スーパーマトリックス

数学と理論物理学において、超行列は通常の行列のZ ₂次類似物です。具体的には、超行列は超代数(または超環)の要素を持つ2×2ブロック行列です。最も重要な例は、可換超代数(グラスマン代数など) または通常の体(純粋に偶数である可換超代数と考えられる) の要素を持つ行列です。

超行列は、超線型代数の研究で、有限次元の超ベクトル空間または自由超加群間の線型変換の座標表現として現れます。超対称性の分野で重要な応用があります。

R を固定された超代数（単位元かつ結合的であると仮定）とします。多くの場合、R は超可換であることも要求されます（基本的に、次数なしの場合と同じ理由によります）。

p、q、r、sを非負の整数とする。次元 ( r | s )×( p | q )のスーパー行列は、 Rの要素が2×2 のブロック構造に分割された行列である。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

行の総数はr + sで、列の総数はp + q です（したがって、サブ行列X _{00 の}次元はr × pで、X _{11 の}次元はs × qです）。通常の（次数付けされていない）行列は、 qとsが両方ともゼロであるスーパー行列と考えることができます。

正方超行列とは、( r | s ) = ( p | q )となる行列です。つまり、分割されていない行列X が 正方であるだけでなく、対角ブロックX ₀₀とX ₁₁も正方であるということです。

偶数スーパーマトリックスとは、対角ブロック（X ₀₀およびX _{11 ）が}Rの偶数要素（つまり、パリティ 0 の同次要素）のみで構成され、非対角ブロック（X ₀₁およびX _{10 ）が}Rの奇数要素のみで構成されるマトリックスです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

奇数スーパーマトリックスは逆のことが成り立つマトリックスです。つまり、対角ブロックは奇数で、非対角ブロックは偶数です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

スカラーRが純粋に偶数の場合、非ゼロの奇数要素は存在しないため、偶数スーパーマトリックスはブロック対角スーパーマトリックスであり、奇数スーパーマトリックスは非対角スーパーマトリックスになります。

スーパーマトリックスは、偶数または奇数の場合、同次です。非ゼロの同次スーパーマトリックスXのパリティ| X | は、偶数か奇数かに応じて 0 または 1 になります。すべてのスーパーマトリックスは、偶数スーパーマトリックスと奇数スーパーマトリックスの合計として一意に表すことができます。

互換性のある次元のスーパー行列は、通常の行列と同様に加算または乗算できます。これらの操作は、ブロックが互換性のある次元を持つ場合にのみ定義されるという制限を除けば、通常の操作とまったく同じです。スーパー行列にRの要素 (左側または右側) を乗算することもできますが、 Rに奇数要素が存在するため、この操作は非等級の場合とは異なります。

M _{r | s × p | q} ( R ) が次元 ( r | s )×( p | q )を持つR上のすべての超行列の集合を表すものとします。この集合は、超行列の加算とスカラー乗算の下でR上の超加群を形成します。特に、Rが体K上の超代数である場合、 M _{r | s × p | q} ( R ) はK上の超ベクトル空間を形成します。

M _{p | q} ( R )が、次元 ( p | q )×( p | q )を持つR上のすべての正方超行列の集合を表すものとします。この集合は、超行列の加算と乗算の下で超環を形成します。さらに、R が可換超代数である場合、超行列の乗算は双線型演算であるため、 M _{p | q} ( R ) はR上の超代数を形成します。

次元 ( r | s )×( p | q ) の 2 つのスーパーマトリックスを、非段階的ケースと同様に加算して、同じ次元のスーパーマトリックスを得ることができます。ブロックのサイズは互換性があるため、加算はブロック単位で実行できます。2 つの偶数スーパーマトリックスの合計は偶数であり、2 つの奇数スーパーマトリックスの合計は奇数であることが簡単にわかります。

次数付けされていない場合と同様に、次元 ( r | s )×( p | q ) のスーパー行列に次元 ( p | q )×( k | l ) のスーパー行列を掛け合わせると、次元 ( r | s )×( k | l )の行列が得られます。この掛け算は、ブロック レベルで次のように明白な方法で実行できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

積超行列Z = XYのブロックは次のように与えられる ことに注意する。

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

XとY がパリティ | X | と | Y |で同次である場合、 XY はパリティ | X | + | Y |で同次です。つまり、2 つの偶数または 2 つの奇数のスーパーマトリックスの積は偶数ですが、偶数と奇数のスーパーマトリックスの積は奇数です。

超行列のスカラー乗算は、 Rに奇数要素が存在するため、次数なしの場合とは異なります。Xを超行列とします。α ∈ Rによる左スカラー乗算は次のように定義されます 。

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

ここで、内部スカラー乗算は通常の次数のない乗算であり、Rにおける次数の反転を表す。これは同次元では次のように表される。 ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

