多変量正規分布

多変量正規分布

確率密度関数 およびの多変量正規分布からの多数のサンプル ポイントが、3 シグマ楕円、2 つの周辺分布、および 2 つの 1 次元ヒストグラムとともに表示されます。${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}=\left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\left[{\begin{smallmatrix}1&3/5\\3/5&2\end{smallmatrix}}\right]}$
表記	${\displaystyle {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$
パラメータ	μ ∈ R k —位置 Σ ∈ R k  ×  k —共分散(正の半定値行列)
サポート	x ∈ μ + スパン( Σ ) ⊆ R k
PDF	${\displaystyle (2\pi )^{-k/2}\det({\boldsymbol {\Sigma }})^{-1/2}\,\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right),}$ Σが正定値の場合にのみ存在する
平均	μ
モード	μ
分散	Σ
エントロピ	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\log {\mathord {\left(2\pi \mathrm {e} \right)}}+{\frac {1}{2}}\log \det {\mathord {\left({\boldsymbol {\Sigma }}\right)}}}$
MGF の	${\displaystyle \exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}}$
CF	${\displaystyle \exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}}$
カルバック・ライブラー距離	§ カルバック・ライブラー距離を参照

確率論と統計学において、多変量正規分布、多変量ガウス分布、または結合正規分布は、1 次元 (単変量)正規分布を高次元に一般化したものです。ある定義では、ランダム ベクトルは、そのk 個の成分のすべての線形結合が単変量正規分布に従う場合、 k変量正規分布であると言われています。その重要性は、主に多変量中心極限定理に由来しています。多変量正規分布は、多くの場合、平均値の周りに集まる (おそらく)相関のある実数値ランダム変数の集合を、少なくとも近似的に記述するために使用されます。

k次元ランダムベクトルの多変量正規分布は、次の表記法で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{k})^{\mathrm {T}}}$

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$

あるいは、 Xがk次元であることを明示的に知らせるために、

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$

k次元平均ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}])^{\mathrm {T} },}$

共分散行列${\displaystyle k\times k}$

${\displaystyle \Sigma _{i,j}=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov } [X_{i},X_{j}]}$

かつとなる。共分散行列の逆行列は精度行列と呼ばれ、 と表記される。 ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle 1\leq j\leq k}$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

実数ランダムベクトルは 、そのすべての成分が独立しており、それぞれが平均ゼロ、分散1の正規分布するランダム変数である場合、つまりすべてのに対してである場合、標準正規ランダムベクトルと呼ばれます。^{[1] ：p.454}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{k})^{\mathrm {T}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle i=1\ldots k}$

実数ランダムベクトルは、と同じ分布を持つ決定論的行列が存在する場合、中心正規ランダムベクトルと呼ばれます。ここで、は成分を持つ標準正規ランダムベクトルです。 ^{[1] : p. 454}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{k})^{\mathrm {T}}}$${\displaystyle k\times \ell}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \ell }$

実数ランダムベクトルは、ランダム-ベクトル（標準正規ランダムベクトル）、-ベクトル、および行列が存在し、となる場合、正規ランダムベクトルと呼ばれます。^{[2] : p. 454  [1] : p. 455}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {\mu } }$${\displaystyle k\times \ell }$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } }$

正式には:

ここで共分散行列は です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$

共分散行列が特異な退化のケースでは、対応する分布は密度を持ちません。詳細については、以下のセクションを参照してください。このケースは、統計では頻繁に発生します。たとえば、通常の最小二乗回帰における残差ベクトルの分布などです。は一般に独立ではありません。独立したガウス変数のコレクションに行列を適用した結果と見ることができます。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

以下の定義は上記の定義と同等です。ランダム ベクトルは、以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、多変量正規分布を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$

• その成分のすべての線形結合は正規分布します。つまり、任意の定数ベクトルに対して、ランダム変数は単変量正規分布を持ちます。ここで、分散がゼロの単変量正規分布は、その平均上の点質点です。${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle Y=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }$
• kベクトルと対称な半正定値行列があり、の特性関数は${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$$${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.}$$

球面正規分布は、任意の直交座標系において成分が独立している唯一の分布として特徴付けられる。^{[3] [4]}

多変量正規分布は、対称共分散行列 が正定値である場合に「非退化」であると言われる。この場合、分布の密度は^{[5]である。}${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

