マニンマトリックス

数学において、マニン行列は、 1987年から1988年頃にこれを導入したユーリ・マニンにちなんで名付けられた^{[1] [2] [3]} 、必ずしも可換ではない環に要素を持つ行列のクラスであり、ある意味では要素が可換な行列のように動作します。特に、それらには行列式の自然な定義があり、クラメールの規則、ケーリー・ハミルトンの定理など、ほとんどの線型代数定理が当てはまります。可換な要素を持つ任意の行列はマニン行列です。これらの行列は、表現論、特にカペリの恒等式、ヤンジアン、量子可積分系に応用されています。

マニン行列は、任意の代数に適用できる「非可換対称性」のマニンの一般的な構成の特別な例です。この観点から、それらは多項式代数C [ x ₁、... x _n ] の「非可換自己準同型」です。(q)-(超)-可換変数を取ると、量子群と密接に関連するマニン行列の (q)-(超)-類似体が得られます。マニンの研究は量子群理論の影響を受けています。彼は、関数Fun _q (GL)の量子化代数は、TとT ^{t が}同時に q-マニン行列であるという要件によって定義できることを発見しました。その意味で、(q)-マニン行列は関連する量子群Fun _q ( GL)の関係の半分によってのみ定義され、これらの関係は多くの線形代数定理に十分であることを強調する必要があります。

一般的な非可換元を持つ行列では、基底環に値を持つ行列式の自然な構成は許されず、線型代数の基本定理は成り立ちません。 行列式理論には、基底環Kの乗法群K ^*のアーベル化K ^* /[ K ^* , K ^* ]に値を取るディウドネ行列式や、準行列式の理論など、いくつかの修正があります。 しかし、これらの行列式と可換行列式の類似性は完全ではありません。 一方、非可換元を持つ特定のクラスの行列を考えると、行列式を定義し、それらの可換類似物と非常によく似た線型代数定理を証明できる例があります。 例としては、量子群と q 行列式、カペリ行列とカペリ行列式、超行列とベレジニアンなどがあります。

マニン行列は、行列式の自然な定義と線型代数定理の一般化を許容する、必ずしも可換ではない要素を持つ行列の一般的な自然なクラスです。

環R (必ずしも可換ではない)上のn行m列の行列Mの要素M _ijは、与えられた列のすべての要素が可換であり、すべてのi、j、k、lに対して [ M _ij、M _kl ] = [ M _kj、M _il ]が成り立つ場合、マニン行列と呼ばれます。ここで [ a、b ] は、 aとbの交換子( ab  −  ba )を表します。^[3]

定義は次の式からよりよく分かります。 長方形行列M は、行iとk、列jとlからなる任意の 2×2 部分行列の場合、マニン行列と呼ばれます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

次の交換関係が成り立つ

${\displaystyle ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}}$

${\displaystyle ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.}$

以下に、2×2 行列に関するさまざまな非常に単純で自然な問題におけるマニン特性の出現例をいくつか示します。一般的な考え方は次のとおりです。線型代数のよく知られた事実を考慮し、結果が真になるように行列要素の可換性仮定を緩和する方法を検討します。答えは、M がマニン行列である場合に限ります。 ^[3]すべての観察の証明は、直接 1 行チェックです。

2×2行列を考える ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

観察1. 平面上の共作用。
多項式環C [ x ₁ , x ₂ ]を考え、行列要素a、b、c、dがx ₁、x ₂と可換であると仮定する。y 1、y _2を次のように 定義する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.}$

このとき、Mがマニン行列である 場合に限り、y ₁、y _{2 は}相互に可換になります。

証拠：

${\displaystyle [y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.}$

これをゼロにすると、マニンの関係式が得られます。

観察2. 超平面上の共作用。
グラスマン代数C [ ψ ₁ , ψ ₂ ]を考え、行列要素a、b、c、dがψ ₁、ψ ₂と可換であると仮定する。φ ₁、φ _{2 を}次のように 定義する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

