状態（機能分析）

関数解析の数学分野では、演算子系の状態はノルム1の正の線形汎関数です。関数解析における状態は、量子力学における密度行列の概念を一般化したもので、量子状態（混合状態と純粋状態の両方）を表します。密度行列は、純粋状態のみを表す状態ベクトルを一般化したものです。単位元を持つ C*-代数Aの演算子系Mに対して、M のすべての状態の集合（S( M ) と表記されることもあります）は、バナッハ双対空間M ^*において凸で弱*閉です。したがって、弱*位相を持つMのすべての状態の集合は、 Mの状態空間として知られるコンパクトなハウスドルフ空間を形成します。量子力学の C*-代数的定式化では、この意味での状態は物理状態、すなわち物理的観測量（C*-代数の自己共役要素）から期待される測定結果（実数）への写像に対応します。

ジョルダン分解

状態は、確率測度の非可換一般化と見なすことができる。ゲルファント表現によれば、すべての可換C*-代数Aは、ある局所的にコンパクトなハウスドルフ空間Xに対してC ₀ ( X )の形をとる。この場合、S ( A )はX上の正のラドン測度からなり、純粋状態はX上の評価汎関数である。

より一般的には、GNS の構成は、適切な表現を選択した後、すべての状態がベクトル状態であることを示している。

C*-環A上の有界線形汎関数は、 Aの自己共役元上で実数値をとる場合、自己共役であると言われる。自己共役汎関数は、符号付き測度の非可換版である。

測度論におけるジョルダン分解とは、符号付き測度はすべて、互いに素な集合を基準とする2つの正の測度の差として表せるという法則である。これは非可換な場合にも拡張できる。

定理—すべての自己共役 $f$ で $A^{\ast }$ 次のように書くことができます $f=f_{+}-f_{-}$ どこ $f_{+}$ そして $f_{-}$ は正の汎関数であり、 $\Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert$ 。

証拠

証明の概略は次のようになる。 $\Omega$ は、正の線形汎関数の弱*コンパクト集合である。 $A$ ノルム≤1で、 $C(\Omega )$ 連続関数は $\Omega$ 。

$A$ は、閉じた線形部分空間として見ることができる。 $C(\Omega )$ （これはカディソンの関数表現です）。ハーン＝バナッハにより、 $f$ にまで及ぶ $g$ で $C(\Omega )^{\ast }$ と $\Vert g\Vert =\Vert f\Vert$ 。

上記の測度論の結果を用いると、次のようになる。

$g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu$

ここで、自己共役性により $f$ 、 $\mu$ 符号付き尺度とみなすことができます。以下のように記述してください。

$\mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;$

正の尺度の差。関数の制約 $\textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}$ そして $\textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}$ に $A$ 必要な特性を備えている $f_{+}$ そして $f_{-}$ これは定理を証明する。

上記の分解から、A*は状態の線形スパンであることがわかる。

いくつかの重要な国家の分類

純粋状態

クライン＝ミルマンの定理によれば、 Mの状態空間には極点が存在する。状態空間の極点は純粋状態と呼ばれ、その他の状態は混合状態と呼ばれる。

ベクトル状態

ヒルベルト空間HとH内のベクトルxに対して、式ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ ( TはB(H)内) はB(H)上の正の線形汎関数を定義します。ω _x ( 1 )=|| x || ²なので、 || x ||=1の場合、 ω _xは状態です。 AがB(H)の C*-部分代数であり、M がA内の演算子系である場合、 ω _xのMへの制限はM上の正の線形汎関数を定義します。このようにしてH内の単位ベクトルから生じるMの状態は、 Mのベクトル状態と呼ばれます。