トレースクラス

数学、特に関数解析において、トレースクラス演算子はトレースが定義される線型演算子であり、トレースはその計算に使用される基底の選択とは無関係に有限数となる。トレースクラス演算子のこのトレースは、線型代数で研究される行列のトレースを一般化する。トレースクラス演算子はすべてコンパクト演算子である。

量子力学では、量子状態は密度行列によって記述され、密度行列は特定のトレースクラス演算子である。^[1]

トレースクラス演算子は本質的には核演算子と同じであるが、多くの著者は「トレースクラス演算子」という用語をヒルベルト空間上の核演算子の特殊なケースのために予約し、「核演算子」という用語をより一般的な位相ベクトル空間（バナッハ空間など）で使用する。

偏微分方程式で研究されるトレース演算子は無関係な概念である ことに注意してください。

を可分ヒルベルト空間、正規直交基底、および上の正有界線型作用素とする。のトレースは で表され、次のように定義される^{[2] [3]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

正規直交基底の選択とは無関係である。（必ずしも正ではない）有界線型作用素はトレースクラス と呼ばれるが、その場合のみ、${\displaystyle T:H\rightarrow H}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$

ここで は半正定値エルミート平方根を表す。^[4]${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

トレースクラス演算子Tのトレースノルムは、次のように定義されます。 トレースノルムはすべてのトレースクラス演算子の空間上のノルムであり、トレースノルムにより、はバナッハ空間になること がわかります。 $${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$${\displaystyle B_{1}(H)}$${\displaystyle B_{1}(H)}$

が有限次元のとき、すべての（正の）演算子はトレースクラスであり、 のトレースのこの定義は行列 のトレースの定義と一致する。 が複素数の場合、 は常に自己随伴（すなわち）であるが、その逆は必ずしも真ではない。^[5]${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=A^{*}=|A|}$

有界線形演算子が与えられた場合、次の各ステートメントはトレースクラスに属することと同等です。 ${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$はHの任意の正規直交基底 に対して有限である。^[2]${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• Tは核演算子である^{[6] [7]}

には2つの直交列とがあり、には正の実数があり、 ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

ここで、Tの特異値（または、同等に、の固有値）であり、各値はその重複度と同じ回数繰り返されます。^[8]${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle |T|}$

• Tはコンパクトな演算子であり、${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

Tがトレースクラスである場合、 ^[9]

${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ かつ }}C:H\to H{\text{ はコンパクト演算子 }}\right\} である。}$

• Tは積分演算子である。^[10]
• Tは2つのヒルベルト・シュミット演算子の合成に等しい。^[11]
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$はヒルベルト・シュミット演算子である。^[11]

をヒルベルト空間上の有界自己随伴作用素とする。トレース類は、固有値を持つ純粋な点スペクトルを持つときのみ存在する。^[12]${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

マーサーの定理はトレースクラス演算子の別の例を提供します。つまり、 が上の連続対称正定値核で、次のように定義されるとします。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

関連するヒルベルト・シュミット積分演算子 はトレースクラス、すなわち、 ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

すべての有限ランク演算子はトレースクラス演算子である。さらに、すべての有限ランク演算子の空間は（トレースノルムが与えられた場合）の稠密な部分空間である。^[9]${\displaystyle B_{1}(H)}$

任意の演算子を で定義すると 、は階数1の連続線型演算子となり、トレースクラスとなる。さらに、 H上（およびH内）の任意の有界線型演算子Aに対して、 ^[9]${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

1. が非負の自己随伴演算子である場合、 がトレースクラスとなるのは、の場合に限ります。したがって、自己随伴演算子がトレースクラスとなるのは、その正の部分と負の部分が両方ともトレースクラスとなる場合に限ります。(自己随伴演算子の正の部分と負の部分は、連続関数計算によって得られます。)${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{-}}$
2. トレースとは、トレースクラス演算子の空間上の線型関数です。つまり、 双線型写像はトレースクラス上の内積です。対応するノルムはヒルベルト・シュミットノルムと呼ばれます。ヒルベルト・シュミットノルムにおけるトレースクラス演算子の完備化は、ヒルベルト・シュミット演算子と呼ばれます。$${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\オペレータ名 {Tr} (A^{*}B)}$$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$は正の線形関数であり、トレースクラス演算子がを満たす場合、^[11]${\displaystyle T}$${\displaystyle T\geq 0{\text{ および }}\operatorname {Tr} T=0,}$${\displaystyle T=0.}$
4. がトレースクラスであれば、トレースクラスも同様であり、^[11]${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. が有界で、がトレースクラスである場合、およびもトレースクラスである（すなわち、 H上のトレースクラス作用素の空間は、H上の有界線型作用素の代数におけるイデアルである）、^{[11] [13]} さらに、同じ仮定の下で、^[11]および最後の主張は、 AとTがヒルベルト・シュミットであると いうより弱い仮定の下でも成り立つ。${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle AT}$${\displaystyle TA}$ $${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. とがHの2つの正規直交基底であり、Tがトレースクラスである場合、 [ ^9]${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. A がトレースクラスである場合、のフレドホルム行列式を定義できます。ここで、 は のスペクトルです。 のトレースクラス条件は、無限積が有限であることを保証します。実際、が可逆である場合に限り、 であること も意味します。${\displaystyle I+A}$$${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$${\displaystyle (I+A)}$
8. がトレース類である場合、任意の正規直交基底に対して正の項の和は有限である。^[11]${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle H,}$${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. あるヒルベルト・シュミット演算子に対してが成り立ち、任意の正規ベクトルに対してが成り立つ。^[11]${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

