直交変換

線形代数において、直交変換とは、実内積空間V上の線形変換T  : V → Vであり、内積を保存するものである。すなわち、Vの要素の任意のペアu、vに対して、 ^{[ 1 ]}が成り立つ。    

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.}$

ベクトルの長さとベクトル間の角度は内積によって定義されるため、直交変換はベクトルの長さとベクトル間の角度を保存します。特に、直交変換は正規直交基底を正規直交基底に写像します。

直交変換は単射である：${\displaystyle Tv=0}$それから${\displaystyle 0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle }$したがって${\displaystyle v=0}$核心は​${\displaystyle T}$些細なことだ。

2 次元または 3次元のユークリッド空間における直交変換は、固定回転、鏡映、または回転と鏡映の組み合わせ (不適切回転とも呼ばれる) です。鏡映は、鏡面に対して直交し、前後方向を反転させる変換であり、(現実世界の) 鏡のように機能します。適切な回転 (鏡映なし) に対応する行列の行列式は +1 です。鏡映を伴う変換は、行列式が −1 の行列で表されます。これにより、回転と鏡映の概念を高次元に一般化することができます。

有限次元空間において、直交変換の行列表現（正規直交基底に関して）は直交行列である。その行は互いに直交するノルム1のベクトルであり、行はVの正規直交基底を構成する。行列の列はVの別の正規直交基底を形成する。  

直交変換が可逆である場合（ Vが有限次元の場合は常に可逆である）、その逆変換は$\displaystyle T^{-1}}$は、転置または随伴と同一の別の直交変換です。${\displaystyle T}$:${\displaystyle T^{-1}=T^{\mathtt {T}}}$。

内積空間を考える${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$標準ユークリッド内積と標準基底を用いて、行列変換を行う。

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

は直交している。これを確認するには、以下を考えてみよう。

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

前述の例は、すべての直交変換を構築するために拡張できます。たとえば、次の行列は、上の直交変換を定義します。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$

• 幾何学的変換
• 不適切な回転
• 線形変換
• 直交行列
• 剛体変換
• ユニタリ変換