ここで、 は実数k次元の列ベクトルであり、は の行列式であり、一般化分散とも呼ばれます。が行列（つまり、単一の実数） の場合、上記の式は単変量正規分布の式に簡約されます。${\displaystyle {\mathbf {x} }}$${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|\equiv \det {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle 1\times 1}$

複素正規分布の円対称バージョンは、わずかに異なる形式になります。

各等密度軌跡（ k次元空間内の点の軌跡で、それぞれが同じ特定の密度値を与えるもの）は楕円またはその高次元一般化です。したがって、多変量正規分布は楕円分布の特殊なケースです。

この量はマハラノビス距離と呼ばれ、テストポイントから平均までの距離を表します。マハラノビス距離の2乗 はk項の和に分解され、各項は3つの意味のある要素の積です。^[6] の場合、分布は単変量正規分布に縮小され、マハラノビス距離は標準得点の絶対値に縮小されることに注意してください。以下の区間も参照してください。 ${\displaystyle {\sqrt {({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})}}}$${\displaystyle {\mathbf {x} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle ({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})}$${\displaystyle k=1}$

2次元非特異ケース（）では、ベクトルの確率密度関数は次のようになります。 ここで はとの相関関係であり、 および です。この場合、 ${\displaystyle k=\operatorname {rank} \left(\Sigma \right)=2}$${\displaystyle {\text{[XY]}}\prime }$$${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\left[1-\rho ^{2}\right]}}\left[\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}-2\rho \left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)\left({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)+\left({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)^{2}\right]\right)}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma _{X}>0}$${\displaystyle \sigma _{Y}>0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}\mu _{X}\\\mu _{Y}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\end{pmatrix}}.}$

二変量の場合、正規性の多変量再構成に対する最初の同等の条件は、ベクトルが二変量正規であると結論付けるためには、 とが異なる線形結合の可算無限集合が正規であることを確認するだけで十分であるため、より制限を緩めることができます。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{[XY]}}\prime }$

平面にプロットされた二変量等密度軌跡 は楕円であり、その主軸は共分散行列の固有ベクトルによって定義されます（楕円の長半径と短半径は、順序付けられた固有値の平方根に等しくなります）。 ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

相関パラメータの絶対値が 増加すると、これらの軌跡は次の線に向かって圧縮されます。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle y(x)=\operatorname {sgn}(\rho ){\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}(x-\mu _{X})+\mu _{Y}.}$

これは、 （sgnは符号関数）を に置き換えたこの式が、の値が与えられた場合の の最良の線形不偏予測となるためである。^[8]${\displaystyle \operatorname {sgn}(\rho )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

共分散行列がフルランクでない場合、多変量正規分布は退化しており、密度を持ちません。より正確には、k次元ルベーグ測度（これは微積分レベルの確率コースで想定される通常の測度です）に関して密度を持ちません。分布が測度に関して絶対連続であるランダムベクトルのみが、（その測度に関して）密度を持つと言われています。密度について語りながら測度論の複雑さに対処するのを避けるには、このサブセットの共分散行列が正定値であるような座標のサブセットに注意を限定する方が簡単です。そうすれば、他の座標は、これらの選択された座標のアフィン関数として考えることができます。^[9]${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

特異なケースで密度について意味のある議論をするためには、異なる基本測度を選択する必要があります。分解定理を使用して、ガウス分布がサポートされているの次元アフィン部分空間、つまりへのルベーグ測度の制限を定義できます。 この測度に関して、分布は次のモチーフの密度を持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {\Sigma ^{1/2}}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{k}\right\}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{+}\left(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}\right)\right)}{\sqrt {\det \nolimits ^{*}(2\pi {\boldsymbol {\Sigma }})}}}}$

ここで は一般逆行列であり、 は擬似行列式である。^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{+}}$${\displaystyle \det \nolimits ^{*}}$

次元 1 の累積分布関数(cdf)の概念は、長方形領域と楕円体領域に基づいて、2 つの方法で多次元の場合に拡張できます。

最初の方法は、ランダムベクトルのcdfを、ベクトルのすべての要素が対応する値以下になる確率として定義することです。^[11]${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\text{where }}\mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

の閉じた形式は存在しないが、それを数値的に推定するアルゴリズムは数多く存在する。^{[11] [12]}${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$

もう一つの方法は、標準偏差を直接一般化したガウス分布からのマハラノビス距離によって決定される楕円体内にサンプルが存在する確率としてcdfを定義することです。 ^[13] この関数の値を計算するために、次のような閉じた解析式が存在します。 ^[13]${\displaystyle F(r)}$ ${\displaystyle r}$

