コーシー・ビネの公式

数学、特に線形代数において、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとジャック・フィリップ・マリー・ビネにちなんで名付けられたコーシー＝ビネの公式は、転置行列（積が明確に定義され、正方行列となる）である2つの長方形行列の積の行列式を表す恒等式です。これは、正方行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しいという命題を一般化したものです。この公式は、任意の可換環の要素を持つ行列に対して有効です。

Aをm × n行列、Bをn × m行列とする。集合{1, ..., n }を[ n ]と書き、${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$[ n ]のm個の組み合わせの集合(つまり、[ n ]のサイズmの部分集合) については、${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$（それらのうちの）${\displaystyle S\in {\tbinom {[n]}{m}}}$列がSのインデックスにおけるAの列であるm × m行列をA _{[ m ], S}と書き、行がSのインデックスにおけるBの行であるm × m行列をB _{S ,[ m ]}と書く。コーシー・ビネの公式は次のようになる。

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).}$

例：m = 2、n = 3と行列をとる${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}}$ そして${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$コーシー・ビネの公式は行列式を与える

${\displaystyle \det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|.}$

確かに${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}}$、そしてその行列式は${\displaystyle -28}$これは等しい${\displaystyle (-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2}$式の右辺から。

n < mの場合${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$は空集合であり、式は${\displaystyle \det(AB)=0}$（その右辺は空の和です）実際、この場合、ランクは${\displaystyle m\times m}$マトリックス${\displaystyle AB}$最大 で ${\displaystyle n}$これは、その行列式がゼロであることを意味します。${\displaystyle n=m}$、その場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は正方行列であり、${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}=\{[n]\}}$（単一要素集合）なので、合計には${\displaystyle S=[n]}$、そしてその式は次のように述べている。${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$。

のために${\displaystyle m=0}$、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$空行列です（ただし形状は異なります）${\displaystyle n>0}$彼らの製品も同様です。${\displaystyle AB}$総和は単一の項を含む${\displaystyle S=\emptyset }$、そしてその式は${\displaystyle 1=1}$両辺は、${\displaystyle 0\times 0}$行列。${\displaystyle m=1}$総和はコレクション全体にわたる${\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}}$の${\displaystyle n}$異なるシングルトンは${\displaystyle [n]}$式の両辺から${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}}$、行列で表されるベクトルのペアのドット積。 の最小値${\displaystyle m}$式が示す非自明な等式は${\displaystyle m=2}$ビネ・コーシーの恒等式に関する記事で議論されています。

以下の簡単な証明は、いくつかの異なる方法で証明できる 2 つの事実に基づいています。^{[ 1 ]}

1. いかなる場合でも${\displaystyle 1\leq k\leq n}$係数${\displaystyle z^{n-k}}$多項式において${\displaystyle \det(zI_{n}+X)}$は、${\displaystyle k\times k}$主な未成年者${\displaystyle X}$。
2. もし${\displaystyle m\leq n}$そして${\displaystyle A}$は${\displaystyle m\times n}$行列と${\displaystyle B}$1${\displaystyle n\times m}$行列、次に

${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$。

さて、係数を比較すると${\displaystyle z^{n-m}}$方程式において${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$左辺は主小数の合計になります${\displaystyle BA}$右辺は定数項を与える${\displaystyle \det(zI_{m}+AB)}$これは単に${\displaystyle \det(AB)}$これはコーシー・ビネの公式が述べていること、つまり

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((BA)_{S,S})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S})\\[5pt]={}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).\end{aligned}}}$

コーシー・ビネの公式には様々な証明方法が存在する。以下の証明は形式的な操作のみに基づいており、ライプニッツの公式で定義されると考えられる行列式の特定の解釈は用いない。ここでは、行と列に関する多重線形性と、行または列が等しい場合にゼロになるという交代性のみを用いる。特に、正方行列の行列式の乗法性は用いず、むしろ（n = mの場合）証明する。この証明は、任意の可換係数環に対して有効である。

