの論文には、}超越数を構成する新しい方法も含まれている。超越数は1844年にジョセフ・リウヴィルによって初めて構築されました^。[47]

カントールは、2つの構成を用いてこれらの結果を確立した。彼の最初の構成は、実代数的数^[48]をa ₁、a ₂、a _{3 、...}という数列 として表す方法を示している。言い換えれば、実代数的数は可算である。カントールは、任意の実数列から2番目の構成を開始する。この数列を使用して、彼は、その交差に数列に含まれない実数が含まれる入れ子になった区間を構成する。実数のすべての数列は、数列に含まれない実数を構成するために使用できるため、実数を数列として表すことはできない、つまり、実数は可算ではない。カントールは、彼の構成を実代数的数列に適用することで、超越数を生成する。カントールは、彼の構成がさらに多くのことを証明していると指摘している。つまり、それらは、すべての区間には無限個の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新しい証明を提供している。^[49]カントールの次の論文には、超越数の集合が実数の集合と同じ「力」（下記参照）を持つことを証明する構成が含まれています。^[50]

1879年から1884年にかけて、カントルはMathematische Annalenに6つの論文を連続して発表し、集合論の入門書となった。同時に、カントルの考えに対する反対が高まりつつあり、その先頭に立ったのがレオポルド・クロネッカーだった。クロネッカーは、自然数から有限のステップで構築できる場合にのみ数学的概念を認め、自然数は直観的に与えられたものとした。クロネッカーにとって、カントルの無限の階層は受け入れられなかった。なぜなら、実際の無限の概念を受け入れることは、数学全体の妥当性に疑問を投げかけるパラドックスへの扉を開くことになるからである。^[51]カントルはこの時期に カントル集合も発表した。

このシリーズの5番目の論文「一般集合理論の基礎」は1883年に出版され^[52]、6つの中で最も重要で、独立したモノグラフとしても出版された。それはカントルの批評家への返答を含み、超限数が自然数の体系的な拡張である方法を示した。それは整列集合を定義することから始まる。次に、整列集合の順序型として順序数が導入される。カントルは次に、基数と順序数の加算と乗算を定義する。1885年、カントルは順序型の理論を拡張し、順序数は単に順序型の特別なケースになった。

1891 年、彼は非可算集合の存在に関するエレガントな「対角線論証」を含む論文を発表しました。彼は同じ考えをカントールの定理の証明に適用しました。つまり、集合Aのべき集合の濃度は、 Aの濃度よりも厳密に大きいということです。これにより、無限集合の階層構造と、カントールが定義した基数および順序数の算術の豊かさが確立されました。彼の論証は、停止問題の解決とゲーデルの第一不完全性定理の証明において基本的なものです。カントールは1894 年に ゴールドバッハ予想について執筆しました。

1895年と1897年に、カントルはフェリックス・クライン編集の下、Mathematische Annalenに2部構成の論文を発表した。これらは集合論に関する彼の最後の重要な論文となった。 ^[53]最初の論文は、集合、部分集合などを、現在ではほぼ受け入れられるであろう方法で定義することから始まる。基数と順序数の算術が検討されている。カントルは、2番目の論文に連続体仮説の証明を含めることを望んだが、順序付けられた集合と順序数の理論を説明することで妥協しなければならなかった。カントルは、 AとBが集合であり、 AがBの部分集合に等しく、BがAの部分集合に等しい場合、AとBは等しいということを証明しようと試みる。エルンスト・シュレーダーがこの定理を少し前に述べていたが、彼の証明はカントルのものと同様、欠陥があった。フェリックス・ベルンシュタインは1898年の博士論文で正しい証明を与えた。そのため、カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理という名前が付けられています。

カントルの1874年のクレレ論文は、1対1対応の概念に初めて言及したものだったが、彼自身はそのフレーズを使用していなかった。その後、彼は単位正方形の点と単位線分の点との間の1対1対応を探し始めた。1877年にリチャード・デデキントに宛てた手紙で、カントルははるかに強力な結果を証明した。任意の正の整数nに対して、単位線分の点とn次元空間内のすべての点との間に1対1対応が存在するというものである。この発見についてカントルはデデキントに次のように書いている。「Je le vois, mais je ne le crois pas!」（「私はそれを見ているが、信じない!」）^[54]彼が非常に驚くべきと感じた結果は、幾何学と次元の概念に影響を与えた。

