すべての要素が別の行列のマイナーである行列
数学 の一分野である 線型代数 において 、（ 乗法 ） 複合行列 とは、その要素がすべて 別の行列の指定されたサイズの 小行列で ある行列 である。 [1] [2] [3] [4]複合行列は 外積代数 と密接に関連しており 、 [5] 複合行列の計算は、非線形時間変動動的システムの解析や、正値システム、協調システム、収縮システムの一般化など、さまざまな問題に登場します。 [4] [6]
意味 A を 実数 または 複素数 の要素を持つ m × n 行列と します 。 [a] I が {1, ..., m } の 部分集合のサイズ r であり 、 J が { 1 , ..., n } の 部分集合のサイズ s である 場合 、 A の ( I , J ) 部分行列 A I , J は 、 I で インデックス 付け された行 と J でインデックス付けされた列のみを保持することによって Aから形成された 部分 行列です 。r = s の場合、 det A I , J はA の ( I , J ) マイナー です 。
A の r 番目の複合行列 は 行列で、 C r ( A ) と表記され、次のように定義されます。 r > min( m 、 n ) の場合、 C r ( A ) は一意の 0 × 0 行列です。 それ以外の場合、 C r ( A ) のサイズは です 。 その行と列は、それぞれ {1, ..., m } と {1, ..., n }の r 要素サブセットによって辞書 式順序 でインデックス付けされます。 サブセット I と J に対応するエントリは、 マイナー デット A I 、 J です。
（
メートル r
）
×
（
ん r
）
{\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}
複合行列の応用によっては、行と列の正確な順序は重要ではない。このため、行と列の順序を指定しない著者もいる。 [7]
例えば、次の行列を考えてみましょう。
あ =
（
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
）
。
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}.}
行は {1, 2, 3} でインデックスされ、列は {1, 2, 3, 4}でインデックスされます。したがって、 C 2 ( A ) の行は、 セットによってインデックスされます
。
{ 1 、 2 } < { 1 、 3 } < { 2 、 3 }
{\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{2,3\}}
列は次のようにインデックス付けされます
{ 1 、 2 } < { 1 、 3 } < { 1 、 4 } < { 2 、 3 } < { 2 、 4 } < { 3 、 4 } 。
{\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{1,4\}<\{2,3\}<\{2,4\}<\{3,4\} 。}
絶対値バーを使用して 行列式 を表すと、2番目の複合行列は次のようになります。
Ｃ
2
（ あ ）
=
（
|
1
2
5
6
|
|
1
3
5
7
|
|
1
4
5
8
|
|
2
3
6
7
|
|
2
4
6
8
|
|
3
4
7
8
|
|
1
2
9
10
|
|
1
3
9
11
|
|
1
4
9
12
|
|
2
3
10
11
|
|
2
4
10
12
|
|
3
4
11
12
|
|
5
6
9
10
|
|
5
7
9
11
|
|
5
8
9
12
|
|
6
7
10
11
|
|
6
8
10
12
|
|
7
8
11
12
|
）
=
（
− 4
− 8
− 12
− 4
− 8
− 4
− 8
− 16
− 24
− 8
− 16
− 8
− 4
− 8
− 12
− 4
− 8
− 4
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{2}(A)&={\begin{pmatrix}\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\5&6\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\5&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\5&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\6&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\6&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\7&8\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}5&6\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&7\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&8\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&7\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&8\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}7&8\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
プロパティ c を スカラー、 A を m × n 行列 、 B を n × p 行列と する 。kを 正の 整数 として 、 I k を k × k 単位行列 とする 。 行列 M の転置は M T と書き 、 共役転置は M * と書く 。すると、次のようになる。 [8]
C 0 ( A ) = I 1 、 1×1の 単位行列。 C 1 ( A ) = A です。 C r ( cA ) = c r C r ( A ) です。 rk A = r ならば rk C r ( A ) = 1 です 。 1 ≤ r ≤ n の場合 、 .
C
r
(
I
n
)
=
I
(
n
r
)
{\displaystyle C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}}
1 ≤ r ≤ min( m , n ) の場合 、 C r ( A T ) = C r ( A ) T です。 1 ≤ r ≤ min( m , n ) の場合 、 C r ( A * ) = C r ( A ) * です。 C r ( AB ) = C r ( A ) C r ( B )であり、これは コーシー・ビネの公式 と密接に関係しています 。 さらにAが n の大きさの 正方行列 である と仮定すると 、次のようになる。 [9]
C n ( A ) = det A です 。 A が 次のいずれかの特性を持つ 場合、 C r ( A ) も同様の特性を持ちます。
A が逆関数 である 場合、 C r ( A ) も逆関数であり 、 C r ( A −1 ) = C r ( A ) −1 です。 （シルベスター・フランケの定理） 1 ≤ r ≤ n ならば、 . [10] [11]
det
C
r
(
A
)
=
(
det
A
)
(
n
−
1
r
−
1
)
{\displaystyle \det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}}
外部勢力との関係 R n に 標準 座標基底 e 1 , ..., e n を 与える 。R n の r 番目の外乗は ベクトル空間 である。
∧
r
R
n
{\displaystyle \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}}
その 基礎は 形式的な記号から成り立っている
e
i
1
∧
⋯
∧
e
i
r
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{r}},}
どこ
i
1
<
⋯
<
i
r
.