この公式は2つのステップで証明できる。

1. Aの行とBの列の両方が多重線形（より正確には2m線形）であるという事実を利用して、 Aの各行とBの各列に1つの非ゼロ要素（1）のみが存在する場合に簡略化します。 
2. このケースを処理するには、Aの行番号をその非ゼロエントリの列番号に、 Bの列番号をその非ゼロエントリの行番号にそれぞれマッピングする関数[ m ] → [ n ]を使用します。

ステップ 1 では、 Aの各行またはB の各列、および各m組み合わせSについて、 det( AB )およびdet( A _{[ m ], S} )det( B _{S ,[ m ]} )の値が実際に行または列に線形に依存することを観察します。後者については、行列式の多重線形性からこれはすぐにわかります。前者については、Aの行またはBの列の線形結合を取り、残りを変更しない場合、積ABの対応する行または列のみが同じ線形結合によって影響を受けることをさらに確認する必要があります。したがって、 Aのすべての行、次にBのすべての列について、各行と各列を標準基底ベクトルの線形結合として記述することにより、線形性を使用してコーシー・ビネの公式の両辺を計算できます。結果として得られる多重和は膨大ですが、両辺とも同じ形式になっています。対応する項には同じスカラー因子（それぞれがAとBの要素の積）が含まれており、これらの項は、上述のような定数行列に関する2つの異なる式を含む点のみで異なります。これらの式は、コーシー・ビネの公式によれば等しくなるはずです。これにより、最初のステップの簡略化が実現されます。

具体的には、複数の総和は、 Aの各行インデックスに対して対応する列インデックスを与えるすべての関数f :[ m ] → [ n ]に対する総和と、 Bの各列インデックスに対して対応する行インデックスを与えるすべての関数g :[ m ] → [ n ]に対する総和の2つにグループ化できます。fとgに関連付けられた行列は次のとおりです。

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}}$

どこ "${\displaystyle \delta }$はクロネッカーのデルタであり、証明すべきコーシー・ビネの公式は次のように書き換えられています。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g})\\[5pt]={}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),\end{aligned}}}$

ここで、p ( f , g )はスカラー因子を表す。${\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}$残る課題は、すべてのf、g :[ m ] → [ n ]に対してA = L _fおよびB = R _gのコーシー・ビネの公式を証明することである。

このステップ 2では、fが単射でない場合、 L _fとL _f R _gはどちらも2つの同一の行を持ち、gが単射でない場合、 R _gとL _f R _gはどちらも2つの同一の列を持ちます。どちらの場合も、恒等式の両辺はゼロになります。ここで、 fとgの両方が単射写像[ m ] → [ n ]であると仮定すると、因子は${\displaystyle \det((L_{f})_{[m],S})}$右側はS = f ([ m ])でない限りゼロですが、${\displaystyle \det((R_{g})_{S,[m]})}$S = g ([ m ])でない限り、はゼロになります。したがって、 fとgの像が異なる場合、右辺には零項のみがあり、L _f R _{g に}は零行があるため、左辺もゼロになります ( iの場合)。${\displaystyle f(i)\notin g([m])}$） fとgの像が同じである残りのケース、例えばf ([ m ]) = S = g ([ m ])の場合、以下を証明する必要があります。

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}).\,}$

h を[ m ] → Sの唯一の単調増加全単射 とし、π、σ を[ m ]の置換とする。${\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}}$そして${\displaystyle g=h\circ \sigma }$; それから${\displaystyle (L_{f})_{[m],S}}$はπの置換行列です。${\displaystyle (R_{g})_{S,[m]}}$はσの置換行列であり、L _f R _{g は}の置換行列である。${\displaystyle \pi \circ \sigma }$また、置換行列の行列式は置換の符号に等しいので、符号が乗法であるという事実から恒等式が導かれる。

