自然対数のテイラー級数
区間 (0,2) 内の n=1、2、3、10 の対数の多項式近似。 数学 において 、 メルカトル級数 または ニュートン・メルカトル級数は、 自然対数 の テイラー級数 である 。
行 （ 1 + x ） = x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ ⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
加算記法 では 、
行 （ 1 + x ） =
∑
ん = 1
∞
（ − 1
）
ん + 1
ん
x
ん
。
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}
この級数は、 のときは常に自然対数（1 だけシフト）に 収束します 。
− 1 < x ≤ 1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
歴史 この数列は ヨハネス・ハッデ （1656年） [1] と アイザック・ニュートン （1665年）によって独立に発見されたが、両者ともその結果を公表しなかった。 ニコラス・メルカトルも独立にこれを発見し、1668年の論文 『対数技術』 にこの数の小さな値を含めた 。また、一般的な数列は、 1668年に ジョン・ウォリス が『 哲学論文集』 に書いたこの本の書評に含まれていた。 [2]
導出 この級数はテイラーの定理 から、 におけるの n 次導 関数を 帰納的に 計算することで 得られる 。
行 （ x ）
{\displaystyle \ln(x)}
x = 1
{\displaystyle x=1}
d
d x
行 （ x ） =
1 x
。
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}
あるいは、有限等 比級数 （ ）
から始めることもできる。
t ≠ − 1
{\displaystyle t\neq -1}
1 − t +
t
2
− ⋯ + （ − t
）
ん − 1
=
1 − （ − t
）
ん
1 + t
{\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}
これにより
1
1 + t
= 1 − t +
t
2
− ⋯ + （ − t
）
ん − 1
+
（ − t
）
ん
1 + t
。
{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}
すると、
∫
0
x
d t
1 + t
=
∫
0
x
（
1 − t +
t
2
− ⋯ + （ − t
）
ん − 1
+
（ − t
）
ん
1 + t
）
d t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}
そして、項ごとの積分によって、
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
+
(
−
1
)
n
∫
0
x
t
n
1
+
t
d
t
.
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}
の場合 、剰余項は として 0 に近づきます 。
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
この式をk 回
繰り返し積分すると、
−
x
A
k
(
x
)
+
B
k
(
x
)
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
+
k
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
)
,
{\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}
どこ
A
k
(
x
)
=
1
k
!
∑
m
=
0
k
(
k
m
)
x
m
∑
l
=
1
k
−
m
(
−
x
)
l
−
1
l
{\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}
そして
B
k
(
x
)
=
1
k
!
(
1
+
x
)
k
{\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}
はx の多項式である 。 [3]
特別なケース メルカトル級数に 設定すると 、交代調和級数が得られる。
x
=
1
{\displaystyle x=1}
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
=
ln
(
2
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}
複合シリーズ 複素 べき 級数
∑
n
=
1
∞
z
n
n
=
z
+
z
2
2
+
z
3
3
+
z
4
4
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }
は のテイラー級数 で あり 、log は 複素対数 の 主枝 を表します。この級数は、すべての複素数 に対して正確に収束します 。実際、 比テスト からわかるように、 収束半径は 1 に等しいため、半径 r < 1 のすべての 円板 B (0, r )上で 絶対収束します。さらに、 δ > 0の すべてのニブル円板 上で一様に収束します 。これは、代数的恒等式からすぐにわかります。
−
log
(
1
−
z
)
{\displaystyle -\log(1-z)}
|
z
|
≤
1
,
z
≠
1
{\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}
B
(
0
,
1
)
¯
∖
B
(
1
,
δ
)
{\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}
(
1
−
z
)
∑
n
=
1
m
z
n
n
=
z
−
∑
n
=
2
m
z
n
n
(
n
−
1
)
−
z
m
+
1
m
,
{\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}
右辺が閉じた単位円全体にわたって一様収束していることを観察する。
参照
参考文献
^ Vermij、Rienk (2012 年 2 月 3 日)。 「ヨハネス・フッデの略歴と書誌」。 ゲウィナ / TGGNWT (オランダ語)。 18 (1)：25～35。 hdl :1874/251283。 ISSN 0928-303X。 ^ Roy, Ranjan (2021) [第1版。2011年]。 数学の発展におけるシリーズと製品 。第1巻（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。pp.107、167。 ^ Medina, Luis A.; Moll, Victor H .; Rowland, Eric S. (2011). 「対数べき乗の反復プリミティブ」. International Journal of Number Theory . 7 (3): 623–634. arXiv : 0911.1325 . doi :10.1142/S179304211100423X. S2CID 115164019.
