準決定因子

数学において、準行列式は非可換要素を持つ行列の行列式の代わりとして用いられます。2 × 2行列の準行列式の例は以下のとおりです。  

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{11}=a_{11}-a_{12}{a_{22}}^{-1}a_{21}\qquad \left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{12}=a_{12}-a_{11}{a_{21}}^{-1}a_{22}.}$

一般に、n × n行列に対してn ^{2 個の}準行列式が定義されます(行列の各位置に 1 つずつ)。ただし、上記の逆数項の存在は読者に注意を促す必要があります。それらは常に定義されているわけではなく、定義されている場合でも、要素が可換な場合には行列式に還元されません。むしろ、  

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A}{\det A^{ij}}},}$

どこ${\displaystyle A^{ij}}$Aからi行目とj列目を削除することを意味します。

の${\displaystyle 2\times 2}$上記の例は、1926年から1928年の間にリチャードソン^{[ 1 ] [ 2 ]}とヘイティング^{[ 3 ]}によって導入されましたが、当時は、${\displaystyle A}$これらの例は、1991年にイスラエル・ゲルファンドとウラジミール・レタフによって再発見され、新たな命を吹き込まれた。^{[ 4 ] [ 5 ]}彼らはそこで、多くの馴染みのある行列式特性の準行列式バージョンを開発した。例えば、${\displaystyle B}$から構築されています${\displaystyle A}$スケールを変更することで${\displaystyle i}$左側の行${\displaystyle \left.\rho \right.}$、 それから${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\rho \left|A\right|_{ij}}$同様に、${\displaystyle B}$から構築されています${\displaystyle A}$（左）倍数を加えることによって${\displaystyle k}$行目から別の行へ、次に${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}\,\,(\forall j;\forall k\neq i)}$彼らはさらに、クレイマーの公式の準行列式版を開発しました。

させて${\displaystyle A}$になる${\displaystyle n\times n}$（必ずしも可換ではない）環上の行列${\displaystyle R}$そして修正する${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$。 させて${\displaystyle a_{ij}}$ （${\displaystyle i,j}$)-エントリ${\displaystyle A}$、 させて${\displaystyle r_{i}^{j}}$を示す${\displaystyle i}$の行目${\displaystyle A}$列付き${\displaystyle j}$削除して、${\displaystyle c_{j}^{i}}$を示す${\displaystyle j}$の 番目の列${\displaystyle A}$行付き${\displaystyle i}$削除されました。${\displaystyle i,j}$)-準決定因子${\displaystyle A}$サブマトリックスが定義される場合${\displaystyle A^{ij}}$は可逆である${\displaystyle R}$。 この場合、

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}\,{\bigl (}A^{ij}{\bigr )}^{-1}\,c_{j}^{i}.}$

（可換環の場合）の関係式を思い出してください。${\displaystyle A^{-1}}$行列式、すなわち${\displaystyle (A^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A^{ij}}{\det A}}}$上記の定義は、（非可換環の場合でも）次のようになるという一般化である。

${\displaystyle {\bigl (}A^{-1}{\bigr )}_{\!ji}=\left|A\right|_{ij}^{\,-1}}$

両者の主張が理にかなう場合。

準行列式の最も重要な性質の1つは、ゲルファンドとレタクが「遺伝原理」と呼ぶものです。これは、準行列式を段階的に扱うことを可能にします（そして、これに対応する可換なものはありません）。例として、

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{array}}\right)}$

はブロック行列分解である${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$と ${\displaystyle A_{11}}$1${\displaystyle k\times k}$行列。もし (${\displaystyle i,j}$)-エントリ${\displaystyle A}$中にある${\displaystyle A_{11}}$そこにはこう書いてある

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=\left|A_{11}-A_{12}\,{A_{22}}^{-1}\,A_{21}\right|_{ij}.}$

つまり、準行列式の準行列式は準行列式です。もう少し簡潔に言うと、行列式とは異なり、準行列式はブロック行列要素を持つ行列を通常の行列と区別なく扱います（ブロック行列は一般に互いに可換ではないため、行列式ではできません）。つまり、上記の恒等式の正確な形式は非常に驚くべきものですが、そのような恒等式の存在はそれほど驚くべきことではありません。論文^{[ 4 ] [ 5 ]}からのその他の恒等式は、（i）共通の行または列にある2つの準行列式が互いに密接に関連していることを示すいわゆる「ホモロジー関係」、および（ii）シルベスターの公式です。

