擬似行列式

線型代数学と統計学において、擬似行列式^[1]は正方行列のすべての非ゼロ固有値の積である。行列が非特異である場合、擬似行列式は正則行列式と一致する。

n行n列の正方行列Aの擬似行列式は次のように定義されます。

${\displaystyle |\mathbf {A} |_{+}=\lim _{\alpha \to 0}{\frac {|\mathbf {A} +\alpha \mathbf {I} |}{\alpha ^{ n-\演算子名 {ランク} (\mathbf {A} )}}}}$

ここで、| A |は通常の行列式、Iは単位行列、rank( A )はAの行列ランクを表す。^[2]

共形変換であるメビウス変換（すなわちに対する）のヴァーレン行列は と定義される。共形変換のヴァーレン行列の擬似行列式とは、 ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)^{-1}}$${\displaystyle a,b,c,d\in {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle [f]={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {pdet} {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad^{\dagger }-bc^{\dagger }.}$

の場合、変換は意味保存（回転）ですが、 の場合、変換は意味保存（反射）です。 ${\displaystyle \operatorname {pdet} [f]>0}$${\displaystyle \operatorname {pdet} [f]<0}$

が半正定値である場合、の特異値と固有値は一致します。この場合、特異値分解(SVD) が使用できる場合は、 は非ゼロの特異値の積として計算されます。すべての特異値がゼロの場合、擬似行列式は 1 です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle |\mathbf {A} |_{+}}$

と仮定し、k は非ゼロの特異値の数とすると、 と書くことができます。ここで、 はn行k列の行列で、 は共役転置です。 の特異値はの特異値の 2 乗なので、となります。ここで、 はk次元における通常の行列式です。さらに、がブロック列 と書かれると、およびの任意の高さに対して が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=k}$${\displaystyle A=PP^{\dagger}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle |A|_{+}=\left|P^{\dagger }P\right|}$${\displaystyle \left|P^{\dagger }P\right|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P=\left({\begin{smallmatrix}C\\D\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle |A|_{+}=\left|C^{\dagger }C+D^{\dagger }D\right|}$

統計的手法では、通常、分散共分散行列の行列式に基づいて分布を比較しますが、特異行列の場合は、行列のランクとその擬似行列式の組み合わせを使用して比較を行うことができます。ランクの高い行列は「最大」としてカウントされ、擬似行列式はランクが等しい場合にのみ使用されます。^[3]したがって、共分散行列が特異な場合、統計プログラムの出力に擬似行列式が表示されることがあります。^[4] 特に、必ずしも非特異ではない共分散行列Σを持つ多変量正規分布の正規化は、次のように記述できます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{\operatorname {rank} (\mathbf {\Sigma } )}|\mathbf {\Sigma } |_{+}}}}= {\frac {1}{\sqrt {|2\pi \mathbf {\Sigma } |_{+}}}}\,.}$$

• 行列式
• ムーア・ペンローズ擬似逆行列。これは非ゼロの特異値によっても得ることができます。