完全対称行列

数学において、対称行列とは以下を指す場合があります。

1. 北東から南西への対角線（反対角線）に関して対称な正方 行列。
2. 主対角線に垂直な各行の値が、与えられた行に対してすべて同じであるような正方行列。

最初の定義は、近年の文献で最も一般的に用いられている。「ハンケル行列」という名称は、2番目の定義で示される性質を満たす行列に対してよく用いられる。

A = ( a _ij )をn × n行列とする。パーシンメトリックの最初の定義では、 $${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$すべてのi、jに対して。^{[ 1 ]} 例えば、5 × 5 の完全対称行列は次の形式です。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

これは、 AJ = JA ^Tと等価的に表現できます。ここで、Jは交換行列です。

これを表現する3つ目の方法は、 AJ = JA ^Tの両辺に J を右から掛けることで、 A Tを180^度回転させたものがAと同一であることを示すことです。 $${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

対称行列とは、北西から南東への対角線に関して値が対称な行列のことです。対称行列を90°回転させると、半対称行列になります。対称半対称行列は、双対称行列と呼ばれることもあります。

2番目の定義はトーマス・ミュアによるものです。^{[ 2 ]}この定義によれば、正方行列A = ( a _ij ) は、a _{ij が}i + jのみに依存する場合に完全対称行列となります。この意味での完全対称行列、またはハンケル行列と呼ばれるものは、次の形式をとります。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$ 完全対称行列式とは、完全対称行列の行列式のことである。^{[ 2 ]}

主対角線に平行な各行の値が一定である行列をトープレッツ行列と呼ぶ。

• 中心対称行列