このとき、 Mがマニン行列である 場合に限り、φ ₁、φ ₂はグラスマン変数（つまり、それらの間では反交換可能であり、φ _i ² =0） になります。

観察 1、2 は、一般的なn × mマニン行列に当てはまります。これらは、以下に説明するように、オリジナルのマニンのアプローチを示しています (通常の行列は多項式環の準同型であると考えるべきですが、マニン行列はより一般的な「非可換準同型」です)。多項式代数生成子は列ベクトルとして表され、グラスマン代数は行ベクトルとして表されることに注意してください。同じものを、任意の Koszul 双対代数と関連する一般的なマニン行列のペアに一般化できます。

観察3.クラメールの規則。 逆行列は標準式で与えられる。

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Mがマニン行列で ある場合に限ります。

証拠：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.}$

観察4.ケイリー・ハミルトン定理。 等式

${\displaystyle M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0}$

M がマニン行列で ある場合にのみ 成立します。

観察5. 行列式の乗法性。

det ^column ( MN ) = det ^column ( M )det( N ) は、 M がマニン行列である 場合に限り、 すべての複素数値行列 N に対して成立します。

ここで、 2×2行列のdet^列はad  −  cbとして定義されます。つまり、最初の列の要素（a、c）が積の最初になります。

Yu. Manin の思想によれば、任意の代数に、その「非可換対称性 (すなわち自己準同型)」の特定の双代数を関連付けることができます。より一般的には、代数のペアA、Bに、 AとBの間の「非可換準同型」の代数を関連付けることができます。これらの考え方は、非可換幾何学の考え方と自然に関連しています。ここで検討する Manin 行列は、この一般的な構成を多項式代数C [ x ₁、... x _n ]に適用した例です。

幾何学の領域は空間に関係し、代数の領域はそれぞれ代数に関係します。2 つの領域をつなぐのは、各空間にその空間上の関数の代数を関連付けることです。これは可換代数です。幾何学の多くの概念は代数の言語で言い換えることができ、その逆も可能です。

空間Vの対称性Gの考え方は、 GのVへの作用、つまり写像G× V -> Vの存在として考えることができます。この考え方は、代数言語では準同型Fun(G) Fun(V) <- Fun(V)の存在として翻訳できます (通常、関数と空間の間の写像は反対方向に進むため)。また、空間からそれ自体への写像は合成可能 (半群を形成する) であるため、双対オブジェクトFun(G)は双代数です。 ${\displaystyle \otimes }$

最後に、これら 2 つの特性を基礎として、任意の代数 (必ずしも可換ではない) に適用できる「対称性」の純粋に代数的な定義を与えることができます。

定義。ある代数Aの非可換対称性（自己準同型）の代数は双代数 End(A)であり、共作用と呼ばれる準同型が存在する。

${\displaystyle coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,}$

これは自然な方法で共乗法と互換性があります。最後に、End(A)は上記から来る関係のみを満たす必要があり、他の関係は満たしません。つまり、 Aの普遍共作用双代数です。

共作用は作用G× V -> Vの双対として考えるべきであり、これが共作用と呼ばれる理由です。共乗写像と共作用写像の互換性は、g (hv) = (gh) vの双対です。この互換性は簡単に書くことができます。

多少驚くべき事実は、この構成を多項式代数C [ x ₁ , ..., x _n ] に適用すると、通常の行列Mat _nの代数(より正確には、その上の関数の代数) ではなく、はるかに大きなマニン行列の非可換代数 (より正確には、要素M _ijによって生成される代数) が得られるということです。より正確には、次の単純な命題が成り立ちます。

命題。多項式代数 Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] と、ある代数EndPolの要素を持つ行列M を考えます。Mがマニン行列である 場合に限り、要素は相互に交換可能です。${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol}$

系。この写像はPolからEndPol Polへの準同型である。これは共作用を定義する。 ${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}}$ ${\displaystyle \otimes }$

実際、写像が準同型であることを保証するために必要なのは、y _{i が}それらの間で可換であるということだけです。

命題。共乗写像を式 で定義します。すると、共結合的となり、前の命題で定義された多項式代数上の共作用と互換性が生まれます。 ${\displaystyle \Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}}$

上記の 2 つの命題は、マニン行列の要素によって生成される代数が多項式代数に作用する双代数であることを意味します。他の関係を課さない場合は、多項式代数の非可換自己準同型の代数が得られます。

