副専攻（線形代数）

線型代数において、行列Aの小行列式は、行列Aから1 つ以上の行と列を削除することによって生成された、より小さな正方行列の行列式です。正方行列から 1 行と 1 列を削除することによって得られる小行列式 (第 1 小行列式) は、行列の余因子を計算するために必要であり、これは正方行列の行列式と逆行列の両方を計算するのに役立ちます。正方行列が元の行列よりも小さいという要件は、定義で省略されることがよくあります。

Aが正方行列の場合、 i行j列目の要素のマイナー行列( ( i , j )マイナー行列、または第 1 マイナー行列^[1]とも呼ばれる)は、 i行j列目を削除して形成される部分行列の行列式です。この数はM _{i , j}と表記されることが多いです。( i , j )補因子は、マイナー行列に(−1) ^{i + j}を乗じて得られます。

これらの定義を説明するために、次の3×3行列を考えてみましょう。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

マイナー行列M _2,3とコファクターC _2,3を計算するには、行 2 と列 3 を削除した上記の行列の行列式を求めます。

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

したがって、 (2,3)項の余因子は

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

A をm × n行列、k を0 < k ≤ m、k ≤ nの整数とします。Aのk × k小行列式は、Aのk次小行列式とも呼ばれ、 m = nの場合は、Aの( n − k )次の小行列式(「行列式」という語は省略されることが多く、「次数」という語が「次数」の代わりに使用されることもあります) は、Aからm − k行とn − k列を削除することによって得られるk × k行列の行列式です。 この用語は、上記のようにAから( m − k行とn − k列を削除することによって) 得られるk × k行列を指すために使用されることもありますが、この行列はAの(正方) 部分行列と呼ばれるべきであり、「小行列式」という用語はこの行列の行列式を指すために残しておきます。 上記の行列Aの場合、サイズk × kの小行列式は合計で存在します。0次のマイナー行列は1と定義されることが多い。正方行列の場合、0次のマイナー行列は行列の行列式となる。^{[2] [3]} ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

をインデックスの順序付けられたシーケンス（特に断りのない限り、マイナーについて話すときは常に自然順序であると想定される）とします。これら のインデックスの選択に対応するマイナーは、情報源に応じて、またはまたはまたはまたはまたはまたは（( i ) はインデックスIのシーケンスなどを表す）と表記されます。また、文献では2種類の表記法が使用されています。インデックスIとJの順序付けられたシーケンスに関連付けられたマイナーによって、一部の著者^[4]は、元の行列の要素を、インデックスがIにある行とインデックスがJにある列から取得することによって上記のように形成された行列の行列式を意味します。一方、他の一部の著者は、IとJに関連付けられたマイナーによって、元の行列からIの行とJの列を削除することによって形成された行列の行列式を意味します。^{[2]どちらの表記法が使用されているかは常に確認する必要があります。この記事では、} Iの行とJの列から要素を選択する包括的な定義を使用します。例外的なケースは、最初のマイナーまたは上記の( i , j )マイナーの場合です。その場合、排他的意味は文献のどこでも標準的であり、この記事でも使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1} <i_{2} <\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1} <j_{2} <\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$${\displaystyle \det _{I,J}A}$${\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$${\displaystyle M_{I,J}}$${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$${\displaystyle M_{(i),(j)}}$${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr ) }}$

正方行列Aのマイナー行列M _{ijk ..., pqr ...}の補行列B _{ijk ... , pqr ...}は、行列Aの行列式からM _{ijk ..., pqr ...}に関連するすべての行 ( ijk... ) と列 ( pqr... )を取り除いたものによって形成されます。要素a _ijの最初のマイナー行列の補行列は、単にその要素です。^[5]

行列式の展開に関するラプラスの公式では、補因子が重要な役割を果たします。これは、より大きな行列式をより小さな行列式で計算する方法です。n × n 行列 A = ( a ij ) が与えられた場合、Aの行列式det ₍ A ) は、行列の任意の行または列の補因子の合計に、それらを生成した要素を乗じたものとして表すことができます。言い換えると、j番目の列 に沿って補因子展開を定義すると、次のようになります。${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots + a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j }M_{ij}\end{整列}}}$$

i行目に沿った補因子展開は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

任意の可逆な2階テンソルAに対して、次の恒等式が成り立つ： ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\text{ det}}\left(\mathbf {A} \right)}{\partial \mathbf {A} }}={\text{det}}\left(\mathbf {A} \right)\mathbf {A} ^{-T}={\text{cof}}\left(\mathbf {A} \right)}$$