多変量正規分布の区間は、次の式を満たす ベクトルxからなる領域となる。

${\displaystyle ({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\leq \chi _{k}^{2}(p).}$

ここでは次元ベクトル、は既知の次元平均ベクトル、は既知の共分散行列、 は自由度を持つカイ二乗分布の確率の分位関数です 。 ^[14]式が楕円の内部を定義する と、カイ二乗分布は平均が2（率が半分）の 指数分布に簡略化されます。${\displaystyle {\mathbf {x} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle \chi _{k}^{2}(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=2,}$

相補累積分布関数（ ccdf）または裾分布 は と定義されます。 のとき、ccdfは従属ガウス変数の最大値の確率として表すことができます。^[15]${\displaystyle {\overline {F}}(\mathbf {x} )=1-\mathbb {P} \left(\mathbf {X} \leq \mathbf {x} \right)}$${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$

${\displaystyle {\overline {F}}(\mathbf {x} )=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}\{X_{i}\geq x_{i}\}\right)=\mathbb {P} \left(\max _{i}Y_{i}\geq 0\right),\quad {\text{where }}\mathbf {Y} \sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}-\mathbf {x} ,\,{\boldsymbol {\Sigma }}\right).}$

CCDFを計算するための単純な閉式は存在しないが、従属ガウス変数の最大値はモンテカルロ法によって正確に推定することができる。^{[15] [16]}

（ここでは行列、はベクトル、はスカラー）で定義される二次領域における多変量正規分布の確率内容は、ガウス判別分析を用いたベイズ分類/決定理論に関連し、一般化カイ二乗分布で与えられる。^[17]（ここでは一般関数） で定義される任意の一般領域内の確率内容は、レイトレーシングの数値法^[17]（Matlabコード）を使用して計算することができる。 ${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}>0}$${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})>0}$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$

xのk次のモーメントは次のように与えられる 。

${\displaystyle \mu _{1,\ldots ,N}(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \mu _{r_{1},\ldots ,r_{N}}(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \operatorname {E} \left[\prod _{j=1}^{N}X_{j}^{r_{j}}\right]}$

ここでr ₁ + r ₂ + ⋯ + r _N = kです。

k次の中心モーメントは次のようになる 。

ここで、合計はセットのすべての割り当てにわたってλ （順序なし）ペアに取られます。つまり、k番目（= 2λ = 6）の中心モーメントの場合、 λ = 3共分散の積を合計します（期待値μは簡潔さのために0とします）。 ${\displaystyle \left\{1,\ldots ,2\lambda \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}X_{6}]\\[8pt]={}&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]\\[4pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]\\[4pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]\\[4pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]\\[4pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}].\end{aligned}}}$

これにより、合計の項（上記のケースでは 15）が生成され、それぞれがλ（このケースでは 3）共分散の積になります。4 次モーメント（4 つの変数）の場合、項は 3 つあります。6 次モーメントの場合、項は3 × 5 = 15個、8 次モーメントの場合、項は3 × 5 × 7 = 105個あります。 ${\displaystyle {\tfrac {(2\lambda -1)!}{2^{\lambda -1}(\lambda -1)!}}}$

次に、リストの項を、r ₁個の 1、r ₂個の 2 などで構成されるリストの対応する項に置き換えることによって、共分散が決定されます。これを説明するために、次の 4 次中心モーメントのケースを調べます。 ${\displaystyle [1,\ldots ,2\lambda ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{i}^{4}\right]&=3\sigma _{ii}^{2}\\[4pt]\operatorname {E} \left[X_{i}^{3}X_{j}\right]&=3\sigma _{ii}\sigma _{ij}\\[4pt]\operatorname {E} \left[X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right]&=\sigma _{ii}\sigma _{jj}+2\sigma _{ij}^{2}\\[4pt]\operatorname {E} \left[X_{i}^{2}X_{j}X_{k}\right]&=\sigma _{ii}\sigma _{jk}+2\sigma _{ij}\sigma _{ik}\\[4pt]\operatorname {E} \left[X_{i}X_{j}X_{k}X_{n}\right]&=\sigma _{ij}\sigma _{kn}+\sigma _{ik}\sigma _{jn}+\sigma _{in}\sigma _{jk}.\end{aligned}}}$