（i）共通の行または列を共有する2つの準行列式が以下を満たす

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}|A^{il}|_{kj}^{\,-1}=-\left|A\right|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}}$

または

${\displaystyle |A^{kj}|_{il}^{\,-1}\left|A\right|_{ij}=-|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\left|A\right|_{kj},}$

それぞれ、すべての選択肢について${\displaystyle i\neq k}$、${\displaystyle j\neq l}$これにより、関連する準行列式が定義される。

（ii）遺伝原理と同様に、シルベスター恒等式は準行列式を再帰的に計算する方法である。表記を簡略化するために、特殊な場合を示す。 ${\displaystyle A_{0}}$左上${\displaystyle k\times k}$のサブマトリックス ${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$座標を固定します（${\displaystyle i,j}$） で ${\displaystyle A_{0}}$。 させて${\displaystyle B=(b_{pq})}$になる${\displaystyle (n-k)\times (n-k)}$行列、${\displaystyle b_{pq}}$定義される（${\displaystyle p,q}$)-準決定因子${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$隣接して形成される行列${\displaystyle A_{0}}$最初${\displaystyle k}$行の列${\displaystyle p}$、 最初${\displaystyle k}$列の行${\displaystyle q}$、そしてエントリー${\displaystyle a}$_{${\displaystyle pq}$}すると、

${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}.}$

ゲルファンドとレタクによるこの主題に関する最初の論文以来、さらに多くの恒等式が登場しており、そのほとんどは古典的な行列式恒等式の類似物である。重要な情報源の一つは、クロブとルクレールの1995年の論文である。^{[ 6 ]}そのうちの一つを例にとると、行/列拡張恒等式を考える。行を固定する。${\displaystyle i}$展開するには、行列式の公式を思い出してください。 ${\displaystyle \det A=\sum _{l}(-1)^{i+l}a_{il}\cdot \det A^{il}}$準行列式は、

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{l\neq j}a_{il}\cdot |A^{ij}|_{kl}^{\,-1}|A^{il}|_{kj}}$

（列に沿った展開）${\displaystyle j}$）、 そして

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{k\neq i}|A^{kj}|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\cdot a_{kj}}$

（列に沿った拡張）${\displaystyle i}$)

準行列式は、非可換設定における唯一の既存の行列式の類似物ではありません。おそらく最も有名な例は、ディユドネ行列式と量子行列式でしょう。しかし、これらは何らかの形で準行列式と関連しています。例えば、

${\displaystyle {\det }_{q}A={\bigl |}A{\bigr |}_{11}\,\left|A^{11}\right|_{22}\,\left|A^{12,12}\right|_{33}\,\cdots \,|a_{nn}|_{nn},}$

右辺の因子は互いに可換である。ベレジニアン、ムーアおよびスタディ行列式、カペリ行列式、カルティエ・フォアタ型行列式などの他の有名な例も、準行列式で表現できる。ゲルファントは、（非可換）行列式が準小行列式の積として表現できる場合、「良い」行列式と定義することが知られている。

イスラエル・ゲルファンドとウラジミール・レタフは、セルゲイ・ゲルファンドとロバート・ウィルソンとの2005年の調査論文^{[ 7 ]}を言い換えて 、準行列式を「非可換代数の主要な組織化ツールとして採用し、可換代数における行列式と同じ役割を与える」ことを提唱している。準行列式は、積分可能システム^{[ 8 ] [ 9 ]} 、表現論^{[ 10 ] [ 11 ]} 、代数的組み合わせ論^{[ 12 ]} 、非可換対称関数の理論^{[ 13 ]}、除法環上の多項式の理論^{[ 14 ]}、非可換幾何学^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}などの数学分野で実質的に使用されている。

上記のいくつかのアプリケーションでは、準プリュッカー座標が使用されています。準プリュッカー座標は、プリュッカー座標が可換体上のグラスマン多様体とフラグをパラメータ化するのとほぼ同じ方法で、非可換グラスマン多様体とフラグをパラメータ化します。これらに関する詳細は、調査論文^{[ 7 ]}を参照してください。

• マクマホンのマスター定理