カペリの正体

数学において、アルフレド・カペリ(1887)にちなんで名付けられたカペリの恒等式は、リー代数の表現論に関連して、非可換要素を持つ特定の行列に対する 公式 det( AB ) = det( A ) det( B ) の類似物です。これは、不変量ƒ を不変量 Ω ƒに関連付けるために使用できます。ここで、 Ω はケイリーの Ω 過程です。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

i , j = 1,..., nの x _{ij が}可換変数である とする。分極演算子を E _{ijと書く。}

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

カペリ恒等式は、行列式として表現される次の微分演算子が等しいことを示しています。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

両辺は微分演算子です。左辺の行列式は非可換要素を持ち、すべての項が「左から右」の順序を維持したまま展開されます。このような行列式は、最初の列から始まる行列式の列展開によって得られるため、列行列式と呼ばれることがよくあります。正式には次のように記述できます。

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},}$

ここで、積には最初に第 1 列の要素が入り、次に第 2 列の要素が入り、というように続きます。右端の行列式はケイリーのオメガ過程であり、左端はカペリ行列式です。

演算子E _{ij は}行列形式で表すことができます。

${\displaystyle E=XD^{t},}$

ここで、 はそれぞれ要素E _ij、x _ijを持つ行列です。これらの行列のすべての要素が可換であれば、明らかに です。カペリ恒等式は、非可換性にもかかわらず、上記の式の「量子化」が存在することを示しています。非可換性の唯一の代償は、左側の 小さな修正です。一般的な非可換行列の場合、次のような式は${\displaystyle E,X,D}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}$${\displaystyle \det(E)=\det(X)\det(D^{t})}$${\displaystyle (ni)\delta _{ij}}$

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

存在せず、一般的な非可換行列では「行列式」という概念自体が意味をなさない。そのため、多くの証明が提示されているにもかかわらず、カペリ恒等式は依然として謎に包まれている。非常に短い証明は存在しないようだ。この命題の直接的な検証は、n = 2 の場合は演習として与えることができるが、 n = 3の場合はすでに長い。

次のようなもう少し一般的な状況を考えてみましょう。と が2 つの整数であり、に対して 、 が可換変数であるとします。 ほぼ同じ式で再定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m}$${\displaystyle E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

唯一の違いは、総和指数が からまでの範囲であることです。このような演算子が交換関係を満たすことは容易にわかります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}.~~~~~~~~~}$

ここで は 交換子を表します。これらは、 の位置 ( は 1 を表します)以外のすべての場所でゼロになる行列が満たす交換関係と同じです。 ( は行列単位と呼ばれることもあります)。したがって、対応はの多項式のベクトル空間におけるリー代数の表現を定義すると結論付けられます。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle ab-ba}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle \pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle x_{ij}}$

m = 1 という特殊なケースを考えることは特に有益です 。この場合、x _i1となり、 x _iと略記されます。

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

特に、1次の多項式については次のことがわかります。

${\displaystyle E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~}$

したがって、 1 次多項式の空間に制限されたの作用は、のベクトルに対する行列単位の作用とまったく同じです。したがって、表現論の観点からは、1 次多項式のサブスペースはリー代数 のサブ表現であり、 の標準表現と同一視されました。さらに、微分演算子は多項式の次数を保存するため、各固定次数の多項式は リー代数 の サブ表現を形成することがわかります。さらに、次数kの同次多項式の空間は、標準表現 の対称テンソル冪と同一視できることもわかります。 ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle S^{k}\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

これらの表現の最高重み構造も簡単に識別できます。単項式は、 i  <  jに対して、実際に最高重みベクトルです。その最高重みは、実際に ( k , 0, ... ,0 )に等しくなります。 ${\displaystyle x_{1}^{k}}$${\displaystyle E_{ij}x_{1}^{k}=0}$${\displaystyle E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}}$

このような表現は、 のボゾン表現と呼ばれることもあります。同様の式が、いわゆるフェルミオン表現を定義します。ここでは、反可換変数です。また、k次の多項式は、 と同型、つまり の反対称テンソル冪である既約な部分表現を形成します。このような表現の最高重みは (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) です。k  = 1, ...,  nに対するこれらの表現は、の基本表現です。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}}$${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle \Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Capelli 恒等式に戻りましょう。次のことを証明できます。