ここで、 はX _iとX _jの共分散です。上記の方法では、まずk 個の異なるX変数を持つk番目のモーメントの一般的なケースを見つけ、次にそれに応じてこれを簡略化します。たとえば、 の場合、X _i = X _jとし、 という事実を使用します。 ${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle E\left[X_{i}X_{j}X_{k}X_{n}\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}^{2}X_{k}X_{n}]}$${\displaystyle \sigma _{ii}=\sigma _{i}^{2}}$

正規ベクトルの二次形式（ここでは行列、はベクトル、はスカラー）は、一般化されたカイ二乗変数である。^[17]正規ベクトルの方向は、投影された正規分布に従う。^[18]${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$${\displaystyle q_{0}}$

が法線ベクトルの一般的なスカラー値関数である場合、その確率密度関数、累積分布関数、逆累積分布関数は、レイトレーシングの数値法（Matlabコード）を使用して計算できます。^[17]${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$

平均と共分散行列がわかっている場合、観測ベクトルの対数尤度は単純に確率密度関数の対数になります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle \ln L({\boldsymbol {x}})=-{\frac {1}{2}}\left[\ln(|{\boldsymbol {\Sigma }}|\,)+({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})+k\ln(2\pi )\right]}$、

非中心複素数の場合の円対称バージョン（複素数ベクトル）は、次のようになる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}}$

${\displaystyle \ln L({\boldsymbol {z}})=-\ln(|{\boldsymbol {\Sigma }}|\,)-({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\dagger }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {\mu }})-k\ln(\pi )}$

つまり、共役転置（ で示される）が正規転置（ で示される）に置き換わることになります。複素正規分布の円対称バージョンは正規化定数に対してわずかに異なる形式を持つため、これは実際の場合とは少し異なります。 ${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle '}$

同様の表記法が多重線形回帰にも用いられる。^[19]

正規ベクトルの対数尤度は正規ベクトルの2次形式であるため、一般化カイ2乗変数として分布する。^[17]

多変量正規分布の微分エントロピーは[ 20 ^]

${\displaystyle {\begin{aligned}h\left(f\right)&=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )\ln f(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \\&={\frac {1}{2}}\ln {}\left|2\pi e{\boldsymbol {\Sigma }}\right|={\frac {k}{2}}+{\frac {k}{2}}\ln {}2\pi +{\frac {1}{2}}\ln {}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|\\\end{aligned}}}$、

ここで、バーは行列式、kはベクトル空間の次元、結果はnatsの単位を持ちます。

非特異行列Σ1とΣ0に対して_、から_へのカルバック・ライブラー距離は次式で表される: ^[21]${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}({\boldsymbol {\mu }}_{1},{\boldsymbol {\Sigma }}_{1})}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}({\boldsymbol {\mu }}_{0},{\boldsymbol {\Sigma }}_{0})}$

${\displaystyle D_{\text{KL}}({\mathcal {N}}_{0}\parallel {\mathcal {N}}_{1})={1 \over 2}\left\{\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}\right)+\left({\boldsymbol {\mu }}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{0}\right)^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})-k+\ln {|{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}| \over |{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}|}\right\},}$

ここで、 は行列の行列式、はトレース、は自然対数、 はベクトル空間の次元です。 ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle tr(\cdot )}$${\displaystyle ln(\cdot )}$${\displaystyle k}$

対数の底はeにする必要があります。対数の後の 2 つの項は、密度関数の因数であるか、自然に生じる式の底がe の対数であるためです。したがって、この式はnatsで測定された結果を与えます。上記の式全体を log _e 2 で割ると、ビット単位 の発散が得られます。

いつ、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{1}={\boldsymbol {\mu }}_{0}}$

${\displaystyle D_{\text{KL}}({\mathcal {N}}_{0}\parallel {\mathcal {N}}_{1})={1 \over 2}\left\{\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}\right)-k+\ln {|{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}| \over |{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}|}\right\}.}$

分布の相互情報量は、 が完全な多変量分布であり、 が1 次元周辺分布の積であるカルバック・ライブラー ダイバージェンスの特殊なケースです。この記事のカルバック・ライブラー ダイバージェンスのセクションの表記では、は、、およびを対角要素とする対角行列です。相互情報量の結果として得られる式は次のようになります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{1}={\boldsymbol {\mu }}_{0}}$

${\displaystyle I({\boldsymbol {X}})=-{1 \over 2}\ln |{\boldsymbol {\rho }}_{0}|,}$