• 交換要素を持つ任意の行列はマニン行列です。
• 異なる行の要素が相互に交換できる行列 (このような行列は、カルティエ-フォアタ行列と呼ばれることもあります) は、マニン行列です。
• マニン行列の任意の部分行列はマニン行列です。
• マニン行列の行と列を交換すると、結果もマニン行列になります。中央要素を乗じた行または列を別の行または列に追加すると、結果は再びマニン行列になります。つまり、乗数が中央であるという制限付きで基本変換を行うことができます。
• すべての要素が交換可能な2 つのマニン行列M、N を考えます。この場合、和M+Nと積MNもマニン行列になります。
• 行列Mと同時転置行列 M ^{t が}マニン行列である場合、Mのすべての要素は互いに交換可能です。
• やってはいけない事実: M ^{k は}一般にマニン行列ではありません (以下で説明するk =-1 の場合を除く); det( M ) も Tr( M ) も一般にM _ijによって生成される代数の中心ではありません(その点でマニン行列は量子群と異なります); det( e ^M ) ≠ e ^{Tr( M )} ; log(det( M )) ≠ Tr(log( M ))。
• 多項式代数C [ x _ij ]を考え、微分演算子によって次のように表す。${\displaystyle \partial _{ij}}$

x _{ij は}、 対応する要素を持つ行列X、Dを形成します。また、変数zと対応する微分演算子も考慮します。以下は、カペリ恒等式にとって重要なマニン行列の例です。 ${\displaystyle \partial _{z}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.}$

X、D を、要素が次の関係を満たす任意の行列に置き換えることができます: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl、zとその導関数についても同様です。

この行列の行列式を直接計算する方法とシューア補数公式を介した計算の2つの方法で計算すると、本質的にカペリの恒等式 とその一般化が得られる（ ^[5]に基づくセクション4.3.1、^[4]を参照）。

マニン行列の行列式は、最初の列の要素が積の最初に来るという規定を持つ標準式によって定義できます。

多くの線形代数ステートメントは、Rが可換でない場合でも、マニン行列に対して成り立ちます。特に、行列式は、順列を使用して標準的な方法で定義でき、クラメールの規則を満たします。^[3] マクマホンのマスター定理は、マニン行列に当てはまり、実際にはそれらの一般化（スーパー）、（q）などの類似物にも当てはまります。

命題。クラメールの規則 （^[2]またはセクション4.1を参照。^[3]）マニン行列Mの逆行列は標準公式によって定義できます。 ここで、M ^{adjは標準公式によって与えられる}補助行列です。その（i,j）番目の要素は、Mの行jと列iを削除し、（-1） ^i+jを乗算して得られる（n−1）×（n−1）行列の列行列式です。 ${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},}$

可換ケースとの唯一の違いは、すべての行列式が列行列式として計算され、また、共役行列が右側にあるのに対し、Mの行列式の可換逆行列が左側にあることに注意する必要があることです。つまり、非可換性のため、順序が重要です。

命題。逆行列もマニン行列である。（第4.3節を参照。^{[3] ）マニン行列}Mの両側逆行列が存在すると仮定すると、それはマニン行列でもある。さらに、det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹。

この命題はやや非自明であるが、量子可積分系の理論におけるエンリケス・ルブツォフとバベロン・タロンの結果を意味する（セクション4.2.1 ^[4]を参照）。

命題。ケイリー・ハミルトン定理（第7.1節を参照。^[3]）

${\displaystyle det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.}$

ここで、σ _{i は}特性多項式の係数です 。 ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

命題。ニュートン恒等式（7.2.1節を参照。^[3]） ${\displaystyle \forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})}$

ここでσ _{i は}特性多項式の係数であり 、慣例によりi>nに対してσ _i =0 であり、n は行列Mのサイズです。 ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

命題。シュア補行列式 （第5.2節参照。^[3]）以下のブロック行列がマニン行列であり、両側逆行列M ⁻¹、A ⁻¹、D ⁻¹が存在すると仮定すると、

${\displaystyle det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).}$

さらに、シューア補集合は マニン行列です。 ${\displaystyle (D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)}$

命題。マクマホンマスター定理

^[6]

19 世紀のCapelli恒等式は、非可換要素を持つ行列の行列式の最初の例の 1 つです。Manin 行列は、この古典的な主題に新しい視点を与えます。この例は、リー代数gl _nに関連しており、 gl _n 、ヤンジアン、および積分可能なシステムのループ リー代数へのより複雑なアプリケーションのプロトタイプとして機能します。

