ロンスキアン

数学において、n 個の微分可能関数のWronskian は、関数とn – 1次までのその導関数で形成される行列式です 。これは 1812 年にポーランドの数学者Józef Wrońskiによって導入され、微分方程式の研究で使用され、解の集合の 線形独立性を示すことがあります。

2 つの微分可能関数f とgの Wrońskian はです。 ${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$

より一般的には、区間I上でn -1回微分可能なn個 の実数値または複素数値関数f ₁ , …, f _nに対して、ロンスキー関数は 次のように定義される 関数である。 ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$${\displaystyle x\in I}$$${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\det {\begin{bmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{bmatrix}}.}$$

これは、関数を最初の行に配置し、関数の 1 次導関数を 2 行目に配置し、導関数まで同様に配置して、正方行列を 形成することによって構築された行列の行列式です。 ${\displaystyle (n-1)^{\text{th}}}$

関数f _{i が}線型微分方程式の解である場合、関数f _{i が}明示的にわかっていなくても、アベルの恒等式を使用して Wrońskian を明示的に見つけることができます。(以下を参照。)

関数f _iが線形従属であれば、Wrońskian の列も線形従属となり (微分は線形演算であるため)、Wrońskian は消滅する。したがって、微分可能関数の集合が区間上で線形独立であることは、それらの Wrońskian が同一に消滅しないことを示すことによって証明できる。ただし、孤立した点では消滅する可能性がある。^[1]

よくある誤解は、W = 0がどこでも線形従属を意味するというものです。ペアノ (1889) は、関数x ²と| x | · x は 連続導関数を持ち、その Wrońskian はどこでも消えますが、 0 のどの近傍でも線形従属ではないことを指摘しました。^[a]ある区間で Wrońskian が消えることと組み合わさって線形従属を意味する追加の条件がいくつかあります。

• マキシム・ボシェは、関数が解析的である場合、区間内でロンスキアンが消滅することは、関数が線形従属であることを意味すると指摘した。^[3]
• Bôcher (1901) は、Wrońskian が消えることが線型従属を意味するための他のいくつかの条件を示しました。たとえば、n個の関数の Wrońskian が常にゼロであり、n – 1個の Wrońskian がどの点でもすべて消えない場合、関数は線型従属です。
• Wolsson (1989a) は、Wronskian の消失と合わせて線形依存性を意味するより一般的な条件を与えました。

正の特性pの体上では、線形独立多項式であっても Wronskian がゼロになることがあります。たとえば、x ^pと 1 の Wronskian は 0 になります。

一般に、次の線形微分方程式の場合、解がわかっている場合は、最後の解は Wrońskian を使用して決定できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

ラグランジュ記法による2階微分方程式を考えてみましょう。 ここで、、は既知であり、yは見つけるべき未知の関数です。方程式の2つの解をWronskianと呼び、それらのWronskianを形成することにし ましょう。$${\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle y_{1},y_{2}}$$${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}}$$

次に微分し、上記の微分方程式に従う という事実を利用すると、${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle y_{i}}$$${\displaystyle W'(x)=a(x)W(x)}$$

したがって、Wronskian は単純な 1 階微分方程式に従い、次のように正確に解くことができます。 ここで、およびは定数です。 $${\displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}}$$${\displaystyle A'(x)=a(x)}$${\displaystyle C}$

ここで、解の 1 つ、たとえば がわかっているとします。すると、Wrońskian の定義により、 は1 階微分方程式に従います。 また、 は (少なくとも理論上は) 正確に解くことができます。 ${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle y_{1}}$$${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$$

この方法は高次方程式に簡単に一般化できます。

n個の多変数関数に対して、一般化ロンスキアンとは、要素D _i ( f _j ) ( 0 ≤ i < n ) を持つn行n列の行列式の行列式です。ここで、各D _iは、次数iの定数係数線形偏微分演算子です。関数が線形従属である場合、すべての一般化ロンスキアンは消えます。単一変数の場合と同様に、その逆は一般には当てはまりません。つまり、すべての一般化ロンスキアンが消えても、関数が線形従属であるとは限りません。ただし、その逆は多くの特殊なケースで当てはまります。たとえば、関数が多項式で、すべての一般化ロンスキアンが消える場合、関数は線形従属です。Roth は、一般化ロンスキアンに関するこの結果をRoth の定理の証明で使用しました。その逆が成立するより一般的な条件については、Wolsson (1989b) を参照してください。

ヴロンスキアンはユゼフ・ヘーネ・ヴロンスキによって導入され (1812 年)、トーマス・ミュア によって現在の名前が与えられました (1882 年、第 XVIII 章)。

• パラメータの変化
• ムーア行列は、微分を有限体上のフロベニウス自己準同型に置き換えた Wrońskian に類似しています。
• 交互行列
• ヴァンデルモンド行列

• ボッチャー、マキシム(1900–1901 ) 。「線形従属の理論」。Annals of Mathematics。2 ( 1/4)。プリンストン大学: 81–96。doi : 10.2307 /2007186。hdl : 2027 / hvd.hn57mn。ISSN 0003-486X。JSTOR 2007186  。 
• Bôcher, Maxime (1901)、「Wronskian の消失が線形従属の十分条件となる特定のケース」(PDF)、Transactions of the American Mathematical Society、2 (2)、Providence、RI: American Mathematical Society : 139–149、doi : 10.2307/1986214、ISSN  0002-9947、JFM  32.0313.02、JSTOR  1986214
• Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). 「Wronskians and Linear Independence」. American Mathematical Monthly . 117 (8). Taylor & Francis : 722–727. arXiv : 1301.6598 . doi :10.4169/000298910x515785. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/000298910x515785. S2CID  9322383.
• ハートマン、フィリップ（1964）、常微分方程式、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-89871-510-1、MR  0171038、Zbl  0125.32102
• Hoene-Wroński、Józef (1812)、ラグランジュの機能分析の反証、パリ
• ミュア、トーマス（1882）、「行列式の理論に関する論文」、マクミラン、JFM  15.0118.05
• Peano、Giuseppe (1889)、「Sur le déterminant wronskien.」、Mathesis (フランス語)、IX : 75–76、110–112、JFM  21.0153.01
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994]、「Wronskian」、数学百科事典、EMS Press
• ウォルソン、ケネス (1989a)、「Wronskian が消失する関数の線形従属性と同等の条件」、線形代数とその応用、116 : 1–8、doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5、ISSN  0024-3795、MR  0989712、Zbl  0671.15005
• ウォルソン、ケネス (1989b)、「 m変数の関数セットの線形依存性と消失する一般化 Wronskians」、線形代数とその応用、117 : 73–80、doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X、ISSN  0024-3795、MR  0993032、Zbl  0724.15004