ここで相関行列はから構築される。^[22]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}$

二変量の場合、相互情報量の表現は次のようになります。

${\displaystyle I(x;y)=-{1 \over 2}\ln(1-\rho ^{2}).}$

と が正規分布し、独立している場合、これらは「結合正規分布」している、つまり、ペアは多変量正規分布に従う必要があります。ただし、結合正規分布する変数のペアは、独立している必要はありません（相関がない場合、 のみ独立です）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \rho =0}$

2 つのランダム変数とが両方とも正規分布であるという事実は、そのペアが結合正規分布であることを意味するものではありません。簡単な例としては、X が期待値 0 で分散 1 の正規分布を持ち、かつ の場合、となる場合が挙げられます。ランダム変数が 2 つ以上ある場合も同様の反例があります。一般に、それらは混合モデルになります。^[要出典]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle Y=X}$${\displaystyle |X|>c}$${\displaystyle Y=-X}$${\displaystyle |X|<c}$${\displaystyle c>0}$

一般に、ランダム変数は相関がないが統計的には従属している場合があります。ただし、ランダム ベクトルが多変量正規分布を持つ場合、相関のない 2 つ以上のコンポーネントは独立しています。これは、ペアごとに独立している 2 つ以上のコンポーネントは独立していることを意味します。ただし、上で指摘したように、 （個別に、限界的に）正規分布し相関のない 2 つのランダム変数が独立しているというのは真実ではありません。

N次元xを次のように分割する と

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(N-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

したがって、μとΣは次のように分割される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{1}\\{\boldsymbol {\mu }}_{2}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(N-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times q&q\times (N-q)\\(N-q)\times q&(N-q)\times (N-q)\end{bmatrix}}}$

すると、 x ₂ = aを条件とするx ₁の分布は多変量正規分布となる^[23] ( x ₁  |  x ₂ = a ) ~ N ( μ , Σ )ここで

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\mu }}}={\boldsymbol {\mu }}_{1}+{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}\left(\mathbf {a} -{\boldsymbol {\mu }}_{2}\right)}$

共分散行列

${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\Sigma }}}={\boldsymbol {\Sigma }}_{11}-{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}.}$^[24]

これはの一般逆行列です。行列はΣにおけるΣ ₂₂のシュアー補行列です。つまり、上の式は、全体の共分散行列を反転し、条件付けされている変数に対応する行と列を削除し、再び反転して条件付き共分散行列を取得することと同等です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{22}}$${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\Sigma }}}}$

x ₂ = aとわかると分散が変わりますが、新しい分散はaの特定の値に依存しないことに注意してください。おそらくもっと驚くべきことに、平均は だけシフトします。これを、 aの値がわからない状況と比較してください。この場合、x _{1 は}分布 になります 。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}\left(\mathbf {a} -{\boldsymbol {\mu }}_{2}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{q}\left({\boldsymbol {\mu }}_{1},{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}\right)}$

この結果を証明するために導かれた興味深い事実は、ランダムベクトルとが独立しているということです。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}=\mathbf {x} _{1}-{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}\mathbf {x} _{2}}$

行列Σ ₁₂ Σ ₂₂ ^−1は回帰係数の行列として知られています。

xがとに分割される2変量の場合、 の条件付き分布は[ 25 ^]${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle X_{1}\mid X_{2}=a\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}\rho (a-\mu _{2}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{1}^{2}\right)}$

ここで、と の間の相関係数です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{pmatrix}}\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}}\right)}$

X ₂が与えられた場合の X ₁の条件付き期待値は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}=x_{2})=\mu _{1}+\rho {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}(x_{2}-\mu _{2})}$

証明: 上記の条件付き分布の期待値を取ることで結果が得られます。 ${\displaystyle X_{1}\mid X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{pmatrix}}\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{pmatrix}}\right)}$

X _1がX ₂を与えられたときの条件付き期待値は

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}=x_{2})=\rho x_{2}}$

そして条件付き分散は

${\displaystyle \operatorname {var} (X_{1}\mid X_{2}=x_{2})=1-\rho ^{2};}$

したがって条件付き分散はx ₂に依存しません。

X _2がzより小さい/大きいという条件付きX ₁の期待値は次のようになる: ^{[26] : 367}

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}<z)=-\rho {\varphi (z) \over \Phi (z)},}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}>z)=\rho {\varphi (z) \over (1-\Phi (z))},}$

