機能統合

関数積分とは、数学と物理学における一連の成果であり、積分領域が通常の空間領域ではなく、関数の空間となるものです。関数積分は、確率論、偏微分方程式の研究、粒子と場の量子力学における経路積分定式化などに現れます。この用語は通常の積分の拡張を示唆していますが、無限次元空間には並進不変な測度が存在しないため、関数積分はより洗練された方法で定義するか、形式的に解釈する必要があります。

通常の積分（ルベーグ積分の意味での）では、積分される関数（被積分関数）と、その関数を積分する空間領域（積分領域）があります。積分は、領域をより小さな部分に分割し、それぞれの部分で関数を評価し、その結果を合計することによって得られる和の極限を表します。各小さな領域では、被積分関数の値はあまり変化しないため、単一の値で置き換えることができます。関数積分では、積分領域は関数の空間です。各関数に対して、被積分関数は合計する値を返します。この手順を厳密にすることは、現在も研究対象となっている課題です。

関数積分は、パーシー・ジョン・ダニエルが1919年の論文^{[ 1 ]}で、ノーバート・ウィーナーがブラウン運動に関する1921年の論文で締めくくる一連の研究で開発しました。彼らは、粒子のランダムな経路に確率を割り当てるための 厳密な方法（現在ウィーナー尺度として知られています）を開発しました。リチャード・ファインマンは、システムの量子特性を計算するのに役立つ別の関数積分である経路積分を開発しました。ファインマンの経路積分では、粒子の唯一の軌道という古典的な概念は、それぞれが古典的な特性に応じて異なる重みを持つ古典的な経路の無限和に置き換えられます。

関数積分は、理論物理学における量子化手法の中心をなすものである。関数積分の代数的性質は、量子電磁力学や素粒子物理学の標準模型における性質を計算するために用いられる級数展開に利用される。

標準的なリーマン積分は関数f ( x ) をxの連続的な値の範囲にわたって合計するのに対し、関数積分は関数G [ f ] を関数fの連続的な範囲（または空間）にわたって合計します。これは「関数の関数」と考えることができます。ほとんどの関数積分は厳密に評価することはできませんが、摂動法を使用して評価する必要があります。関数積分の正式な定義は次のとおりです 。$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$しかし、ほとんどの場合、関数f ( x ) は、次のような直交関数の無限級数で表すことができます。${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$すると定義は次のようになる $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$これは少し理解しやすい。積分は、大文字の関数積分であることが示される。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$場合によっては、引数は角括弧で囲まれて記述される。${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$機能統合尺度における機能の機能的依存性を示すため。^{[ 2 ]}

ほとんどの関数積分は実際には無限ですが、関連する2つの関数積分の商の極限は有限になることがよくあります。厳密に評価できる関数積分は、通常、次のガウス積分から始まります。

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

その中で${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$これをJ ( x )に関して関数微分し、0 に設定すると、指数関数にfの単項式を掛けたものになります。これを確認するために、次の表記法を使用しましょう。

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

この表記法を用いると、最初の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

さて、関数微分を定義に当てはめると、${\displaystyle W[J]}$そして評価すると${\displaystyle J=0}$すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

これは予想された結果である。さらに、最初の式を用いることで、有用な結果が得られる。

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

これらの結果をまとめて元の表記に戻すと、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

もう一つ有用な積分は、関数デルタ関数です。

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

これは制約条件を指定するのに役立ちます。関数積分はグラスマン値関数に対しても実行できます。${\displaystyle \psi (x)}$、 どこ${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$これは、フェルミオンを含む計算を行う量子電磁力学において有用である。

積分空間が経路（ν = 1）で構成される関数積分は、さまざまな方法で定義できます。定義は大きく2つのクラスに分けられます。ウィーナーの理論から導かれる構成では測度に基づく積分が得られますが、ファインマンの経路積分に基づく構成ではそうではありません。これら2つの大まかな区分内でも、積分は同一ではなく、関数のクラスによって定義が異なります。

• ファインマン経路積分
• 分配関数（量子場理論）
• 鞍点近似

• Jean Zinn-Justin (2009)、Scholarpedia 4 (2):8674。
• クライナート、ハーゲン著、『量子力学、統計学、高分子物理学、金融市場における経路積分』第4版、ワールドサイエンティフィック（シンガポール、2004年）；ペーパーバックISBN 981-238-107-4（オンラインでも入手可能：PDFファイル）
• Laskin, Nick (2000). "Fractional quantum mechanics". Physical Review E. 62 ( 3): 3135–3145 . arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . PMID 11088808. S2CID 15480739 .  
• Laskin, Nick (2002). "分数シュレーディンガー方程式". Physical Review E . 66 (5) 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108 . PMID 12513557 . S2CID 7520956 .  
• Minlos, RA (2001) [1994]、「軌道上の積分」、数学百科事典、EMS Press
• OG スモリャノフ、ET シャヴグリゼ。『連続積分』モスクワ、モスクワ国立大学出版局、1990年。（ロシア語）。http ://lib.mexmat.ru/books/5132
• ヴィクトル・ポポフ著、『量子場理論と統計物理学における関数積分』、シュプリンガー社、1983年
• Sergio Albeverio、Sonia Mazzucchi、「無限次元積分への統一的アプローチ」、Reviews in Mathematical Physics、28、1650005 (2016)
• クラウダー、ジョン。「機能統合に関する講義」。フロリダ大学。 2024年7月8日にアーカイブ済み。