行列式補題

数学、特に線形代数では、行列式補題は、可逆行列Aと列ベクトルuと行ベクトルv ^Tの二項積u v ^Tの和の行列式を計算します。^{[ 1 ] [ 2 ]}

A が可逆な正方行列であり、uとvが列ベクトルであると仮定します。すると、行列式補題によれば、

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\,\det(\mathbf {A} )\,.}$

ここで、uv ^Tは2 つのベクトルuとvの外積です。

この定理は、 Aの随伴行列を用いて次のように表すこともできる。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {A} )+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {u} \,,}$

この場合、行列Aが可逆行列であるかどうかに関わらず適用されます。

まず、特別な場合A = Iの証明は等式から導かれる: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

左辺の行列式は、3つの行列の行列式の積です。最初の行列と3番目の行列は対角成分が1の三角行列なので、行列式は1になります。真ん中の行列の行列式が求める値です。右辺の行列式は単純に(1 + v ^T u )です。したがって、次の結果が得られます。

${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} .}$

すると、 u をA ⁻¹ uと設定することで一般ケースが見つかる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})&=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {I} +(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}})\\&=\det(\mathbf {A} )\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\right).\end{aligned}}}$

Aの行列式と逆行列が既に分かっている場合、この式は、行列uv ^{Tで補正された}Aの行列式を計算するための数値的に安価な方法を提供する。A + uv ^Tの行列式を最初から計算する必要がないため (これは一般的に高価である)、計算は比較的安価である。u および/またはvに単位ベクトルを使用することで、 Aの個々の列、行、または要素^{[ 4 ]}を操作し、それに応じて更新された行列式をこのようにして比較的安価に計算することができる。

行列式補題をシャーマン・モリソン公式と組み合わせて使用​​すると、逆行列と行列式の両方をまとめて簡単に更新できる。

Aが可逆なn × n行列であり、UとVがn × m行列であると仮定します。すると

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {A} )。$

特別な場合${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_{n}} }$これはワインスタイン＝アロンシャイン恒等式です。

さらに、可逆なm × m行列Wが与えられた場合、関係は次のように表現することもできます。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {W} )\det(\mathbf {A} )。}$

• シャーマン・モリソン公式は、逆数A ^{−1を更新して (} A + uv ^T ) ⁻¹を得る方法を示しています。
• ウッドベリーの公式は、逆数A ^{−1を更新して (} A + UCV ^T ) ⁻¹を得る方法を示しています。
• ( A + UCV ^T ) ⁻¹の二項逆定理。