ここでの最終的な比率は逆ミルズ比と呼ばれます。

証明：最後の2つの結果は結果を使って得られるので、 ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}=x_{2})=\rho x_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\mid X_{2}<z)=\rho E(X_{2}\mid X_{2}<z)}$そして、切断正規分布の期待値の特性を使用します。

多変量正規分布の確率変数のサブセットに対する周辺分布を得るには、平均ベクトルと共分散行列から無関係な変数（周辺化したい変数）を削除するだけでよい。この証明は、多変量正規分布と線型代数の定義から得られる。^[27]

例

X = [ X ₁ , X ₂ , X ₃ ]を、平均ベクトルμ = [ μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ ]と共分散行列Σ (多変量正規分布の標準的なパラメータ化) を持つ多変量正規確率変数とします。すると、 X ′ = [ X ₁ , X ₃ ]の結合分布は、平均ベクトルμ ′ = [ μ ₁ , μ ₃ ]と共分散行列 を持つ多変量正規分布になります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}'={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{13}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{31}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{33}\end{bmatrix}}}$

Y = c + BXが のアフィン変換である場合（cは定数ベクトル、Bは定数行列）、Y は期待値c + Bμ、分散BΣB ^T、つまりの多変量正規分布に従います。特に、X _iの任意のサブセットは、多変量正規分布である周辺分布を持ちます。これを確認するには、次の例を考えます。サブセット ( X ₁、X ₂、X ₄ ) ^{T を}抽出するには、次のようにします 。${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}),}$${\displaystyle M\times 1}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle \mathbf {Y} \sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {c} +\mathbf {B} {\boldsymbol {\mu }},\mathbf {B} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {B} ^{\rm {T}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&\ldots &0\\0&1&0&0&0&\ldots &0\\0&0&0&1&0&\ldots &0\end{bmatrix}}}$

必要な要素を直接抽出します。

もう一つの系は、 Z = b · Xの分布が の単変量ガウス分布であるということです。ここで、bはXと同じ数の要素を持つ定数ベクトルで、ドットはドット積を表します。この結果は、 ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {b} \cdot {\boldsymbol {\mu }},\mathbf {b} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {b} \right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {b} ^{\rm {T}}.}$

Σの正定値は、ドット積の分散が正でなければならないことを意味することに注意してください。

2 XのようなXのアフィン変換は、Xの2 つの独立した実現の合計と同じではありません。

特異でない多変量正規分布の等密度等高線は、平均を中心とする楕円体（すなわち、超球のアフィン変換）である。 ^{[28]したがって、多変量正規分布は}楕円分布のクラスの例である。楕円体の主軸の方向は、共分散行列の固有ベクトルによって与えられる。主軸の相対的な長さの2乗は、対応する固有値によって与えられる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Σ = UΛU ^T = UΛ ^1/2 ( UΛ ^1/2 ) ^Tが固有分解であり、 Uの列が単位固有ベクトル、Λ が固有値の 対角行列である場合、

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\iff \mathbf {X} \ \sim {\boldsymbol {\mu }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\Lambda }}^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\mathbf {I} )\iff \mathbf {X} \ \sim {\boldsymbol {\mu }}+\mathbf {U} {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {\Lambda }}).}$

さらに、軸を反転してもN (0, Λ ) には影響しませんが、列を反転するとU の行列式の符号が変わるため、 Uを回転行列として選択することもできます。分布N ( μ , Σ ) は、実質的にN (0, I ) をΛ ^1/2で拡大縮小し、 U で回転し、 μ で平行移動したものです。

逆に、 μ、フルランク行列U、および正の対角要素 Λ _iの任意の選択は、特異でない多変量正規分布を生成します。 Λ _iのいずれかがゼロでUが正方の場合、結果として得られる共分散行列UΛU ^Tは特異です。 幾何学的には、これは、主軸の少なくとも 1 つが長さがゼロであるため、すべての等高線楕円体が無限に薄く、n次元空間で体積がゼロであることを意味します。これは、退化したケースです。

「二変量正規乱数変数の真の平均の周りの半径は、極座標（半径と角度）で書き直すと、ホイト分布に従います。」^[29]

1次元では、区間内で正規分布のサンプルが見つかる確率は約68.27%ですが、高次元では標準偏差楕円の領域内でサンプルが見つかる確率は低くなります。^[30]${\displaystyle \mu \pm \sigma }$