E _{ij を、}位置 ( i,j )に 1 があり、それ以外は 0 である行列とします。位置 ( i,j ) に要素E _ijがある行列Eを形成します。これは、行列のリングMat _nに要素がある行列です。これはマニン行列ではありませんが、以下に示すように、これをマニン行列に変換する変更があります。

E _ijと交換可能な形式変数z を導入します。d /dz はzにおける微分演算子です。これらの演算子の交換子が 1 に等しいことだけが使われます。

観察。行列はマニン行列です。 ${\displaystyle d/dzId-E/z}$

ここでId は単位行列です。

2 × 2の例: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.}$

列の可換性要件を確認することは有益です: 。 ${\displaystyle [d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0}$

観察。行列はマニン行列です。 ${\displaystyle exp(-d/dz)(Id+E/z)}$

これらの観測に対してE _ijから要求される唯一の事実は、それらが交換関係 [ E _ij , E _kl ]= δ _jk E _il - δ _li E _kjを満たすことです。したがって、観測はE _{ij が}リー代数 gl _nの普遍包絡代数、またはその任意の表現における像の生成元である場合に成立します。たとえば、

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.}$

ここでψはグラスマン変数です。

観察。 ${\displaystyle z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))}$

この等式の右側にはCapelli 行列式(より正確には Capelli 特性多項式) があり、左側には自然行列式を持つ Manin 行列があります。したがって、Manin 行列は Capelli の行列式に新しい見方を与えます。さらに、Capelli 恒等式とその一般化は、Manin 行列の手法によって導出できます。また、この式が普遍包絡代数U(gl _n ) の中心に属することを証明する簡単な方法も提供しますが、これは決して自明ではありません。実際、共役によってグループ GL _nの作用に関する不変性を確認すれば十分です。したがって、ここで使用される唯一の特性は、任意の Manin 行列Mおよび中心 (たとえばスカラー) 要素を持つ 任意の行列gに当てはまる特性です。${\displaystyle det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)}$${\displaystyle det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)}$

観察。T (z) をgl _nのヤンジアン生成行列と します。すると、行列 exp(-d/dz) T(z)はマニン行列になります。

ヤンギアンの量子行列式は、exp (nd/dz) det ^column (exp(-d/dz) T(z))と定義できます。exp (-d/dz)はキャンセルできるため、式はそれに依存しないことに注意してください。そのため、ヤンギアン理論の行列式は、マニン行列を介して自然に解釈できます。

量子可積分系のためには、ヤンギアンの可換部分代数を構成することが重要である。古典極限表現Tr(T ^k (z))はポアソン可換部分代数を生成することはよく知られている。これらの表現の正しい量子化は、マニン行列のニュートン恒等式を使用することで初めて提案された。

命題。すべてのkについて Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z))の係数は、互いに可換です。これらは、ヤンギアンで可換部分代数を生成します。特性多項式 det^列(1-exp(-d/dz) T(z)) の係数と同じ部分代数です。

(部分代数は、ベーテ仮説がその結合 eigpairs を見つける方法であるため、ベーテ部分代数と呼ばれることもあります。)

^{マニンは[1]}で「非可換対称性」の一般的な構成を提案した。 マニン行列と呼ばれる特殊なケースは^[2]で議論されており、そこでいくつかの基本的な特性が概説されている。これらの研究の主な動機は、量子群を別の視点から見ることである。量子行列Fun _q ( GL _n ) は、 Tと同時にT ^tが q-マニン行列（すなわち、q-可換多項式x _i x _j = qx _j x _iの非可換対称性）であるような行列として定義できます。 マニンの最初の研究の後、2003 年までマニン行列に関する論文はわずかしかありませんでした。 しかし、この頃とそれ以降に、マニン行列はいくつかのあまり関連のない分野で登場しました。^{[6] は、}結び目理論で使用されるマクマホンのマスター恒等式の特定の非可換一般化を得ました。 量子可積分系、リー代数への応用はで発見されました。^[4]マニン行列を含むカペリ恒等式の一般化はで登場しました。^[7] これらの論文で提案された方向性がさらに発展しました。

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