基本行列

数学において、基本行列は、単位行列に単一の基本行演算を適用して得られる正方行列です。基本行列は、Fが体のとき、一般線型群GL _n ( F )を生成します。基本行列による左乗算 (前乗算) は基本行演算を表し、右乗算 (後乗算) は基本列演算を表します。

基本的な行演算は、ガウス消去法で行列を行階段形式に簡約するために使用されます。また、ガウス・ジョルダン消去法で行列をさらに簡約行階段形式に簡約するために使用されます。

基本行列には 3 つの種類があり、それぞれ 3 種類の行演算 (および列演算) に対応します。

行切り替え

マトリックス内の行は別の行と入れ替えることができます。

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

行の乗算

行内の各要素は、ゼロ以外の定数で乗算できます。これは行のスケーリングとも呼ばれます。

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0}$

行の追加

行は、その行と別の行の倍数の合計に置き換えることができます。

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j}$

E が基本行列である場合、以下に説明するように、行列Aに基本行演算を適用するには、 Aに左側の基本行列EAを掛けます。任意の行演算の基本行列は、単位行列に対して演算を実行することによって得られます。この事実は、行列のカテゴリに適用された米田の補題の例として理解できます。^[1]

行列Aに対する最初のタイプの行演算は、行iのすべての行列要素を、別の行jの対応する要素と入れ替えます。対応する基本行列は、単位行列の行iと行j を入れ替えることによって得られます。

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、T _i,j A は、 Aの行iと行j を交換して生成される行列です。

係数に関しては、行列T _i,jは次のように定義されます。

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

• この行列の逆行列は次のようになります。${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• 単位行列の行列式は1なので、 任意の正方行列A（正しい大きさ）に対して、${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• 理論的な考察では、行切り替え変換は、以下に紹介する行加算変換と行乗算変換から得ることができる。${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

行列Aに対する次の種類の行演算は、 i行のすべての要素をmで乗算します。ここで、m はゼロ以外のスカラー(通常は実数) です。対応する基本行列は対角行列であり、 i番目の位置を除くすべての位置で対角要素が 1 になります。 i番目の位置では対角要素はmになります。

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、D _i ( m ) Aは、行iにmを掛けてAから生成された行列です。

係数に関しては、D _i ( m )行列は次のように定義されます。

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

• この行列の逆行列は次のように表される。${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• 行列とその逆行列は対角行列です。
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$したがって、正方行列A（正しい大きさ）の場合、${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

行列Aに対する行演算の最後のタイプは、行jにスカラーmを乗じたものを行iに追加します。対応する基本行列は単位行列ですが、( i, j ) の位置にmがあります。

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、L _ij ( m ) A は、行iに行jをm回追加してAから生成された行列です。また、AL _ij ( m ) は、列iに列jをm回追加してAから生成された行列です。

係数に関しては、行列L _i,j ( m )は次のように定義されます。

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

• これらの変換は、せん断マッピングの一種であり、トランスベクションとも呼ばれます。
• この行列の逆行列は次のように表される。${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• 行列とその逆行列は三角行列です。
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$したがって、正方行列A（正しい大きさ）の場合、${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A).}$
• 行加算変換はスタインバーグ関係を満たします。

• ガウス消去法
• 線形代数
• 線形方程式のシステム
• 行列（数学）
• LU分解
• フロベニウス行列

• アクラー、シェルドン・ジェイ（1997年）、線形代数を正しく行う（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98259-0
• レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)、線形代数とその応用(第 3 版)、アディソン ウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7
• マイヤー、カール D. (2001 年 2 月 15 日)、「行列解析と応用線形代数」、工業応用数学協会 (SIAM)、ISBN 978-0-89871-454-8、2009-10-31にオリジナルからアーカイブ
• ペローネ、パオロ（2024）、カテゴリー理論入門、ワールドサイエンティフィック、doi：10.1142/9789811286018_0005、ISBN 978-981-12-8600-1
• プール、デイビッド（2006）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-99845-3
• アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
• レオン、スティーブン J. (2006)、線形代数の応用(第 7 版)、ピアソン プレンティス ホール
• ストラング、ギルバート（2016）、線形代数入門（第5版）、ウェルズリー・ケンブリッジ出版、ISBN 978-09802327-7-6