多変量正規分布の共分散行列の 最大尤度 推定値の導出は簡単です。

つまり、多変量正規分布の確率密度関数（pdf）は

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\exp \left(-{1 \over 2}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right)}$

そして、 n個の観測値のサンプルからの共分散行列のML推定量は^[31]である。

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}({\mathbf {x} }_{i}-{\overline {\mathbf {x} }})({\mathbf {x} }_{i}-{\overline {\mathbf {x} }})^{\mathrm {T} }}$

これは単純に標本共分散行列である。これはバイアスのある推定値であり、その期待値は

${\displaystyle E\left[{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}\right]={\frac {n-1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}.}$

不偏標本共分散は

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})^{\rm {T}}={\frac {1}{n-1}}\left[X'\left(I-{\frac {1}{n}}\cdot J\right)X\right]}$ (行列形式;は単位行列、J は1 の行列、括弧内の項は中心化行列です)${\displaystyle I}$${\displaystyle K\times K}$${\displaystyle K\times K}$${\displaystyle K\times K}$

多変量正規分布のパラメータを推定するためのフィッシャー情報行列には、閉じた形式の式があります。これは、たとえば、この設定でのパラメータ推定のCramér-Rao 境界を計算するために使用できます。詳細については、 フィッシャー情報を参照してください。

ベイズ統計では、平均ベクトルの共役事前分布は別の多変量正規分布であり、共分散行列の共役事前分布は逆ウィシャート分布である 。n回の観測が行われた とする。${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {X} =\{\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

そして共役事前分布が割り当てられており、ここで

${\displaystyle p({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=p({\boldsymbol {\mu }}\mid {\boldsymbol {\Sigma }})\ p({\boldsymbol {\Sigma }}),}$

どこ

${\displaystyle p({\boldsymbol {\mu }}\mid {\boldsymbol {\Sigma }})\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},m^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}),}$

そして

${\displaystyle p({\boldsymbol {\Sigma }})\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Psi }},n_{0}).}$

その後^[31]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p({\boldsymbol {\mu }}\mid {\boldsymbol {\Sigma }},\mathbf {X} )&\sim &{\mathcal {N}}\left({\frac {n{\bar {\mathbf {x} }}+m{\boldsymbol {\mu }}_{0}}{n+m}},{\frac {1}{n+m}}{\boldsymbol {\Sigma }}\right),\\p({\boldsymbol {\Sigma }}\mid \mathbf {X} )&\sim &{\mathcal {W}}^{-1}\left({\boldsymbol {\Psi }}+n\mathbf {S} +{\frac {nm}{n+m}}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})',n+n_{0}\right),\end{array}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {x} _{i},\\\mathbf {S} &={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})'.\end{aligned}}}$

多変量正規性検定は、与えられたデータセットが多変量正規分布と類似しているかどうかを調べる。帰無仮説は、データセットが正規分布と類似しており、したがってp値が十分に小さい場合は非正規データであることを示すというものである。多変量正規性検定には、Cox–Small検定^[32]や、 Larry RafskyとJerome Friedmanによって作成されたFriedman–Rafsky検定を SmithとJainが改良した検定^[33]が含まれる。^[34]

マルディア検定^[35]は、歪度と尖度を多変量拡張したものに基づいている。k次元ベクトル のサンプル{ x ₁ , ..., x _{n }に対して、}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={1 \over n}\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {x} _{j}-{\bar {\mathbf {x} }}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\bar {\mathbf {x} }}\right)^{\mathrm {T} }\\&A={1 \over 6n}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})^{\mathrm {T} }\;{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}^{-1}(\mathbf {x} _{j}-{\bar {\mathbf {x} }})\right]^{3}\\&B={\sqrt {\frac {n}{8k(k+2)}}}\left\{{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left[(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})^{\mathrm {T} }\;{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}^{-1}(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})\right]^{2}-k(k+2)\right\}\end{aligned}}}$

多変量正規性の帰無仮説の下では、統計量Aは、ほぼカイ二乗分布に従うことになり、⁠1/6⁠ ⋅ k ( k + 1)( k + 2)の自由度があり、 B はほぼ標準正規分布 N (0,1)になります。

マルディアの尖度統計量は歪んでおり、極限正規分布に非常にゆっくりと収束します。中規模のサンプルの場合、尖度統計量の漸近分布のパラメータは修正されます^[36]小規模サンプルテスト( )では、経験的な臨界値が使用されます。両方の統計量の臨界値の表は、 k  = 2、3、4 の場合にレンチャー^[37]によって提供されています。${\displaystyle (50\leq n<400)}$${\displaystyle n<50}$