1878年、カントルはクレレ誌に別の論文を提出し、その中で1対1対応の概念を正確に定義し、集合の「べき乗」（ヤコブ・シュタイナーから取った用語）または「同値」の概念を導入した。つまり、2つの集合の間に1対1対応が存在する場合、それらの集合は同値（同じべき乗を持つ）である。カントルは、可算集合（または可算集合）を自然数と1対1対応させることができる集合と定義し、有理数は可算であることを証明した。また、n次元ユークリッド空間 R ^{n は}実数 Rと同じべき乗を持つこと、およびRのコピーの可算無限積がそれと同じべき乗を持つことを証明した。カントルは概念として可算性を自由に使用したが、「可算」という単語を書いたのは1883年になってからである。カントルはまた、次元についての考え方についても論じ、単位区間と単位正方形の間の写像は連続的ではないことを強調した。

この論文はクロネッカーの不興を買い、カントルは撤回を望んだが、デデキントが説得して撤回を止めさせ、カール・ヴァイエルシュトラスもその出版を支持した。^[55]にもかかわらず、カントルは二度とクレレに論文を提出することはなかった。

カントルは、後に連続体仮説またはCHとして知られるようになるものを初めて定式化した人物である。つまり、自然数のべき乗より大きく、実数のべき乗より小さい集合は存在しない（あるいは、実数の濃度は、少なくともアレフ1ではなく、正確にアレフ1である）。カントルは連続体仮説が正しいと信じ、何年もかけてそれを証明しようとしたが、無駄だった。連続体仮説を証明できなかったことで、彼はかなりの不安を抱いた。^[11]

カントルが連続体仮説を証明するのに苦労したことは、数学の分野におけるその後の発展によって強調された。1940年のクルト・ゲーデルの結果と1963年のポール・コーエンの結果は、連続体仮説は標準的なツェルメロ・フランケル集合論と選択公理（「 ZFC 」と呼ばれる組み合わせ）では証明も反証もできないことを示唆している。^[56]

1883年、カントルは無限を超限と絶対とに分けた。^[57]

超限は大きさが増加可能だが、絶対は増加不可能である。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。一方、順序数は絶対無限のシーケンスを形成し、これより大きい順序数がないため大きさを増加させることはできない。^[58] 1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理も導入し、これは「思考の法則」であると述べた。^[59]

カントルは、絶対無限に関する研究を証明に利用することで拡張した。1895年頃、彼は整列原理を定理とみなし始め、それを証明しようとした。1899年、彼はデデキントに同等のアレフ定理の証明を送った。すなわち、すべての無限集合の濃度はアレフである。 [ ^60]まず、彼は2種類の重複性を定義した。無矛盾重複性（集合）と無矛盾重複性（絶対無限重複性）。次に、彼は順序数が集合を形成すると仮定し、これが矛盾につながることを証明し、順序数が無矛盾重複性を形成すると結論付けた。彼はこの無矛盾重複性を利用してアレフ定理を証明した。^[61] 1932年、ツェルメロはカントルの証明の構成を批判した。^[62]

カントールは、2種類の重複性があることを認識することでパラドックスを回避した。彼の集合論では、順序数が集合を形成すると仮定した場合、結果として生じる矛盾は、順序数が矛盾した重複性を形成することを意味するだけである。対照的に、バートランド・ラッセルはすべてのコレクションを集合として扱い、それがパラドックスにつながった。ラッセルの集合論では、順序数が集合を形成するため、結果として生じる矛盾は、理論が矛盾していることを意味する。1901年から1903年にかけて、ラッセルは、集合論が矛盾していることを意味する3つのパラドックスを発見した。それは、先ほど述べたブラリ＝フォルティのパラドックス、カントールのパラドックス、ラッセルのパラドックスである。^{[63]ラッセルは、}チェーザレ・ブラリ＝フォルティとカントールのどちらもパラドックスを発見したとは思っていなかったにもかかわらず、パラドックスに彼らの名前をつけた。 ^[64]