を可分ヒルベルト空間のトレースクラス作用素と​​し、をの固有値とする。 が代数的重複度を考慮して列挙されていると仮定する（つまり、 の代数的重複度が である場合、はリスト 内で 回繰り返される）。 リツキーの定理（ヴィクトル・ボリソヴィッチ・リツキーにちなんで名付けられた）は、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

右の級数は、コンパクト演算子の 固有値と特異値の間のワイル不等式により絶対収束することに注意する ^[14]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$${\displaystyle A.}$

ある種の有界演算子は古典的なシーケンス空間の非可換類似体とみなすことができ、トレースクラス演算子はシーケンス空間の非可換類似体とみなすことができる。 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

実際、スペクトル定理を適用して、可分ヒルベルト空間上のすべての正規トレースクラス演算子は、特定の方法で、ヒルベルト基底のペアの選択に関するシーケンスとして実現できることを示すことができます。同様に、有界演算子はコンパクト演算子の非可換バージョンであり、(0 に収束するシーケンス)、ヒルベルト-シュミット演算子はに対応し、有限ランク演算子は (有限個の非ゼロ項のみを持つシーケンス)に対応します。ある程度、これらの演算子クラス間の関係は、それらの可換な対応物間の関係に似ています。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle c_{00}}$

ヒルベルト空間上のすべてのコンパクト演算子は、次の標準形を取ることを思い出してください。正規直交基底とが存在し、となる 非負数のシーケンスが あります。上記のヒューリスティックなコメントをより正確にすると、 がトレースクラスである場合は、その級数が収束する場合に限り、がヒルベルト-シュミットである場合は、 が収束する場合に限り、 が有限ランクである場合は、そのシーケンスに非ゼロの項が有限個しかない場合になります。これにより、これらの演算子のクラスを関連付けることができます。が無限次元の場合、次の包含関係が成り立ち、すべて適切です。${\displaystyle T}$${\displaystyle (u_{i})_{i}}$${\displaystyle (v_{i})_{i}}$${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$$${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$${\displaystyle T}$${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle T}$${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

トレースクラスの演算子にはトレースノルムが与えられる。ヒルベルト・シュミットの内積に対応するノルムは、 また、通常の演算子ノルムは、シーケンスに関する古典的な不等式により、 適切な${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$$${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$$${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$${\displaystyle T.}$

有限ランク演算子は、それぞれのノルムにおいてトレースクラスとヒルベルト・シュミットの両方で稠密であることも明らかです。

の双対空間はである。同様に、 で表されるコンパクト演算子の双対は で表されるトレースクラス演算子である。ここで概説する議論は、対応するシーケンス空間の議論を彷彿とさせる。によって定義される 演算子を と同一視しよう。 ここで は、によって与えられるランク 1 演算子である。 ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle K(H)^{*},}$${\displaystyle B_{1}.}$${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T_{f}}$$${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$${\displaystyle S_{x,y}}$$${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

この識別は、有限階数の演算子が でノルム稠密であるため機能します。が正の演算子である場合、任意の正規直交基底に対して、が 恒等演算子 である場合に次が成り立ちます。${\displaystyle K(H).}$${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle u_{i},}$$${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$${\displaystyle I}$$${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

しかし、これは がトレースクラスであることを意味します。極分解を利用すると、これを一般の場合に拡張でき、 が正である必要はありません。 ${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{f}}$

有限階数の演算子を用いた極限論は、したがって、は等長的に同型であることを示す。${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$${\displaystyle K(H)^{*}}$${\displaystyle B_{1}.}$

の双対はであることを思い出してください。現在の文脈では、トレースクラス演算子の双対は有界演算子です。より正確には、集合はの両側イデアルです。したがって、任意の演算子が与えられた場合、によって上の連続線型関数を定義できます。有界線型演算子と の双対空間の要素間のこの対応は、等長同型です。したがって、はの双対空間です。これを使用して、上の弱*位相を定義することができます。${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle T\in B(H),}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B_{1}.}$${\displaystyle B(H).}$

• 核作用素 – 位相ベクトル空間に関連する線型作用素
• バナッハ空間間の核作用素 – 有限次元作用素に似た性質を持つバナッハ空間上の作用素Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• トレース演算子

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