これは非線形固体力学の分野で有用である。

次のようにクラメールの規則を使って余因子を計算することで、可逆行列の逆行列を書くことができます。正方行列Aのすべての余因子によって形成される行列は、余因子行列(余因子行列、または余行列と呼ばれることもあります)と呼ばれます。

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

Aの逆行列は、補因子行列の転置とAの行列式の逆数を掛け合わせたものである。

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

補因子行列の転置は、Aの随伴行列（古典的随伴行列とも呼ばれる）と呼ばれます。

上記の式は次のように一般化できる。 を （自然な順序で）順序付けられたインデックスのシーケンスとする（ここでAはn × n行列）。すると^[7]$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1} <i_{2} <\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1} <j_{2} <\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf { A} }},}$$

ここで、I′、J′ は、 I、Jの補完的なインデックスの順序付きシーケンス（インデックスは上記のように自然な大きさの順序）を表し、すべてのインデックス1、...、n はIまたはI'のいずれかに正確に1回出現しますが、両方に出現することはありません（ JとJ'についても同様）。また、[ A ] _{I、J は}、インデックスセットJの行とインデックスセットJの列を選択して形成されるAの部分行列の行列式を表します。また、ウェッジ積を使用して簡単な証明を行うことができます。実際、 ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

ここで基底ベクトルはAである。両辺に Aを作用させると、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

符号は と計算できる ため、符号はIとJ の要素の合計によって決まります。 $${\displaystyle (-1)^{\wedge }\!\!\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right),}$$

実数要素（または他の任意の体からの要素）と階数rを持つm × n行列が与えられた場合、少なくとも 1 つの 0 以外のr × rマイナーが存在し、それより大きいマイナーはすべて 0 です。

マイナー行列には次の表記法を使用します。Aがm × n行列、I がk 要素を持つ {1, ..., m } のサブセット、 Jがk要素を持つ{ 1 , ..., n }のサブセットである場合、Iのインデックスを持つ行とJのインデックスを持つ列に対応するAのk × kマイナー行列を[ A ] _{I , J}と表記します。

• I = Jの場合、[ A ] _{I , J は}主小数点と呼ばれます。
• 主小行列に対応する行列が、より大きな行列の左上の正方部分行列（つまり、 1 からkまでの行と列の行列要素で構成され、主主小行列とも呼ばれる）である場合、主小行列は、主小行列（次数k）またはコーナー（主）小行列（次数k）と呼ばれます。^[3] n × nの正方行列の場合、 n 個の主小行列が存在します。
• 行列の基本小行列式は、最大サイズで行列式がゼロでない正方部分行列の行列式である。^[3]
• エルミート行列の場合、主要な主小行列は正定値性をテストするために使用でき、主要な小行列は半正定値性をテストするために使用できます。詳細については、シルベスターの基準を参照してください。

通常の行列の乗算の公式と、2 つの行列の積の行列式のCauchy–Binet 公式は、 2 つの行列の積の小行列式に関する次の一般的な記述の特殊なケースです。Aがm × n行列、Bがn × p行列、I がk個の要素を持つ {1, ..., m } のサブセット、Jがk個の要素を持つ{ 1, ..., p }のサブセットであるとします。この場合 、合計はk個の要素を持つ{1, ..., n }のすべてのサブセットKに及びます。この公式は、Cauchy–Binet 公式の直接的な拡張です。 $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$

より体系的な代数的マイナー処理は、多重線型代数において、ウェッジ積を使用して与えられます。行列のkマイナーは、 k番目の外部冪マップのエントリです。

行列の列がk 個ずつくさび形にされると、k × kのマイナー行列が、結果として得られるkベクトルの要素として現れます。たとえば、行列の 2 × 2 のマイナー行列は 、−13 (最初の 2 行から)、−7 (最初と最後の行から)、5 (最後の 2 行から) です。ここで、 2 つの式が行列の 2 つの列に対応するくさび積を考えてみましょう。くさび積の特性、つまり双線形かつ交代、および 反対称を使用することで、 係数が前に計算したマイナー行列と一致するように 、この式を に簡略化できます 。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$$$${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$$

いくつかの書籍では、補因子の代わりに補助因子という用語が使用されています。^{[8]さらに、補助因子は}A _ijと表記され、補因子と同じように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$$

この表記法を使用すると、逆行列は次のように記述されます。 $${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$$

adjunct はadjugateやadjointではないことに注意してください。現代の用語では、行列の「adjoint」は、ほとんどの場合、対応する adjoint 演算子を指します。

• サブマトリックス
• 複合マトリックス

• Google Video の MIT 線形代数講義「余因子」、MIT OpenCourseWare より
• PlanetMathの補因子のエントリ
• Springer Encyclopedia of Mathematicsのマイナーエントリー