1908年、ツェルメロは集合論の公理系を発表した。公理系を開発した動機は2つあった。パラドックスを排除することと、整列定理の証明を確実にすることである。^{[65]ツェルメロは1904年に}選択公理を用いてこの定理を証明したが、その証明は様々な理由で批判された。^[66]その批判に対する彼の回答には、彼の公理系と整列定理の新しい証明が含まれていた。彼の公理はこの新しい証明をサポートし、集合の形成を制限することでパラドックスを排除している。^[67]

1923年、ジョン・フォン・ノイマンは、カントールと同様のアプローチ、すなわち集合ではないコレクションを識別し、それらを異なる方法で扱うことによってパラドックスを排除する公理システムを開発した。フォン・ノイマンは、クラスがすべての集合のクラスと一対一に対応できる場合、そのクラスは集合としては大きすぎると述べた。彼は集合を、何らかのクラスのメンバーであるクラスと定義し、公理を述べた。クラスが集合ではないのは、そのクラスとすべての集合のクラスとの間に一対一対応がある場合に限る。この公理は、これらの大きなクラスは集合ではないことを意味し、それらはどのクラスのメンバーにもなれないため、パラドックスを排除する。^[68]フォン・ノイマンは、この公理を使用して整列定理も証明した。カントールと同様に、彼は順序数が集合を形成すると仮定した。結果として生じる矛盾は、すべての順序数のクラスが集合ではないことを意味する。そして彼の公理は、このクラスとすべての集合のクラスとの間に一対一の対応を提供する。この対応はすべての集合のクラスを整列させ、整列定理を意味する。^[69] 1930年にツェルメロはフォン・ノイマンの公理を満たす集合論のモデルを定義した。^[70]

実際の無限の存在という概念は、数学、哲学、宗教の領域における重要な共通の関心事であった。神と数学の関係の正統性を保つことは、批評家が抱いたのと同じ形ではないにせよ、長い間カントルの関心事であった。 ^{[71]彼は、これらの分野間のこの交差点を、彼の}著書『人間一般の基礎理論』の序文で直接取り上げ、無限に関する彼の見解と哲学的見解のつながりを強調した。^[72]カントルにとって、彼の数学的見解は、その哲学的、神学的含意と本質的に結びついていた。彼は絶対無限を神と同一視し、^[73]超限数に関する彼の研究は、カントルを選んで世界にそれらを明らかにした神から直接伝えられたと考えていた。^[5]彼は敬虔なルター派で、その明確なキリスト教信仰が彼の科学哲学を形作った。^[74] ジョセフ・ドーベンはカントルのキリスト教的信念が超限集合論の発展にどのような影響を及ぼしたかを研究した。^{[75] [76]}

数学者間の論争は、実際の無限の性質に関する数学の哲学における反対意見から生じた。無限は数学的に正当ではない抽象概念であるという見解を保持し、その存在を否定した。 ^[77] 3つの主要な思想学派（構成主義とその2つの派生である直観主義と有限主義）の数学者は、この問題でカントールの理論に反対した。クロネッカーなどの構成主義者にとって、実際の無限のこの拒絶は、カントールの対角線議論などの非構成的証明は何かが存在することの十分な証明であるという考えに対する根本的な同意に起因しており、代わりに構成的証明が必要であると主張している。直観主義はまた、実際の無限があらゆる種類の現実の表現であるという考えを拒絶しますが、構成主義とは異なる経路で決定に達します。まず、カントールの議論は、超限数が実際の数学的実体として存在することを証明する論理に基づいているが、直観主義者は、数学的実体は論理命題に還元できず、心の直観に由来すると主張する。^[78]第二に、現実の表現としての無限の概念自体が直観主義では認められていない。なぜなら、人間の心は直観的に無限集合を構成することができないからである。^[79] L. E. J. ブラウワーや特にアンリ・ポアンカレなどの数学者は、カントールの研究に対して直観主義の立場をとった。最後に、ウィトゲンシュタインの攻撃は有限主義的であった。彼は、カントールの対角線論法は基数または実数の集合の内包とその外延を混同しており、集合を生成する規則の概念と実際の集合を混同していると信じていた。^[10]

