フレドホルム行列式

数学において、フレドホルム行列式は、有限次元線型演算子の行列式を一般化する複素数値関数である。これは、トレースクラス演算子によって恒等演算子と異なるヒルベルト空間上の有界演算子に対して定義される。この関数は、数学者エリック・アイヴァー・フレドホルムにちなんで名付けられている。

フレドホルム行列式は数理物理学において多くの応用例があるが、最も有名な例は、ラース・オンサーガーとCN・ヤンがイジング模型の自発磁化に関して提起した疑問に応えて証明されたガボール・セゲーの極限公式である。

をヒルベルト空間とし、上の 有界可逆作用素の集合をとする。ここで はトレースクラス作用素である。 は群である。なぜなら ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I+T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},}$$

の場合、トレースクラスもトレースクラスです。トレースクラスは、によって与えられる 自然な測定基準を持ちます。ここで、 はトレースクラスノルムです。 ${\displaystyle (I+T)^{-1}-I}$${\displaystyle T}$${\displaystyle d(X,Y)=\|XY\|_{1}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$

が内積を持つヒルベルト空間である場合、の外積も内積を持つ ヒルベルト空間である。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda^{k}H}$$${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})=\det(v_{i},w_{j}).}$$

特に $${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}},2 ...$$

が の正規直交基底である場合、はの正規直交基底を与えます。 が上の有界演算子である場合、 によって上 の有界演算子が関数的に定義されます。${\displaystyle \Lambda^{k}H}$${\displaystyle (e_{i})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda^{k}(A)}$${\displaystyle \Lambda^{k}H}$$${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$$

がトレースクラスである場合、もトレースクラスであり、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Lambda^{k}(A)}$$${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$$

これは、フレドホルム行列式の 定義が$${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$

意味が通じます。

• トレースクラスの演算子の場合${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$関数全体を 定義すると、 $${\displaystyle \left|\det(I+zA)\right|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$$

• この関数はトレースクラスの演算子に対して連続であり、${\displaystyle \det(I+A)}$

$${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$$ この不等式は、Simon の第 5 章で述べられているように、次のように少し改善することができます。 $${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$$

• およびがトレースクラスである場合、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \det(I+A)\cdot \det(I+B)=\det(I+A)(I+B).}$$

• この関数は、非ゼロ複素数の乗法群へのの準同型を定義します( の要素は可逆であるため)。${\displaystyle \det }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle G}$
• が逆変換可能であれば、${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \det XTX^{-1}=\det T.}$$

• トレースクラスの場合、${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det e^{A}=\exp \,\operatorname {Tr} (A).}$$ $${\displaystyle \log \det(I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}}$$

からへの関数は、トレースクラス演算子への写像として微分可能 である場合、すなわち、極限${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F(t)-I}$

$${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\to 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$$

トレースクラスのノルムに存在します。

がトレースクラス演算子の値を持つ微分可能関数である場合、 も微分可能関数であり、 ${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle \exp g(t)}$

$${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={\operatorname {id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$$

どこ$${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\cdot Y=XY-YX.}$$

イスラエル・ゴーバーグとマーク・クラインは、が への微分可能関数である場合、 はへの微分可能写像であり 、 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f=\det F}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$$${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}=\operatorname {Tr} F^{-1}{\dot {F}}.}$$

この結果は、ジョエル・ピンカス、ウィリアム・ヘルトン、ロジャー・ハウによって、トレースクラス交換子を持つ有界演算子とした場合に、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB-BA}$

$${\displaystyle \det e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \operatorname {Tr} (AB-BA).}$$

をハーディ空間への直交射影とします。 ${\displaystyle H=L^{2}(S^{1})}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$

が円上の滑らかな関数である場合、 は上の対応する乗算演算子を表します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle m(f)}$${\displaystyle H}$

整流子は トレースクラスです。 $${\displaystyle Pm(f)-m(f)P}$$

をテプリッツ演算子と定義する と、${\displaystyle T(f)}$${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$$${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$$

とが滑らかな場合、加法交換子は トレースクラスです。 $${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

バーガーとショーは、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }f\,dg.}$$

およびが滑らかな 場合、 は になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$$${\displaystyle G}$

ハロルド・ウィダムはピンカス・ヘルトン・ハウの結果を用いて 、 $${\displaystyle \det T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$$${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$$

彼はこれを用いて、ガボール・セゲーの有名な極限公式 の新しい証明を与えました。 ここで、は、およびによって張られるの部分空間への射影です。 $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\det P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$${\displaystyle P_{N}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 1,z,\ldots ,z^{N}}$${\displaystyle a_{0}=0}$

セグーの極限公式は、1951年に、ラース・オンサーガーとCNヤンの研究で提起された、イジング模型の自発磁化の計算に関する疑問に応えて証明されました。セグーの極限公式に非常に簡単につながるウィドムの公式は、共形場理論におけるボソンとフェルミオンの双対性とも同等です。円弧上でサポートされた関数に対するセグーの極限公式の特異バージョンは、ウィドムによって証明されました。これは、ランダムユニタリ行列の固有値分布に関する確率的結果を確立するために適用されています。

以下のセクションでは、トレースクラス演算子がカーネルによって与えられた積分演算子である場合のフレドホルム行列式の非公式な定義を示します。適切な定義には、フレドホルム行列式が考慮される特定の状況に対して、各操作が明確に定義され、収束するなどであることを示すプレゼンテーションが必要です。カーネルはさまざまなヒルベルト空間とバナッハ空間に対して定義できるため、これは簡単な作業ではありません。 ${\displaystyle I-T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K(x,y)}$${\displaystyle K}$

フレドホルム行列式は次のように定義される。 $${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$$

ここで、は積分演算子である。演算子のトレースとその交代べきは、核に関して次のよう に与えられ 、 一般に ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$$$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy}$$$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

これらのカーネルはトレースクラスまたは核演算子であるため、トレースは明確に定義されています。

フレドホルム行列式は、共鳴群構造法によって、反対称化された部分波動関数の組み合わせからなる複合核の波動関数の数学的記述に役立てるために、物理学者ジョン・A・ホイーラー（1937、Phys. Rev. 52:1107）によって使用されました。この方法は、中性子と陽子のエネルギーを基本的なボソンとフェルミオンの核子クラスターグループまたはアルファ粒子、ヘリウム3、重水素、三重中性子、二中性子などの構成要素に分配するさまざまな可能な方法に対応しています。ベータおよびアルファ安定同位体の共鳴群構造法に適用すると、フレドホルム行列式の使用により、（1）複合システムのエネルギー値が決定され、（2）散乱および崩壊断面積が決定されます。ウィーラーの共鳴群構造の方法は、その後のすべての核子クラスター モデルと、すべての軽質量同位体および重質量同位体に関連するクラスター エネルギー ダイナミクスの理論的基礎を提供します (ND Cook、2006 年の物理学におけるクラスター モデルのレビューを参照)。

• サイモン、バリー（2005）、トレースイデアルとその応用、数学サーベイとモノグラフ、第120巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3581-5
• Wheeler, John A. (1937-12-01). 「共鳴群構造法による軽原子核の数学的記述について」. Physical Review . 52 (11). American Physical Society (APS): 1107–1122. Bibcode :1937PhRv...52.1107W. doi :10.1103/physrev.52.1107. ISSN  0031-899X.
• ボルネマン、フォルクマー (2010)、「フレドホルム行列式の数値評価について」、Math. Comp.、79 (270)、Springer: 871–915、arXiv : 0804.2543、doi :10.1090/s0025-5718-09-02280-7