ブルン＝ミンコフスキーの定理

ブルン・ミンコフスキーの不等式の乗法形式は次のように述べている。${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$すべての人々のために${\textstyle \lambda \in [0,1]}$。

ブルン＝ミンコフスキーの不等式は、乗法版と同等である。

一方向（ブルン・ミンコフスキーの不等式からその乗法形式へ）の等価性を証明するには、集合にブルン・ミンコフスキーの不等式を適用する。${\textstyle \lambda A}$そして${\textstyle (1-\lambda )B}$それによって

${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq (\mu (\lambda A)^{1/n}+\mu ((1-\lambda )B)^{1/n})^{n}=(\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n},}$

そこで私たちは、${\textstyle \mu (\cdot )^{1/n}}$は同次である。ここで不等式を用いる。${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$これはすべての${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$（対数の凹性から） ${\textstyle \log(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \lambda \log(x)+(1-\lambda )\log(y)}$)、我々は次のことを発見した。${\textstyle (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$これで証明は完了です。

逆に、乗法形式を用いると、

${\textstyle \mu (A+B)=\mu (\lambda {\frac {A}{\lambda }}+(1-\lambda ){\frac {B}{1-\lambda }})\geq {\bigl (}{\frac {\mu (A)}{\lambda ^{n}}}{\bigr )}^{\lambda }{\bigl (}{\frac {\mu) (B)}{(1-\lambda )^{n}}}{\bigr )}^{1-\lambda }.}$

右側は最大化されています${\textstyle \lambda ={\frac {\mu (A)^{1/n}}{\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n}}}}$それによって

${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$証明の完了。

プレコパ・ラインドラーの不等式は、このバージョンのブルン・ミンコフスキーの不等式の関数的な一般化である。

可能です${\textstyle A,B}$ルベーグ測定可能であり、${\textstyle A+B}$そうではない。反例は「測定不可能な和でゼロ集合を測定する」に見られる。一方、${\textstyle A,B}$ボレルは測定可能であれば、${\textstyle A+B}$はボレル集合の連続像である ${\textstyle A\times B}$分析的であるため、測定可能である。この点、および測定可能性仮説を回避する方法については、ガードナーの調査論文の議論を参照されたい。

AとBがコンパクト集合である場合、A + Bもコンパクト集合となり、コンパクト集合の像となる。${\textstyle A\times B}$連続加算マップの下で ：${\textstyle +:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$したがって、測定可能性条件は容易に検証できる。

条件${\textstyle A,B}$両方とも空でないという条件は明らかに必要です。この条件は、以下に示すBMの乗法バージョンには含まれていません。

凸体を考える${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。 させて${\textstyle K(x)=K\cap \{x_{1}=x\}}$Kの垂直スライスとする。${\textstyle r(x)=\mu (K(x))^{\frac {1}{n-1}}}$半径関数は、K のスライスが円盤である場合、r(x)は定数を除いて円盤K(x)の半径を表します。より一般的な物体の場合、この半径関数は、スライスの体積を可能な限り原点に近づけて詰め込むことによって得られる円盤の半径であるという以外に、完全に明確な幾何学的解釈はないように思われます。K (x) が円盤でない場合、超立方体の例では、重心までの平均距離がr(x) よりはるかに大きくなる可能性があることが示されています。凸幾何学の文脈では、半径関数は異なる意味を持つことがあります。ここでは、この講義の用語に従います。

Kの凸性により、${\textstyle K(\lambda x+(1-\lambda )y)\supseteq \lambda K(x)+(1-\lambda )K(y)}$ブルン・ミンコフスキーの不等式を適用すると、${\textstyle r(K(\lambda x+(1-\lambda )y))\geq \lambda r(K(x))+(1-\lambda )r(K(y))}$、 提供された${\textstyle K(x)\not =\emptyset ,K(y)\not =\emptyset }$これは、半径関数がその支持面上で凹関数であることを示しており、凸体はどの方向にも自分自身に凹まないという直感と一致する。この結果は、ブルンの定理として知られることもある。

再び凸体について考えてみましょう。 ${\textstyle K}$. いくつかの行を修正します ${\textstyle l}$そしてそれぞれについて ${\textstyle t\in l}$させて ${\textstyle H_{t}}$に直交するアフィン超平面を表す ${\textstyle l}$通過する ${\textstyle t}$。 定義する、 ${\textstyle r(t)=Vol(K\cap H_{t})}$前のセクションで説明したように、この関数は凹関数です。${\textstyle K'=\bigcup _{t\in l,K\cap H_{t}\not =\emptyset }B(t,r(t))\cap H_{t}}$つまり、${\textstyle K'}$から得られる${\textstyle K}$各スライスを置き換えることで ${\textstyle H_{t}\cap K}$同じディスクと共に${\textstyle (n-1)}$中心の次元体積 ${\textstyle l}$内部 ${\textstyle H_{t}}$前節で定義した半径関数の凹性は、${\textstyle K'}$これは凸関数である。この構成はブルン・ミンコフスキー対称化と呼ばれる。

定理（グルンバウムの定理）：^{[ 2 ]}凸体を考える${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。 させて${\textstyle H}$の重心を含む任意の半空間とする ${\textstyle K}$つまり、一様分布からサンプリングされた点の期待位置${\textstyle K.}$それから${\textstyle \mu (H\cap K)\geq ({\frac {n}{n+1}})^{n}\mu (K)\geq {\frac {1}{e}}\mu (K)}$。