キリスト教神学者の中には、カントルの著作を、神の本質における絶対的無限性の唯一性に対する挑戦とみなす者もいた。^[6]特に、新トマス主義の思想家は、神以外の何かから成る実際の無限の存在は、「神の至高の無限性に対する排他的主張」を危うくするものとみなした。^[80]カントルは、この見解は無限性の誤解であると強く信じ、集合論がこの誤りを正すのに役立つと確信していた。^[81]「... 超限的種は、有限数と同様に、創造主の意図と彼の絶対的無限の意志に左右される。」^[82]著名な新スコラ哲学者コンスタンティン・グトベルレットは、そのような理論を支持し、それが神の性質に反するものではないと主張した。^[8]

カントルはまた、彼の超限数理論が唯物論と決定論の両方に反すると信じており、ハレ大学で決定論的な哲学的信念を持たない 唯一の教員であることに気づいたときには衝撃を受けた。^[83]

カントルにとって、彼の哲学が自然の「有機的説明」を提供することは重要であり、1883年の著書『哲学の基礎』では、そのような説明はスピノザとライプニッツの哲学の資源を活用することによってのみ可能になると述べた。^{[84]これらの主張をするにあたって、カントルはベルリンで講義を受けた}FAトレンデレンブルクの影響を受けた可能性がある。カントルはトレンデレンブルクの講義を受け、スピノザの『エチカ』第1巻のラテン語注釈を作成した。トレンデレンブルクはカントルの『資格認定書』の審査官でもあった。^{[85] [86]}

1888年、カントルは自身の集合論の哲学的含意について数人の哲学者と交わした書簡を出版した。カントルは他のキリスト教思想家や権威者に自身の見解を採用するよう説得する広範な試みとして、ティルマン・ペッシュやジョセフ・ホントハイムなどのキリスト教哲学者や^[87]、またヨハン・バプティスト・フランツェリン枢機卿などの神学者とも書簡を交わした。フランツェリン枢機卿はかつてこれに対し、超限数論を汎神論と同一視して返答したことがある^[7]。しかし後に枢機卿はカントルの説明を受けてこの理論を有効なものとして受け入れた^{[8] 。カントルは}レオ13世に直接手紙を1通送り、数通のパンフレットを教皇に宛てて送った^{[81] 。}

カントルの数の性質に関する哲学は、物理現象の領域から離れて、内部現実内の表現として概念を仮定し証明する数学の自由を確信させるに至った。この形而上学的体系に対する唯一の制約は、すべての数学的概念は内部矛盾がなく、既存の定義、公理、定理に従うということである。この信念は、「数学の本質はその自由である」という彼の主張に要約されている。^[88]これらの考えは、カントルがハレで会ったエドムント・フッサールの考えと似ている。 ^[89]

一方、カントル自身は微小数に激しく反対し、微小数を「忌まわしいもの」であり「数学のコレラ 菌」であると表現した。^[41]

カンターの1883年の論文は、彼が自分の考えが直面している反対を十分に認識していたことを明らかにしている。「…私はこの取り組みにおいて、数学的な無限に関して広く支持されている見解や、数の性質に関して頻繁に擁護されている意見に、ある程度反対の立場に立つことを認識している。」^[90]

そのため、彼は初期の研究を正当化するために多くのスペースを割き、数学的概念は矛盾がなく、以前に受け入れられた概念に基づいて定義されている限り、自由に導入できると主張している。また、無限についてはアリストテレス、ルネ・デカルト、ジョージ・バークリー、ゴットフリート・ライプニッツ、ベルナルト・ボルツァーノを引用している。その代わり、数学哲学と形而上学の両方の領域で、イマヌエル・カントの哲学を常に強く拒絶した。彼はB・ラッセルのモットー「カントかカントルか」を共有し、カントを「数学をほとんど知らない詭弁な俗物」と定義した。 ^[91]

カントルの父方の祖父母はコペンハーゲン出身で、ナポレオン戦争の混乱から逃れてロシアに逃れた。彼らについての直接的な情報はほとんどない。^{[92]カントルの父、ゲオルク・ヴァルデマール・カントルはサンクトペテルブルクの}ルーテル派の宣教団で教育を受けており、息子との書簡からは二人とも敬虔なルーテル教徒であったことがわかる。ゲオルク・ヴァルデマールの出自や教育については確かなことはほとんどわかっていない。^[93]カントルの母、マリア・アンナ・ベームはサンクトペテルブルク生まれのオーストリア＝ハンガリー帝国出身で、ローマカトリックの洗礼を受けたが、結婚後プロテスタントに改宗した。しかし、カントルの兄弟ルイから母に宛てた手紙には次のように書かれている。