マルディア検定はアフィン不変だが、一貫性がない。例えば、多変量歪度検定は対称非正規検定に対して一貫性がない。^[38]

BHEP検定^{[39]は、正規分布の実験}特性関数と理論特性関数の差のノルムを計算する。ノルムの計算は、ガウス重み関数に対する二乗積分可能関数のL ² ( μ )空間で行われる。検定統計量は ${\displaystyle \mu _{\beta }(\mathbf {t} )=(2\pi \beta ^{2})^{-k/2}e^{-|\mathbf {t} |^{2}/(2\beta ^{2})}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\beta }&=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left|{1 \over n}\sum _{j=1}^{n}e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}^{-1/2}(\mathbf {x} _{j}-{\bar {\mathbf {x} )}}}-e^{-|\mathbf {t} |^{2}/2}\right|^{2}\;{\boldsymbol {\mu }}_{\beta }(\mathbf {t} )\,d\mathbf {t} \\&={1 \over n^{2}}\sum _{i,j=1}^{n}e^{-{\beta ^{2} \over 2}(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j})^{\mathrm {T} }{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}^{-1}(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j})}-{\frac {2}{n(1+\beta ^{2})^{k/2}}}\sum _{i=1}^{n}e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2(1+\beta ^{2})}}(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})^{\mathrm {T} }{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}^{-1}(\mathbf {x} _{i}-{\bar {\mathbf {x} }})}+{\frac {1}{(1+2\beta ^{2})^{k/2}}}\end{aligned}}}$

この検定統計量の限界分布はカイ二乗確率変数の加重和である。^[39]

これらおよびその他の試験手順の詳細な調査が利用可能です。^[40]

観測値（ベクトル）が、平均値と共分散がわかっている複数の多変量正規分布の 1 つから来ていると仮定します。すると、任意の観測値は、それが最も高い確率で発生する分布に割り当てられます。この分類手順は、ガウス判別分析と呼ばれます。分類性能、つまり、異なる分類結果の確率と全体的な分類エラーは、レイトレーシングの数値法^[17]（Matlab コード）によって計算できます。

平均ベクトルμと共分散行列Σを持つN次元多変量正規分布からランダムベクトルxを抽出（サンプリング）する広く使用されている方法は、次のように機能します。^[41]

1. AA ^T = Σとなる任意の実数行列Aを探します。Σが正定値の場合、通常はコレスキー分解が使用され、この分解の拡張形式は常に使用できます (共分散行列は半正定値のみの可能性があるため)。どちらの場合も、適切な行列Aが得られます。別の方法としては、 Σのスペクトル分解Σ = UΛU ⁻¹から得られる行列A = UΛ ^1/2を使用する方法があります。前者のアプローチは計算上はより直接的ですが、行列Aはランダムベクトルの要素の異なる順序によって変化します。一方、後者のアプローチでは、単純な順序変更によって関連付けられる行列が得られます。理論的には、どちらのアプローチも適切な行列Aを決定する同等に優れた方法を提供しますが、計算時間に違いがあります。
2. z = ( z ₁ , ..., z _N ) ^{T を}、 N個の 独立した 標準正規変量（たとえば、ボックス・ミュラー変換を使用して生成できます）を要素とするベクトルとします。
3. x をμ + Azとします。これはアフィン変換の性質により望ましい分布を持ちます。

• カイ分布、多変量正規分布ベクトル（無相関かつゼロ中心）の 2 ノルム（ユークリッドノルムまたはベクトル長）のpdf 。
  • レイリー分布、二変量正規分布ベクトル（無相関かつゼロ中心）のベクトル長の pdf
  • ライス分布、二変量正規分布ベクトル（無相関かつ非中心）のベクトル長の pdf
  • ホイト分布、二変量正規分布ベクトル（相関および中心化）のベクトル長の pdf
• 複素正規分布、二変量正規分布の応用
• Copula は、ガウスまたは正規コピュラ モデルの定義に使用されます。
• 多変量 t 分布。これは広く使用されているもう 1 つの球対称多変量分布です。
• 多変量安定分布は、指数（特性関数の指数）が 0 から 2 の間である場合に、多変量正規分布を拡張したものです。
• マハラノビス距離
• ウィシャート分布
• 行列正規分布