グルンバウムの定理は、ブルン・ミンコフスキーの不等式、特にブルン・ミンコフスキー対称化の凸性を用いて証明できる。^{[ 3 ]}

グルンバウムの不等式は、次のような公平なケーキカットの解釈が可能である。2人のプレイヤーがケーキを切り分けるゲームをしているとしよう。${\textstyle n}$次元凸型のケーキ。プレイヤー1はケーキ上の点を選択し、プレイヤー2はケーキを切るための超平面を選択します。プレイヤー1は、自分の点を含むケーキの切り取り部分を受け取ります。グルンバウムの定理によれば、プレイヤー1が重心を選択した場合、敵対的なプレイヤー2ができる最悪のことは、少なくとも体積が のケーキの切れ端をプレイヤー1に与えることです。${\textstyle 1/e}$全体の割合。ケーキで最も一般的な寸法である2次元と3次元では、定理によって与えられる境界はおよそ次のようになります。${\textstyle .444,.42}$それぞれ。ただし、${\textstyle n}$次元、重心の計算は${\textstyle \#P}$難しいため、^{[ 4 ]}このケーキカット戦略は、高次元だが計算能力に制限のある生物には適さない。

グルンバウムの定理の応用は凸最適化にも見られ、特に重心法の収束解析に用いられている。^{[ 5 ]}

させて${\textstyle B=B(0,1)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{2}\leq 1\}}$は単位球を表す。凸体Kに対して、${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}}$表面積を定義します。これはミンコフスキー・シュタイナーの公式による表面積の通常の意味と一致します。関数を考えてみましょう。${\textstyle c(X)={\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}}$等周不等式は、これがユークリッド球上で最大化されることを示している。

ブルン・ミンコフスキーの不等式を用いると、次の不等式を導出できる。 ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L)}$、 ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)}$項は混合体積である。等号は、KとLが相似である場合に限り成立する。（HugとWeilの凸幾何学に関する講義の定理3.4.3を参照。）

Barvinok のノートとLap Chi Lau のノートに従って、測度の集中に関する次の定理を証明します。球面上の測度の集中も参照してください。

定理：${\textstyle S}$単位球面は${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$。 させて${\textstyle X\subseteq S}$。 定義する${\textstyle X_{\epsilon }=\{z\in S:d(z,X)\leq \epsilon \}}$ここで、d はユークリッド距離を表します。${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$。 させて${\textstyle \nu }$球の表面積を表す。すると、任意の${\textstyle \epsilon \in (0,1]}$私たちはそれを持っています${\textstyle {\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}\geq 1-{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}e^{-{\frac {n\epsilon ^{2}}{4}}}}$。

この結果の別バージョンは、いわゆる厳密に凸な曲面にも適用され、結果は凸度係数に依存します。ただし、表面積の概念は修正が必要です。詳細は、前述のバルヴィノクによる測度の集中に関する注記を参照してください。

次のような場合を考察することは有益である。${\textstyle A}$1${\textstyle l\times l}$平面上で正方形、そして${\textstyle B}$半径のボール ${\textstyle \epsilon }$。 この場合、${\textstyle A+B}$は角丸正方形であり、その体積は半径の4つの角丸四分円として表すことができる。 ${\textstyle \epsilon }$寸法が 4 つの長方形 ${\textstyle l\times \epsilon }$側面に沿って、そして元の正方形に沿って。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (A+B)&=l^{2}+4\epsilon l+{\frac {4}{4}}\pi \epsilon ^{2}=\mu (A)+4\epsilon l+\mu (B)\geq \mu (A)+2{\sqrt {\pi }}\epsilon l+\mu (B)\\&=\mu (A)+2{\sqrt {\mu (A)\mu (B)}}+\mu (B)=(\mu (A)^{1/2}+\mu (B)^{1/2})^{2}.\end{aligned}}}$

この例は混合体積の理論も示唆している。なぜなら、体積の展開に現れる項は ${\textstyle A+B}$Aの異なる次元の断片に対応します。特に、ブルン・ミンコフスキーを次のように書き換えると${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$後者の二項展開の交差項は、何らかの形で混合体積表現を説明するものと考えることができることがわかります。${\textstyle \mu (A+B)=V(A,\ldots ,A)+nV(B,A,\ldots ,A)+\ldots +{n \choose j}V(B,\ldots ,B,A,\ldots ,A)+\ldots nV(B,\ldots ,B,A)+\mu (B)}$この同じ現象は、 n次元の和についても見られる。${\textstyle l\times l}$箱と半径のボール${\textstyle \epsilon }$ここで、交差項は ${\textstyle (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$定数を除いて、混合体積を考慮に入れます。これは、上記の混合体積への応用に関するセクションで、最初の混合体積についてより正確に説明されています。

BM不等式の左辺は一般に右辺よりもはるかに大きくなる可能性があります。例えば、平面内のx軸をX、y軸をYとすると、それぞれは測度がゼロですが、和は無限大になります。別の例として、カントール集合が挙げられます。${\textstyle C}$がカントール集合の中央3分の1を表すならば、次のことを示すのは解析学の演習である。${\textstyle C+C=[0,2]}$。