中心となる単純代数

環論や数学の関連分野において、体K上の中心単純代数( CSA )は、単純で中心が正確にKである有限次元結合K代数Aです。(すべての単純代数がその中心上の中心単純代数であるとは限らないことに注意してください。たとえば、K が特性 0 の体である場合、ワイル代数は中心Kを持つ単純代数ですが、K加群として無限次元を持つため、 K上の中心単純代数ではありません。) ${\displaystyle K[X,\partial _{X}]}$

たとえば、複素数 C はそれ自身に対しては CSA を形成しますが、実数 Rに対しては形成しません ( Cの中心はRだけではなくC全体です)。四元数H はRに対して 4 次元 CSA を形成し、実際、実数の Brauer 群の唯一の非自明な要素を表します(以下を参照)。

同じ体F上の2 つの中心単純代数A ~ M ( n , S ) とB ~ M ( m , T ) が与えられたとき、それらの分割環SとTが同型であれば、AとBは類似(またはBrauer 同値) であると呼ばれる。この同値関係の下で、与えられた体F上の中心単純代数の同値類全体の集合は、代数のテンソル積によって与えられる群演算を備えることができる。結果として得られる群は、体FのBrauer 群Br( F ) と呼ばれる。^[1] これは常に捩れ群である。^[2]

• アルティン・ウェダーバーン定理によれば、有限次元単純代数A は、ある分割環Sに対して行列代数M ( n , S )と同型である。したがって、各ブラウアー同値類には一意の分割代数が存在する。^[3]
• 中心単純代数のすべての自己同型は内部自己同型である（これはスコーレム・ノイマンの定理に従う）。
• 中心単純代数の次元は、その中心上のベクトル空間としては常に平方であり、次数はこの次元の平方根である。^[4]中心単純代数の シュア指数は、同値な除算代数の次数である。^[5]それは代数のブラウアー類のみに依存する。 ^[6]
• 中心単純代数の周期または指数は、ブラウアー群の要素としてのブラウアー類の順序である。これは指数の約数であり、^[7] 2つの数は同じ素因数で構成される。^{[8] [9] [10]}
• S が中心単純代数Aの単純部分代数である場合、 dim _F Sは dim _F Aを割り切ります。  
• 体F上のすべての 4 次元中心単純代数は四元数代数と同型です。実際、それは 2 行 2 列の行列代数か除算代数のいずれかです。
• DがK上の中心分割代数であり、その指数が素因数分解できる場合

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

するとDはテンソル積分解を持つ 。

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

ここで各成分D _{i は}指数の中心分割代数であり、成分は同型性を除いて一意に決定される。^[11]${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$

A ⊗ E がE上の行列環に同型であるとき、体E をA上のKに対する分割体と呼ぶ。すべての有限次元 CSA には分割体が存在する。実際、 A が除算代数である場合、 Aの最大部分体は分割体である。一般に、ウェダーバーンとケーテの定理により、 Kの可分拡大で次数がAのインデックスに等しい分割体が存在し、この分割体はAの部分体に同型である。^{[12] [13]} 例として、体C は四元数代数H をR上で次のように 分割する。

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\ -y+zi&t-xi\end{配列}}\right).}$

分割体の存在を利用して、CSA Aの縮小ノルムと縮小トレースを定義することができます。^[14] A を分割体上の行列環に 写像し、縮小ノルムと縮小トレースを、それぞれ行列式とトレースを持つこの写像の合成として定義します。たとえば、四元数代数Hでは、上記の分割により、要素t + x i + y j + z k は縮小ノルムt ² + x ² + y ² + z ²と縮小トレース 2 tを持つことがわかります。

縮約ノルムは乗法であり、縮約トレースは加法である。Aの元aは、その縮約ノルムが非ゼロのときに限り逆である。したがって、CSAは、非ゼロ元上の縮約ノルムが非ゼロのときに限り除算代数である。^[15]

体K上の CSA は、 K上の拡大体の非可換類似体です。どちらの場合も、非自明な 2 辺イデアルを持たず、中心に特別な体を持ちますが、CSA は非可換であり、逆体を持つ必要はありません (除算代数である必要はありません)。これは、数体の一般化 (有理数Qの拡大)としての非可換数論において特に興味深いものです。非可換数体を参照してください。

• 東谷代数、基底体を可換局所環に置き換えた CSA の一般化
• セヴェリ・ブラウアー多様体
• ポズナーの定理

• コーン、PM (2003)。さらなる代数と応用（第2版）。シュプリンガー。ISBN 1852336676.ZBL1006.00001  。​
• ジェイコブソン、ネイサン(1996)。体上の有限次元除算代数。ベルリン: Springer - Verlag。ISBN 3-540-57029-2.ZBL0874.16002  .​
• ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• ロレンツ、ファルコ (2008)。代数学。第 2 巻: 構造を持つ体、代数、および高度なトピック。Springer。ISBN 978-0-387-72487-4.ZBL1130.12001  。​

• アルバート、AA（1939）。代数の構造。コロキウム出版。第24巻（第7改訂版再版）。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1024-3.ZBL0023.19901  .​
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006).中心単純代数とガロアコホモロジー. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001。