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ... ^[93]

（「たとえ私たちがユダヤ人の10倍の子孫であったとしても、そして私は原則としてヘブライ人の平等な権利に完全に賛成しているとしても、社会生活においてはキリスト教徒を好みます...」）これは彼女がユダヤ人の祖先であることを暗示していると解釈できる。^[94]

伝記作家のエリック・テンプル・ベルによると、両親は洗礼を受けていたものの、カントルはユダヤ系だったという。^[95] 1971年に発表された「ゲオルク・カントルの伝記に向けて」と題された論文の中で、イギリスの数学史家アイヴァー・グラッタン・ギネスは、ユダヤ系の祖先を示す証拠を見つけることができなかったと述べている（Annals of Science 27、pp. 345–391、1971）。（また、カントルの妻ヴァリー・グットマンもユダヤ人だったと述べている）。

1896 年にポール・タネリーに宛てた手紙(ポール・タネリー、Memoires Scientifique 13 Correspondence、Gauthier-Villars、パリ、1​​934 年、306 ページ) の中で、カントルは父方の祖父母がコペンハーゲンのセファルディ系ユダヤ人コミュニティのメンバーであったと述べています。具体的には、カントルは父親について次のように述べている。「彼はコペンハーゲンで、地元のポルトガル系ユダヤ人コミュニティ出身のユダヤ人（文字通り「イスラエル人」）の両親のもとに生まれた。」^[96] さらに、カントルの母方の大叔父^{[97]であるハンガリーのヴァイオリニスト、} ヨーゼフ・ベームはユダヤ人であるとされており、^[98]これはカントルの母親が少なくとも部分的にハンガリー系ユダヤ人コミュニティの子孫であったことを示唆しているのかもしれない。^[99]

カンターはバートランド・ラッセルに宛てた手紙の中で、自身の祖先と自己認識について次のように述べている。

私の父も母もドイツ人の血を引いていません。父はデンマーク人で、コペンハーゲン生まれ、母はオーストリア・ハンガリー系です。ご存知かと思いますが、私はただのドイツ人ではありません。1845年3月3日にロシアの首都サンクトペテルブルクで生まれましたが、1856年に11歳のときに父と母、兄弟姉妹とともにドイツに渡りました。^[100]

1930 年代には、このユダヤ人の祖先を疑問視する文書化された発言がありました。

ゲオルク・カントルがユダヤ人の血統であったかどうかという問題は、母親の血統よりも頻繁に議論されてきた。これについては、1937年にコペンハーゲンのデンマーク系図研究所が彼の父親について書いた通知に次のように記されている。「1809年または1814年に生まれたゲオルク・ヴォルデマール・カントルは、ユダヤ人コミュニティの登録簿には記載されておらず、彼がユダヤ人ではなかったことは疑いようがない」^[93]

1970年代まで、カントルに関する主な学術出版物は、アーサー・モーリッツ・シェーンフライス（1927年）による2つの短いモノグラフ（主にミッターク＝レフラーとの書簡）とフランケル（1930年）であった。どちらも二次、三次入手であり、どちらもカントルの私生活についてはあまり触れていなかった。その空白は、エリック・テンプル・ベルの『数学者たち』 （1937年）によってほぼ埋められた。カントルの現代の伝記作家の一人は、この本を「おそらく数学の歴史に関する現代の本の中で最も広く読まれている」、そして「最悪の本の一つ」と評している。^[101]ベルは、カントルと父親の関係をエディプス的、カントルとクロネッカーの不和を2人のユダヤ人の口論、そしてカントルの狂気を自分の数学が認められなかったことに対するロマン主義的な絶望として描いている。グラッタン・ギネス（1971）は、これらの主張はどれも真実ではないが、他の物語がないため、これらの主張は、その間の多くの本で見つけることができると結論付けた。ベルとは無関係の伝説もあり、その中には、カンターの父親が捨て子であり、親不明の者によってサンクトペテルブルクに送られたという伝説もある。^{[102]ベルの本に対する批評は、}ジョセフ・ドーベンの伝記に掲載されている。 ^[103]ドーベンは書いている。