{\displaystyle i_{1}<\dots <i_{r}.}
Aが m × n 行列である とする 。A は 線形変換 に対応する。
A
:
R
n
→
R
m
.
{\displaystyle A\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}.}
この線形変換のr 番目の外乗をとると 、線形変換が決定される。
∧
r
A
:
∧
r
R
n
→
∧
r
R
m
.
{\displaystyle \wedge ^{r}A\colon \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}\to \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{m}.}
この線型変換に対応する行列は（上記の外冪の基底に関して） C r ( A ) である。外冪を取ることは 関手であり、これは [12] を意味する。
∧
r
(
A
B
)
=
(
∧
r
A
)
(
∧
r
B
)
.
{\displaystyle \wedge ^{r}(AB)=(\wedge ^{r}A)(\wedge ^{r}B).}
これは式 C r ( AB ) = C r ( A ) C r ( B )に対応します。これは コーシー・ビネの公式 と密接に関連しており、その強化版です 。
随伴行列との関係 Aを n × n 行列と する。その r次 の高次共役行列 adj r ( A ) は、その ( I , J ) 要素が 次の行列である
こと を思い出すと、
(
n
r
)
×
(
n
r
)
{\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}
(
−
1
)
σ
(
I
)
+
σ
(
J
)
det
A
J
c
,
I
c
,
{\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}},}
ここで、任意の整数集合 K に対して、 σ ( K ) は K の要素の合計である 。A の 従属 元は その 1 次従属元であり、 adj( A ) と表記される。一般化された ラプラス展開 式は、
C
r
(
A
)
adj
r
(
A
)
=
adj
r
(
A
)
C
r
(
A
)
=
(
det
A
)
I
(
n
r
)
.
{\displaystyle C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}
A が逆行列を持つ場合 、
adj
r
(
A
−
1
)
=
(
det
A
)
−
1
C
r
(
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A^{-1})=(\det A)^{-1}C_{r}(A).}
この具体的な結果は、 逆行列 の小行列式に対する ヤコビの公式 です。
det
(
A
−
1
)
J
c
,
I
c
=
(
−
1
)
σ
(
I
)
+
σ
(
J
)
det
A
I
,
J
det
A
.
{\displaystyle \det(A^{-1})_{J^{c},I^{c}}=(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}{\frac {\det A_{I,J}}{\det A}}.}
助動詞は複合語で表現することもできます。S を 符号 行列とします 。
S
=
diag
(
1
,
−
1
,
1
,
−
1
,
…
,
(
−
1
)
n
−
1
)
,
{\displaystyle S=\operatorname {diag} (1,-1,1,-1,\ldots ,(-1)^{n-1}),}
そして Jは 交換行列 を表すものとする 。
J
=
(
1
⋯
1
)
.
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}&&1\\&\cdots &\\1&&\end{pmatrix}}.}
ヤコビの定理 によれば、 r 次の高次加法行列は次の ようになる。 [13] [14]
adj
r
(
A
)
=
J
C
n
−
r
(
S
A
S
)
T
J
.
{\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)=JC_{n-r}(SAS)^{T}J.}
ヤコビの定理から直ちに次のことが分かる。
C
r
(
A
)
J
(
C
n
−
r
(
S
A
S
)
)
T
J
=
(
det
A
)
I
(
n
r
)
.
{\displaystyle C_{r}(A)\,J(C_{n-r}(SAS))^{T}J=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}
助詞と複合詞は交換可能ではない。しかし、助詞の複合詞は複合詞の助詞を使って表現でき、その逆も可能である。
C
r
(
C
s
(
A
)
)
C
r
(
adj
s
(
A
)
)
=
(
det
A
)
r
I
,
{\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A))=(\det A)^{r}I,}
C
r
(
C
s
(
A
)
)
adj
r
(
C
s
(
A
)
)
=
(
det
C
s
(
A
)
)
I
,
{\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))\operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det C_{s}(A))I,}
シルベスター・フランケ定理から、我々は次のように推論する。
adj
r
(
C
s
(
A
)
)
=
(
det
A
)
(
n
−
1
s
−
1
)
−
r
C
r
(
adj
s
(
A
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{s-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A)).}
同じテクニックで新たなアイデンティティが生まれ、
adj
(
C
r
(
A
)
)
=
(
det
A
)
(
n
−
1
r
−
1
)
−
r
C
r
(
adj
(
A
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (C_{r}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{r-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} (A)).}
複合行列と加行列は、行列の線形結合の行列式を計算するときに現れます 。AとBがn × n 行列 で ある 場合 、次の
こと を確かめることは簡単です。
det
(
s
A
+
t
B
)
=
C
n
(
[
s
A
I
n
]
)
C
n
(
[
I
n
t
B
]
)
.
