特殊線形リー代数

数学において、体上の の位数特殊線型リー代数（または と表記）は、トレースがゼロでリー括弧が交換子によって与えられるすべての行列（ の要素を持つ）のリー代数です。この代数はよく研究され理解されており、他のリー代数の研究のモデルとしてよく使用されます。これが生成するリー群は特殊線型群です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}F}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$

リー代数は特殊相対性理論、一般相対性理論、超対称性の研究の中心であり、その基本表現はいわゆるスピノル表現であり、その随伴表現は特殊相対性理論のローレンツ群SO(3,1)を生成します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

この代数は、負の曲率を持つ最も単純なリーマン面である双曲面の自己同型を記述するメビウス群SL(2, R )を生成するため、カオスとフラクタルの研究において重要な役割を果たします。対照的に、SL(2, C ) は、双曲的な3次元球の自己同型を記述します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R} }$

リー代数は3次元複素リー代数である。その定義的特徴は、交換関係を満たす 基底を含むことである。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e,h,f}$

${\displaystyle [e,f]=h}$、、 そして。${\displaystyle [h,f]=-2f}$${\displaystyle [h,e]=2e}$

これはのカルタン-ワイル基底です。これは、トレースがゼロの 2 行 2 列の複素行列で明示的に実現されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$、、。​${\displaystyle F={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

これは の基本的な、または定義的な表現です。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

リー代数はその普遍包絡代数の部分空間として見ることができ、そこには帰納法によって示される以下の交換関係が存在する：^[1]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle [h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}}$、

${\displaystyle [e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h}$。

ここで、べき乗などは行列のべき乗ではなく、代数Uの要素としてのべき乗を指すことに注意する。最初の基本事実（上記の交換関係から導かれる）は次の通りである。^[1]${\displaystyle f^{k}}$

この補題から、次のような基本的な結果が導かれる。^[2]

最初のステートメントは、どちらかがゼロであるか、またはゼロでない他の の固有値とは異なる -固有値を持つため、真です。が -重みベクトルであると言うことは、それが同時におよびの固有ベクトルであると言うことと同じです。簡単な計算で、その場合、の -固有値はゼロであることがわかります。したがって、ある整数 に対して、特に、前の補題により、 ${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\cdot v=0}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$

${\displaystyle 0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},}$

これは を意味します。 が既約でないことを示す必要があります。 が部分表現である場合、それは の形式の固有値を持つ固有ベクトルを許容します。したがって、 は に比例します。前の補題により、 はであり、したがって です。${\displaystyle \lambda =N}$${\displaystyle W=\operatorname {span} \{v_{j}\mid j\geq 0\}}$${\displaystyle 0\neq W'\subset W}$${\displaystyle N-2j}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle v=v_{0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W'=W}$${\displaystyle \square }$

結果として、次のことが推測されます。

• が有限次元で既約である場合、 vの -固有値は非負の整数であり、基底 を持ちます。${\displaystyle V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$
• 逆に、の -固有値が非負の整数であり、既約である場合、 は基底 を持ちます。特に、 は有限次元を持ちます。${\displaystyle h}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$

の美しい特殊なケースは、リー代数の既約表現を見つけるための一般的な方法を示しています。つまり、代数を 3 つの部分代数「h」（カルタン部分代数）、「e」、「f」に分割します。これらは、 における同名の代数とほぼ同様に動作します。つまり、既約表現では、「h」の「最高」固有ベクトルがあり、それに対して「e」はゼロで作用します。既約表現の基底は、「h」の最高固有ベクトルに対する「f」の作用によって生成されます。最高重み の定理を参照してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

次元の複素ベクトル空間 に対して、の各有限次元既約表現はのテンソル冪の部分表現として見つけることができる。^[4]${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} =\operatorname {\mathfrak {sl}} V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$

リー代数は、トレースレス行列の行列リー代数として明示的に実現できます。これは の基本表現です。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$

要素が1で、他の要素が0の行列 に設定します。${\displaystyle M_{i,j}}$${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle H_{i}:=M_{i,i}-M_{i+1,i+1},{\text{ with }}1\leq i\leq n-1}$

${\displaystyle M_{i,j},{\text{ with }}i\neq j}$

の基底を形成します。これは技術的には表記法の乱用であり、これらは実際には基本表現における の基底のイメージです。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$

さらに、これは実際にはカルタン・ワイル基底であり、 はカルタン部分代数を張ります。、および の表記を導入すると、の場合、 は正の根であり、は対応する負の根です。 ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle E_{i,j}=M_{i,j}}$${\displaystyle j>i}$${\displaystyle F_{i,j}=M_{i,j}^{T}=M_{j,i}}$${\displaystyle j>i}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle F_{i,j}}$

単純根の基底は に対して次のように与えられます。 ${\displaystyle E_{i,i+1}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$

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• アフィン・ワイル群
• 有限コクセター群
• ハッセ図
• 線型代数群
• べき乗軌道
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