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1}$

この等式の根拠は次のとおりです。いくつかの可換変数 について考えます。 行列は階数 1 であるため、その行列式は 0 に等しくなります。 行列の要素は同様の式で定義されますが、その要素は可換ではありません。 Capelli 恒等式は、によって行列をわずかに修正するだけで、可換恒等式:が維持されることを示しています。 ${\displaystyle E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}}$${\displaystyle x_{i},p_{j}}$${\displaystyle E^{c}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \det(E^{c})=0}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (n-i)\delta _{ij}}$

特性多項式についても同様の恒等式が成り立つことにも言及しておきます。

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~}$

ここで、これの可換な対応は、rank = 1 行列の場合、特性多項式には 1 番目と 2 番目の係数のみが含まれるという単純な事実です。 ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)}$

n = 2の例を考えてみましょう 。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}}$

使用

${\displaystyle \partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}$

これは次の式と等しいことがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}}$

カペリ行列式の興味深い性質は、すべての演算子E _ijと交換可能であること、つまり交換子 がゼロに等しいことです。これは一般化できます。 ${\displaystyle [E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]=0}$

任意の環内の任意の元E _{ij を}考えます。これらは交換関係 を満たします(したがって、これらは上記の微分演算子、行列単位e _ij、またはその他の任意の元である可能性があります)。元C _{k を}次のように定義します。 ${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~}$

どこ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),}$

それから：

• 要素C _kはすべての要素E _{ijと可換である}
• 要素C _kは、可換の場合と同様の式で表すことができます。

${\displaystyle C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},}$

つまり、それらはCapelli 補正を法とする行列Eの主小行列式の和です。特に要素C ₀は上で検討した Capelli 行列式です。 ${\displaystyle +(k-i)\delta _{ij}}$

これらの記述は、以下で説明するように、カペリ恒等式と相互に関連しており、同様に、定式化の単純さにもかかわらず、直接的な数行の短い証明は存在しないようです。

普遍包絡代数は、 E ij_が以下の関係を満たすように 生成される代数として定義できる。${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$

単独で。上記の命題は、元C _{k が}の中心に属する ことを示しています。これらは実際に の中心の自由生成元であることが示されます。これらはCapelli 生成元と呼ばれることもあります。これらに対する Capelli 恒等式については以下で説明します。 ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$

n = 2の例を考えてみましょう 。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}}$

要素が と可換であることはすぐに確認できます 。(単位行列が他のすべての行列と可換であるという明白な事実に対応します)。より有益なのは、2 番目の要素が と可換であることを確認することです 。 について確認してみましょう。 ${\displaystyle (E_{11}+E_{22})}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle E_{12}}$

${\displaystyle [E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]}$

${\displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.}$

素朴な行列式は と交換しないことがわかります。また、中心性を保証するには Capelli の補正が不可欠です。 ${\displaystyle E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}}$${\displaystyle E_{12}}$${\displaystyle +E_{22}}$

一般的なケースに戻りましょう。

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},}$

任意のnおよびmに対して。演算子E _ijの定義は、行列形式 で表すことができます。ここで、 は要素を持つ行列 、 は要素を持つ行列 、 は要素を 持つ行列です。 ${\displaystyle E=XD^{t}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}$

カペリ・コーシー・ビネ恒等式

一般に、行列E は2つの直方行列Xの積として与えられ、 Dに転置されます。これらの行列のすべての要素が交換可能であれば、Eの行列式は、 XとDの小行列式を介して、いわゆるコーシー・ビネーの公式によって表すことができます。この公式の類似物は、同じわずかな補正の代償で、行列Eにも存在します。 ${\displaystyle E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})}$

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})}$、

特に（可換の場合と同様）：m < nの場合、m = nの場合は上記の恒等式に戻ります。 ${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0}$

また、可換の場合と同様に（マイナー行列についてはコーシー・ビネを参照）、 Eの行列式だけでなく、そのマイナー行列もXとDのマイナー行列を介して表現できることにも言及しておきます。