{\displaystyle \det(sA+tB)=C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}sA&I_{n}\end{bmatrix}}\right)C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}I_{n}\\tB\end{bmatrix}}\right).}
また、次のことも事実である。 [15] [16]
det
(
s
A
+
t
B
)
=
∑
r
=
0
n
s
r
t
n
−
r
tr
(
adj
r
(
A
)
C
r
(
B
)
)
.
{\displaystyle \det(sA+tB)=\sum _{r=0}^{n}s^{r}t^{n-r}\operatorname {tr} (\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(B)).}
これはすぐに結果をもたらす
det
(
I
+
A
)
=
∑
r
=
0
n
tr
adj
r
(
A
)
=
∑
r
=
0
n
tr
C
r
(
A
)
.
{\displaystyle \det(I+A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} \operatorname {adj} _{r}(A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} C_{r}(A).}
数値計算 一般的に、複合行列の計算は複雑性が高いため効率的ではありません。しかし、特殊な構造を持つ実数行列には効率的なアルゴリズムがいくつかあります。 [17]
注記
^ 複合行列の定義と理論の純粋に代数的な部分では、行列が 可換環 に要素を持つことだけが要求されます。この場合、行列は 有限生成 自由加群 の 準同型 に対応します。
引用
^ DeAlba, Luz M. 行列式と固有値 、Hogben, Leslie (ed) Handbook of Linear Algebra 、第 2 版、CRC Press、2013 年、 ISBN 978-1-4665-0729-6 、p. 4-4 ^ Gantmacher, FR, The Theory of Matrices 、第1巻、Chelsea Publishing Company、1959年、 ISBN 978-0-8218-1376-8p . 20 ^ Horn, Roger A. および Johnson, Charles R., Matrix Analysis 、第 2 版、Cambridge University Press、2013 年、 ISBN 978-0-521-54823-6 、p. 21 ^ ab Muldowney, James S. (1990). 「複合行列と常微分方程式」. Rocky Mountain Journal of Mathematics . 20 (4): 857–872. doi : 10.1216/rmjm/1181073047 . ISSN 0035-7596. ^ DL, Boutin; RF Gleeson; RM Williams (1996). ウェッジ理論/複合行列: 特性と応用 (PDF) (技術レポート). 海軍研究局. NAWCADPAX–96-220-TR. 2021年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF) 。 ^ Bar-Shalom, Eyal; Dalin, Omri; Margaliot, Michael (2023-03-15). 「システムと制御理論における複合行列：チュートリアル」. 制御、信号、システムの数学 . 35 (3): 467–521. arXiv : 2204.00676 . doi :10.1007/s00498-023-00351-8. ISSN 0932-4194. S2CID 247939832. ^ クン、ロタ、ヤン、p. 305. ^ ホーンとジョンソン、22ページ。 ^ ホーンとジョンソン、22、93、147、233ページ。 ^ Tornheim, Leonard (1952). 「シルベスター・フランケの定理」. アメリカ数学月刊誌 . 59 (6): 389–391. doi :10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811. ^ ハーレー・フランダース (1953)「シルベスター・フランケの定理に関する注記」 アメリカ数学月刊誌 60: 543–5, MR 0057835 ^ Joseph PS Kung、Gian-Carlo Rota、 Catherine H. Yan 、 Combinatorics: The Rota Way 、ケンブリッジ大学出版局、2009 年、p. 306.ISBN 9780521883894 ^ Nambiar, KK; Sreevalsan, S. (2001). 「複合行列と3つの有名な定理」. 数学およびコンピュータモデリング . 34 (3–4): 251–255. doi : 10.1016/S0895-7177(01)00058-9 . ISSN 0895-7177. ^ Price, GB (1947). 「行列式の理論におけるいくつかの恒等式」. アメリカ数学月刊誌 . 54 (2): 75–90. doi :10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856. ^ Prells, Uwe; Friswell, Michael I.; Garvey, Seamus D. (2003-02-08). 「幾何代数の使用: 複合行列と 2 つの行列の和の行列式」 Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 459 (2030): 273–285. doi :10.1098/rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021. S2CID 73593788. ^ ホーンとジョンソン、29ページ ^ Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (2009-02-01). 「複合行列: 特性、数値的問題、解析的計算」 (PDF) . 数値アルゴリズム . 50 (2): 155. doi :10.1007/s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398. S2CID 16067358.
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