チェーン複合体

数学において、連鎖複体とは、一連のアーベル群（または加群）と、各準同型の像が次の準同型の核に含まれるような連続する群間の準同型の列から構成される代数構造である。連鎖複体にはホモロジーが関連付けられており、これは像が核にどのように含まれるかを表す。

コチェイン複体は、準同型性が反対方向にあることを除いて、チェイン複体に似ています。コチェイン複体のホモロジーはそのコホモロジーと呼ばれます。

代数位相幾何学では、位相空間Xの特異鎖複体は単体から X への連続写像を使用して構築され、鎖複体の準同型性はこれらの写像が単体の境界にどのように制限されるかを捉えます。この鎖複体のホモロジーはX の特異ホモロジーと呼ばれ、位相空間のよく使われる不変量です。

連鎖複体はホモロジー代数学で研究されていますが、抽象代数学、ガロア理論、微分幾何学、代数幾何学など、数学のさまざまな分野で使用されています。連鎖複体は、アーベル圏でより一般的に定義できます。

連鎖複体 とは_、準同型（境界演算子または微分と呼ばれる）d _n  : A _n → A _{n −1}によって接続されたアーベル群または加群の列です。この場合、連続する任意の_{2つの写像の合成は零写像になります。明示的には、微分は d n ∘ d n +1 =} 0 を満たします。_または、添え_字を省略するとd 2 ⁼ 0 になります。複体は次のように書き表すことができます。 ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

コチェーン複体は 、チェーン複体の双対概念です。これは、準同型d ⁿ  : A ⁿ → A ^{n +1で接続され、} d ^{n +1} ∘ d ⁿ = 0 を満たすアーベル群またはモジュールのシーケンス ...、 A ⁰、A ¹、A ²、A ³、A ⁴、 ... で構成されます。コチェーン複体は、チェーン複体と同様の方法で記述できます。 ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

A _nまたはA ⁿのインデックスn は、次数(または次元)と呼ばれます。連鎖錯体と共連鎖錯体の違いは、連鎖錯体では微分によって次元が減少するのに対し、共連鎖錯体では微分によって次元が増加することです。連鎖錯体の概念と定義はすべて共連鎖錯体に適用されますが、次元についてはこの異なる規則に従い、用語には接頭辞co-が付けられることがよくあります。この記事では、区別が必要ない場合は連鎖錯体の定義を示します。

有界連鎖複体とは、ほとんどすべてのA n_が0 である複体、つまり、0 によって左右に拡張された有限複体です。一例として、有限単体複体の単体ホモロジーを定義する連鎖複体が挙げられます。連鎖複体は、ある固定次数Nより上のすべてのモジュールが 0 である場合に上方に有界であり、ある固定次数より下のすべてのモジュールが 0 である場合に下方に有界です。明らかに、複体が有界である場合に限り、複体は上方と下方の両方で有界です。

(コ)チェーン複体の個々の群の要素は(コ)チェーンと呼ばれます。d の核の要素は(コ)サイクル(または閉要素)と呼ばれ、 dの像の要素は(コ)境界(または正確な要素)と呼ばれます。微分の定義から、すべての境界はサイクルです。n次(コ)ホモロジー群 H _n ( H ⁿ ) は、次数nの (コ)境界を法とする(コ)サイクルの群です。つまり、

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

完全列(または完全複体) は、ホモロジー グループがすべて 0 である連鎖複体です。つまり、複体内のすべての閉じた要素が完全です。短完全列は、グループA _k、A _{k +1}、A _{k +2}のみが非ゼロになり得る、境界付き完全列です。たとえば、次の連鎖複体は短完全列です。

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

中間のグループでは、閉じた要素は要素 p Zです。これらは明らかにこのグループ内の正確な要素です。

2 つの鎖複体と間の鎖写像 fは、2 つの鎖複体上の境界演算子と可換な各nに対する準同型の列であるため、 となります。これは、次の可換図で表されます。 ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$${\displaystyle f_{\bullet}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

連鎖写像は、閉路を閉路に、境界を境界に送り、それによってホモロジー上の写像を誘導します。 ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