${\displaystyle \det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})}$、

ここで、K  = ( k ₁  <  k ₂  < ... <  k _s )、L  = ( l ₁  <  l ₂  < ... <  l _s )、は任意のマルチインデックスです。 は通常、 Mの要素M _{k a l b}によって形成される部分行列を表します。 Capelli 補正には、前の式のようにnではなくs が含まれることに注意してください。 s=1の場合、補正 ( s  −  i ) が消え、 EをXの積として定義し、 Dに転置するだけになることに注意してください。 また、一般的なK、Lの場合、対応するマイナーはすべての要素E _ijと可換ではないため、 Capelli 恒等式は中心要素に対してのみ存在するわけではない ことにも言及します。${\displaystyle M_{KL}}$

この式と前のセクションの特性多項式の式からの帰結として、次のことを述べておきます。

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),}$

ここで、この式は可換の場合と似ており、左辺にモジュラがあり、右辺に t ^{n の}代わりにt ^{[n] があります。}${\displaystyle I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),}$ ${\displaystyle J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)}$${\displaystyle +(n-i)\delta _{ij}}$

デュアルペアとの関係

これらの恒等式に対する現代の関心は、ロジャー・ハウによって大いに刺激されてきました 。彼は、これらの恒等式を、彼の簡約双対理論（ハウ双対としても知られています）で考察しました。これらのアイデアに初めて触れるために、演算子 をより正確に見てみましょう 。このような演算子は、多項式の次数を保存します。次数 1 の多項式を見てみましょう。 では、インデックスlが保存されていることがわかります。表現論の観点から、次数 1 の多項式は表現 の直和と同一視できることがわかります。ここで、 l番目の部分空間 ( l=1...m ) は、i  = 1、...、  nによって張られます。このベクトル空間をもう一度見てみましょう。 ${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle x_{il}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.}$

このような観点から、mとnの間の対称性についての最初のヒントが得られます。この考えを深めるために、次の点を考慮してください。

${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.}$

これらの演算子は、法数え上げと同じ公式で与えられるため 、同じ議論によって、x _ijの多項式のベクトル空間におけるリー代数の表現を形成することが推論できます。さらに進む前に、微分演算子は微分演算子と交換できるという特性について言及します。 ${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle i\leftrightarrow j}$${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{m}}$${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$${\displaystyle E_{kl}}$

リー群は ベクトル空間に自然に作用します。リー代数の対応する作用は、それぞれ微分演算子とによって与えられることが 示されます。これにより、これらの演算子の可換性が説明されます。 ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}}$${\displaystyle E_{ij}~~~~}$${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$

実際には、次のより深い特性が当てはまります。

• と可換な唯一の微分演算子はの多項式であり、その逆もまた同様です。${\displaystyle E_{ij}~~~~}$${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$
• 多項式のベクトル空間を、およびの既約表現のテンソル積の直和に分解すると、次のように表すことができます。${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle GL_{m}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.}$

加数はヤング図 Dによってインデックス付けされ、表現は相互に非同型です。また、図はを決定し、逆もまた同様です。 ${\displaystyle \rho ^{D}}$${\displaystyle {D}}$${\displaystyle {D'}}$

• 特に、大きなグループの表現は 重複性がなく、つまり、各既約表現は 1 回だけ発生します。${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

シューア・ワイル双対性との強い類似性は容易に観察できます。

この恒等式とその一般化については多くの研究がなされてきました。約24人の数学者と物理学者がこの研究に貢献しており、その一部を挙げると、R. ハウ、B. コスタント^{[1] [2]、} フィールズ賞受賞者の A. オクンコフ^{[3] [4] 、} A. ソーカル、^[5]、 D. ツァイルバーガー[ ^{6]などがいます。}

歴史的に最初の一般化は1948年にハーバート・ウェストレン・ターンブル^[7]によって達成されたようで、彼は対称行列の場合の一般化を発見しました（現代的な扱いについては^{[5] [6]}を参照）。