カントルは、最も辛辣な書簡の一部と、Beiträgeの一部を、かつて彼が「数学の微小コレラ菌」と呼んだものの攻撃に費やした。これは、トーマ、デュボア・レーモン、シュトルツの研究を通じてドイツから広がり、イタリアの数学に感染した。微小数を受け入れることは、必然的に、カントル自身の数論が不完全であることを意味した。したがって、トーマ、デュボア・レーモン、シュトルツ、ヴェロネーゼの研究を受け入れることは、カントル自身の創作の完全性を否定することであった。当然のことながら、カントルは、あらゆる方法でヴェロネーゼの研究の信用を失墜させる徹底的なキャンペーンを開始した。^[104]

• 絶対無限
• アレフ数
• 連続体の濃度
• カントールメダル–ゲオルク・カントールを讃えるドイツ数学検証協会 による賞
• 基数
• 連続体仮説
• 可算集合
• 導関数集合（数学）
• イプシロン数（数学）
• 階乗数法
• ペアリング機能
• 超限数
• ゲオルク・カントルにちなんで名付けられたもののリスト

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カンターの生涯に関する古い資料は注意して扱う必要があります。上記のセクション § 伝記を参照してください。

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• ゲオルグ・カントール (1882)。 「Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)」。数学アンナレン。20 (1): 113–121。土井：10.1007/bf01443330。S2CID  177809016。
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• カントール、ゲオルグ (1897)。 「Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)」。数学アンナレン。49 (2): 207–246。土井：10.1007/bf01444205。S2CID  121665994。
• カントール、ゲオルグ (1932)。エルンスト・ツェルメロ（編）。 「数学と哲学を吸収する」。ベルリン：シュプリンガー。 2014 年 2 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。カントルが書いたほぼすべてのもの。付録には、カントルとデデキントとの書簡の抜粋(p. 443–451) とフランケルによるカントルの伝記 (p. 452–483) が含まれています。

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• デイヴィッド・ヒルベルト(1926)。 「ユーバー・ダス・ウンエンドリッシェ」。数学アンナレン。95：161-190。土井：10.1007/BF01206605。S2CID  121888793。
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• ペンローズ、ロジャー（2004）。『現実への道』アルフレッド・A・ノップフ。ISBN 0-679-77631-1第 16 章では、カントールの考え方がいかにして現代の著名な理論物理学者の興味をそそるかを説明します。 
• ラッカー、ルディ（2005）[1982]。無限と心。プリンストン大学出版局。ISBN 0-553-25531-2 Aczel と同様のテーマを扱っていますが、より詳細に扱っています。 
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• レオニダ・ラッザリ、リンフィニート・ディ・カントール。エディトリス・ピタゴラ、ボローニャ、2008年。

• Wikiquote のゲオルク・カントールに関する引用
• ウィキメディア・コモンズのゲオルク・カントールに関連するメディア
• インターネット アーカイブにあるゲオルク カントルの著作またはゲオルク カントルに関する作品
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ゲオルク・カントール」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「集合論の歴史」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学主にカンターの業績に焦点を当てています。
• ゲオルク・カントル、britannica.com
• スタンフォード哲学百科事典：トーマス・ジェック著『集合論』。ホセ・フェレイロス著『集合論の初期発展』。
• 「カントールの無限大」、カントールの 1874 年の論文の分析、BibNum (英語版は、[ダウンロード] をクリック)。この分析には誤りがあります。カントールの定理 1 は正しく述べられています。代数的数は数えることができます。しかし、定理 2 は誤って述べられています。実数は数えられません。その後、「カントールは、定理 1 と 2 を合わせると、非代数的実数の存在の再証明が可能になると指摘しています...」とあります。この存在の証明は非構成的です。定理 2 は正しく述べられています。実数のシーケンスが与えられた場合、シーケンスに含まれない実数を決定できます。定理 1 とこの定理 2 を合わせると、非代数的数が生成されます。カントールは、定理 2 を使用して、実数が数えられないことも証明しました。カントールの最初の集合論の記事、または「ゲオルク・カントールと超越数」を参照してください。2022年1月21日アーカイブ、 Wayback Machineでご覧いただけます。