α による右スカラー乗算は同様に定義されます。

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

αが偶数なら、これらの演算は両方とも無次数版と同じである。αとXが同次なら、α⋅ XとX ⋅αは両方とも同次で、パリティは|α| + | X |である。さらに、Rが超可換なら、 ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

通常の行列は、ベクトル空間(または自由加群)間の線型写像の座標表現と考えることができます。同様に、超行列は、超ベクトル空間(または自由超加群)間の線型写像の座標表現と考えることができます。ただし、次数付きの場合、重要な違いがあります。ある超ベクトル空間から別の超ベクトル空間への準同型写像は、定義により、次数付けが保存されます (つまり、偶数要素を偶数要素に、奇数要素を奇数要素に写像します)。このような変換の座標表現は常に偶数超行列です。奇数超行列は、次数を逆にする線型変換に対応します。一般的な超行列は、任意の次数付けされていない線型変換を表します。このような変換は、次数付きの場合にも重要ですが、次数付き (偶数) 変換ほど重要ではありません。

超代数R上の超加群 M は、自由同次基底を持つ場合自由である。そのような基底がp個の偶数元とq個の奇数元で構成される場合、Mはランクp | q を持つと言われる。R が超可換である場合、ランクは、次数なしの場合と同様に、基底の選択に依存しない。

R ^{p | q を}列スーパーベクトル、つまり次元 ( p | q )×(1|0)のスーパー行列の空間とします。これは当然、右Rスーパーモジュールであり、右座標空間と呼ばれます。次元 ( r | s )×( p | q ) のスーパー行列T は、右R線形写像 として考えることができます。

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

ここで、 TのR ^{p | q}への作用は、単にスーパーマトリックスの乗算です (この作用は一般に左R線形ではないため、R ^{p | q}を右スーパーモジュールとして考えます)。

M をランクp | qの自由右R超加群とし、N をランクr | sの自由右R超加群とする。 ( e _i ) をMの自由基底とし、 ( f _k ) をNの自由基底とする。このような基底の選択は、 MからR ^{p | q}およびNからR ^{r | s}への同型の選択と同等である。任意の (次数なし) 線型写像

${\displaystyle T:M\to N\,}$

は、選択された基底に対する ( r | s )×( p | q ) のスーパーマトリックスとして表すことができます。関連するスーパーマトリックスの成分は、次の式で決定されます。

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

超行列Tのブロック分解は、MとNを偶数と奇数のサブモジュールに 分解することに対応する。

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

通常の行列に対する多くの演算はスーパー行列に一般化できますが、その一般化は必ずしも明白または簡単ではありません。

超行列の超転置は、転置のZ ₂次類似体です。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

同次 ( r | s )×( p | q ) スーパー行列とする。X のスーパー転置は( p | q ) ×( r | s ) スーパー行列 である。

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

ここで、A ^{t は}Aの通常の転置を表す。これは線形性によって任意の超行列に拡張できる。通常の転置とは異なり、超転置は一般に反転ではなく、むしろ4次である。超転置を超行列Xに2回適用すると、次のようになる。

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

Rが超可換ならば、超転置は恒等式を満たす。

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

スーパー行列のパリティ転置は、非次数類似物のない新しい演算である。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

は ( r | s )×( p | q ) のスーパー行列である。Xのパリティ転置は( s | r )×( q | p ) のスーパー行列 である。

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

つまり、転置行列の( i , j )ブロックは元の行列の (1− i ,1− j )ブロックです。

パリティ転置演算は恒等式に従う

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

同様に

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}}$

ここで、st はスーパートランスポーズ演算を表します。

正方超行列の超トレースは、トレースのZ 2 次類似体である。これは、同_次超行列上で次の式で定義される。

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

ここで、tr は通常のトレースを表します。

Rが超可換ならば、超トレースは恒等式を満たす。

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

同次超行列XとYの場合。

正方超行列のベレジニア（または超行列式）は、行列式の Z 2 次類似体です。ベレジニアは、可換超_代数R上の偶数で可逆な超行列でのみ定義されます。この場合、次の式で与えられます。

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

ここで、det は（可換代数R ₀の要素を持つ正方行列の）通常の行列式を表します。

ベレジニアンは、通常の行列式と同様の性質を満たしています。特に、乗法的であり、超転置に対して不変です。これは、超トレースと次の式で関連付けられています。

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

• Varadarajan, VS (2004)。数学者のための超対称性：入門。Courant Lecture Notes in Mathematics 11。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3574-2。
• ピエール・ドリーニュ、ジョン・W・モーガン (1999)。「超対称性に関するノート (ジョセフ・バーンスタインに倣って)」。量子場と弦: 数学者のためのコース。第 1 巻。アメリカ数学会。pp. 41–97。ISBN 0-8218-2012-5。