他の一般化は、いくつかのパターンに分けることができます。それらのほとんどは、リー代数の観点に基づいています。そのような一般化は、リー代数を単純リー代数^[8]とその超^{[9] [10]} (q)、^{[11] [12]} および現在のバージョンに変更することから成ります。 ^[13]同様に、恒等式は、さまざまな簡約双対に対して一般化できます。^{[14] [15]}そして最後に、行列 E の行列式だけでなく、その恒等式の^[16]冪と内在値のトレースを考慮することができます。^{[3] [4] [17] [18]}さらにいくつかの論文について言及しましょう。^{[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]} まだ参考文献のリストは不完全です。 恒等式は半単純リー代数と密接に関連しているとかなり長い間信じられてきました。驚くべきことに、2008年にS. Caracciolo、A. Sportiello、AD Sokalによって、リー代数とは何の関係もない、 純粋に代数的な恒等式の一般化が発見されました^{[5] 。}${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

対称行列 を考える

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

ハーバート・ウェストレン・ターンブル^[7]は1948年に以下の正体を発見した。

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)}$

組み合わせ論的証明は論文^[6]に記載されており、別の証明と面白い一般化も論文^[5]に記載されています。以下の議論も参照してください。

反対称行列 を考える

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}$

それから

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).}$

以下の条件を満たす結合環上の 2つの行列MとYを考える。

${\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~}$

いくつかの要素Q _ilに対して。または「言葉で言えば」、 M の j 列目の要素は、j = kで ない 限り、 Y のk行目の要素と可換であり、この場合、要素M _ikとY _klの交換子はiとlのみに依存し、kには依存しません。

M がマニン行列であると仮定します(最も単純な例は、可換要素を持つ行列です)。

正方行列の場合

${\displaystyle \det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y).~~~~~~~}$

ここでQは要素Q _ilを持つ行列であり、diag( n  −1,  n  −2,...,1,0)は対角線上に要素n  −1, n  −2,...,1,0を持つ対角行列を意味します。

^[5]命題1.2'式(1.15)4ページを参照。YはBに転置されている 。

明らかに、元のカペリの恒等式はこの恒等式の特別なケースである。さらに、この恒等式から、元のカペリの恒等式では要素を考慮できることが分かる。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )}$

任意の関数f _ijに対しても恒等式は真となります。

Capelliの恒等式のように行列XとDを考えます。つまり、要素を持ち、位置( ij )にあります。 ${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle \partial _{ij}}$

z を別の形式変数（xと可換）とします。 AとB を、要素が複素数である行列とします。

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

${\displaystyle ={\det }_{{\text{Put all }}x{\text{ and }}z{\text{ on the left, while all derivations on the right}}}^{\text{calculate as if all commute}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

ここで、最初の行列式は (いつものように) 非可換要素を持つ行列の列行列式として理解されます。右側の行列式は、すべての要素が可換であるかのように計算され、すべてのxとz が左側に配置され、導関数が右側に配置されます。(このような方法は、量子力学ではウィック順序と呼ばれます)。

マトリックス

${\displaystyle L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}}$

は、ゴーディン量子可積分スピン鎖システムのLax 行列です。D. タララエフは、ゴーディン モデルの量子可換保存則の完全なセットの明示的な解という長年の問題を解決し、次の定理を発見しました。

考慮する

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.}$

そして、すべてのi、j、z、wについて

${\displaystyle [H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,~~~~~~~~}$

つまり、 H _i ( z ) は、すべて交換可能なxの微分演算子に対するzの生成関数です。したがって、それらは Gaudin モデルの量子交換保存則を提供します。

元々のカペリ恒等式は行列式に関する記述です。後に、パーマネント、イマンント、トレースの類似の恒等式が見つかりました。SGウィリアムソン^[26]の論文は、組み合わせ論的アプローチに基づいており、 この方向での最初の結果の1つでした。

上記のHUKS恒等式の場合と同様に、 要素x _ijと対応する導関数を持つ反対称行列XとDを考えます。

それから

${\displaystyle \mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Put all }}x{\text{ on the left, with all derivations on the right}}}^{\text{Calculate as if all commute}}(X^{t}D).}$

引用しましょう: ^[6] 「…はターンブルの論文の最後で証明なしに述べられています」。著者自身もターンブルに従っており、論文の最後で次のように書いています。

「この最後の恒等式の証明は、ターンブルの対称類似の証明と非常に似ているため（若干のひねりはあるものの）、読者にとって有益で楽しい演習として残しておきます。」

このアイデンティティは論文の中で深く分析されている。^[27]