証明において、Aの行とBの列の両方に関して多重線形性を使用する必要はありません。どちらか一方、例えば前者だけを使用し、行列積L _f BがB _{f ([ m ])、[ m ]}の行の順列( fが単射の場合) から構成されるか、少なくとも 2 つの等しい行を持つことを利用すればよいのです。

これまで見てきたように、コーシー・ビネの公式は以下と同等である。

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

どこ

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

一般化されたクロネッカーデルタの観点から、コーシー・ビネの公式と同等の式を導出することができる。

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

A が実数m × n行列である場合、 det( A A ^T )は、 Aのm行によってR ⁿ内に張られる平行六面体の m 次元体積の二乗に等しくなります。ビネの公式によれば、これは平行六面体をm次元座標平面 (m 次元座標平面には、${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$)

m = 1の場合、平行多面体は単一のベクトルに縮小され、その体積はその長さになります。上記の記述は、ベクトルの長さの二乗はその座標の二乗の和であることを示しています。これは、ピタゴラスの定理に基づく長さの定義から、確かに当てはまります。

テンソル代数 では、内積空間が与えられた場合${\displaystyle V}$n次元の場合、コーシー・ビネの公式は外積代数上の誘導内積を定義する。${\displaystyle \wedge ^{m}V}$すなわち：

${\displaystyle \langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{m},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{m}\rangle =\det \left(\langle v_{i},w_{j}\rangle \right)_{i,j=1}^{m}.}$

コーシー・ビネの公式は、2つの行列の積の小行列式に関する一般的な公式に簡単に拡張できます。公式の文脈は小行列式に関する記事で説明されていますが、基本的な考え方は、通常の行列乗算の公式と2つの行列の積の行列式のコーシー・ビネの公式の両方が、 2つの行列の積の小行列式に関する次の一般的な記述の特殊な場合であるということです。Aはi × k行列、Bはk × j行列、Iは{1, ..., i }の部分集合でm個の要素を持ち、Jは{1, ..., j }の部分集合でm個の要素を持つとします。すると、

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

ここで、和は{1, ..., k }のすべての部分集合K （ m個の要素を持つ）にわたって取られます。表記法に注意してください。${\displaystyle [\mathbf {M} ]_{I,J}}$とは、 Mの行のうちインデックスがIに属する行と、インデックスがJに属する列のみを取り出して形成される行列の行列式を意味します。

コーシー・ビネの公式の連続版であるアンドレーエフ恒等式^{[ 2 ]}は、ランダム行列理論^{[ 3 ]}でよく見られる。それは次のように表される。${\displaystyle \left\{f_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$そして${\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$積分可能な関数の 2 つのシーケンスであり、${\displaystyle I}$。 それから

${\displaystyle \int _{I}\cdots \int _{I}\det \left[f_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}\det \left[g_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{N}=N!\,\det \left[\int _{I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=1}^{N}.}$

フォレスター^{[ 4 ]}は、上記の恒等式の離散化として通常のコーシー・ビネの公式を復元する方法を説明しています。

これは時折アンドレイフ＝ハイネ同一性と呼ばれるが、ハイネに功績を帰するのは非歴史的である。2010年以前の資料では一般的にアンドレイフのみに功績が帰せられているからである。^{[ 5 ]}

• Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) 『線形代数の包括的入門』、§4.6 コーシー・ビネの定理、pp  208 – 14、Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5。
• ジン・ホ・クァク＆ソンピョ・ホン（2004）『線形代数第2版』、例題 2.15 ビネ・コーシーの公式、 66、7ページ、ビルクハウザーISBN 0-8176-4294-3。
• IR Shafarevich & AO Remizov (2012)線形代数と幾何学、§2.9 (p.  68) & §10.5 (p.  377)、 Springer ISBN 978-3-642-30993-9。
• ML Mehta (2004)ランダム行列、第3版、Elsevier ISBN 9780120884094。