位相空間XとY の間の連続写像f は、 XとYの特異鎖複体間の鎖写像を誘導し、したがって、 XとYの特異ホモロジー間の写像f _{*も誘導します。} XとY が両方ともn球面に等しい場合、ホモロジー上に誘導される写像は写像fの次数を定義します。

チェーン マップの概念は、チェーン マップの 円錐の構築を通じて境界の概念に簡略化されます。

連鎖ホモトピーは、たとえ写像が異なっていても、ホモロジー群上に同じ写像を誘導する 2 つの連鎖写像を関連付ける方法を提供します。2 つの連鎖複体AとB、および 2 つの連鎖写像f、g  : A → Bが与えられた場合、連鎖ホモトピーは、 hd _A + d _B h = f − gとなる準同型h _n  : A _n → B _{n +1}のシーケンスです。写像は次のように図に書き出すことができますが、この図は可換ではありません。

写像hd _A + d _B h は、任意のhに対して、ホモロジー上のゼロ写像を誘導することが簡単に検証されます。このことから、 fとgはホモロジー上の同じ写像を誘導することがすぐにわかります。 fとg はチェーン ホモトピック(または単にホモトピック)であるとされ、この特性はチェーン写像間の 同値関係を定義します。

XとY を位相空間とします。特異ホモロジーの場合、連続写像f , g  : X → Y間のホモトピーは、 fとgに対応する連鎖写像間の連鎖ホモトピーを誘導します。これは、2 つのホモトピック写像が特異ホモロジー上の同じ写像を誘導することを示しています。「連鎖ホモトピー」という名前は、この例に由来しています。

X を位相空間とする。自然nに対するC _n ( X )をX内の特異 n 単体によって形式的に生成される自由アーベル群と定義し、境界写像を次のように 定義する。 ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

ここで、帽子は頂点の省略を表します。つまり、特異単体の境界はその面に対する制約の交代和です。∂ ² = 0であることが示され、連鎖複体も同様です。特異ホモロジーはこの複体のホモロジーです。 ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

特異ホモロジーはホモトピー同値までの位相空間の有用な不変量である。ゼロ次ホモロジー群はXのパス成分上の自由アーベル群である。

任意の滑らかな多様体M上の微分k形式は、加法の下でΩ ^k ( M ) と呼ばれる実ベクトル空間を形成します。外微分d はΩ ^k ( M ) を Ω ^{k +1} ( M ) に写し、d ² = 0 は基本的に2 次微分の対称性から従うため、 k形式のベクトル空間は外微分とともに共鎖複体になります。

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

この複体のコホモロジーはMのde Rham コホモロジーと呼ばれます。局所定数関数は、 Mの相互に切断された成分の数 c との同型で指定されます。このようにして、複体は、部分集合演算子を使用して、ゼロ形式レベルで複体が正確になるように拡張されました。 ${\displaystyle \Re ^{c}}$

多様体間の滑らかな写像は連鎖写像を誘導し、写像間の滑らかなホモトピーは連鎖ホモトピーを誘導します。

連鎖写像を持つK加群の連鎖複体はカテゴリCh _Kを形成します。ここで、Kは可換環です。

V = VおよびW = Wが鎖複体である場合、それらのテンソル積は次式で与えられるn次の要素 を持つ鎖複体である。${\displaystyle {}_{*}}$${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

そして、微分は次のように与えられる。

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

ここで、aとbはそれぞれVとWの任意の2つの同次ベクトルであり、aの次数を表します。 ${\displaystyle \left|a\right|}$

このテンソル積は、カテゴリ Ch _{K を}対称モノイドカテゴリにする。このモノイド積に関する恒等オブジェクトは、次数 0 の鎖複体として見た基本環Kである。同次元の単純テンソル上の組紐は、次のように与えられる。

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

編み込みがチェーンマップとなるためには、記号が必要です。

さらに、 K加群の鎖複体のカテゴリにも内部 Homがあります。鎖複体VとWが与えられたとき、 VとWの内部 Hom ( Hom( V , W )と表記) は、次数nの元が次式で与えられ、微分が次式で与えられる 鎖複体です。${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$。

我々は自然な同型性を持っている

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

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• ボット、ラウル、トゥ、ローリング W. (1982)、代数的位相幾何学における微分形式、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90613-3
• ハッチャー、アレン（2002）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79540-0。