シュール補体

シューア補元は、線形代数、行列理論、数値解析、統計学の分野における重要なツールである。

これはブロック行列に対して定義されます。p 、qはp + q > 0を満たす非負整数とし、A、B、C、Dはそれぞれp × p、p × q、q × p、q × qの複素数行列であるとします。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$ したがって、Mは( p + q ) × ( p + q )行列である。

Dが可逆行列である場合、行列MのブロックDのシューア補行列は、次のように定義される p × p行列である。$${\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C.}$$Aが可逆行列である 場合、行列MのブロックAのシューア補行列は、次のように定義されるq × q行列 である。$${\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}$$AまたはDが特異な 場合、M/AおよびM/Dの逆行列に一般化逆行列を代入すると、一般化シューア補行列が得られます。

シュール補元は、シュール補元を証明するためにこれを使用したイッサイ・シュール^{[ 1 ]}にちなんで名付けられましたが、それ以前にも使用されていました^{[ 2 ]} 。エミリー・バージニア・ヘインズワースが最初にこれをシュール補元と呼びました^{[ 3 ]}。シュール補元は、物理学者ヘルマン・フェシュバッハにちなんでフェシュバッハ写像と呼ばれることもあります^{[ 4 ]}。

シュール補行列は、行列Mに対してブロックガウス消去法を実行する際に生成されます。ブロック対角線より下の要素を消去するために、次のように行列Mに右から ブロック下三角行列を乗算します。$${\displaystyle {\begin{aligned}&M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ ここで、I _pはp × p単位行列を表す。結果として、シュール補行列は${\displaystyle M/D=A-BD^{-1}C}$左上のp × pブロックに表示されます。

この時点以降も消去プロセスを継続する（つまり、ブロックガウス・ジョルダン消去を実行する）、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ これにより、MのLDU 分解が得られ、それは次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$したがって、 M の逆元は、D ^{− 1}と、存在すると仮定したシュール補元の逆元を 用いて次のように表すことができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\ \D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1} \\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^ {-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$上記の関係は、 D ^{− 1}とM/D を含む消去操作から得られます。AとDの役割を入れ替えることで、同等の導出を行うことができます。これら 2 つの異なる方法で得られたM ^{− 1 の式を等しくすることで、} Mの2 つの Schur 補行列M /DとM/Aを関連付ける行列反転補題を確立できます( Woodbury 行列の恒等式 §代替証明の「LDU 分解からの導出」を参照)。 

• pとqが両方とも1の場合（つまり、A、B、C、Dがすべてスカラーの場合）、2×2行列の逆行列を求めるおなじみの公式が得られます。

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}$

ただし、AD − BCがゼロでない場合に限る。  

• 一般に、Aが可逆であれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_ {p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

この逆が存在する場合。

• （シュールの公式）A、またはDが可逆である場合、 Mの行列式も明らかに次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle \det(M)=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right)}$、 それぞれ

${\displaystyle \det(M)=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right)}$、

これは、2×2行列の行列式公式を一般化したものである。

• （ガットマンのランク加法性公式）Dが可逆である場合、Mのランクは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} \left(A-BD^{-1}C\right)}$

• （ヘインズワースの慣性加法公式）Aが可逆行列である場合、ブロック行列Mの慣性はAの慣性＋ M / Aの慣性に等しくなります。
• （商の恒等式）${\displaystyle A/B=((A/C)/(B/C))}$[ ^{5 ]​}
• ラプラシアン行列のシュール補行列もまたラプラシアン行列である。^{[ 6 ]}

シュール補元は、^{[ 7 ]}のような線形方程式系を解く際に自然に現れる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}}$。

部分行列が${\displaystyle A}$可逆であるため、${\displaystyle x}$以下の式から、次のようになります。

${\displaystyle x=A^{-1}(u-By).}$

この式を2番目の式に代入すると、

${\displaystyle \left(D-CA^{-1}B\right)y=v-CA^{-1}u.}$

これを消去して得られる簡略化された方程式と呼ぶ。${\displaystyle x}$元の式から。簡約された式に現れる行列は、最初のブロックのシューア補行列と呼ばれる。${\displaystyle A}$で${\displaystyle M}$:

${\displaystyle S\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ D-CA^{-1}B}$。

簡約された方程式を解くと、

${\displaystyle y=S^{-1}\left(v-CA^{-1}u\right).}$

これを最初の式に代入すると、

${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u-A^{-1}BS^{-1}v.}$

上記の2つの式は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.}$

したがって、ブロック行列の逆行列の定式化は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&-A^{-1}B\\&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&\\-CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

特に、シュール補元は、${\displaystyle 2,2}$逆数のブロックエントリ${\displaystyle M}$。

実際には、${\displaystyle A}$このアルゴリズムが数値的に正確であるためには、条件が良好である必要がある。

この方法は、電気工学においてネットワーク方程式の次元を削減するのに役立ちます。特に、出力ベクトルの要素がゼロの場合に有効です。たとえば、${\displaystyle u}$または${\displaystyle v}$がゼロの場合、出力ベクトルの残りの部分を変更することなく、係数行列の関連する行を削除できます。${\displaystyle v}$が null の場合、上記の式は${\displaystyle x}$に縮小 ${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u}$係数行列の次元を削減しつつ、${\displaystyle u}$修正なし。これは電気工学において有利に利用され、ノード除去またはクロン削減と呼ばれています。

ランダム列ベクトルX、Y がそれぞれR ⁿとR ^mに属し、 R ^{n + m}のベクトル ( X、Y )が多変量正規分布に従い、その共分散が対称正定値行列であると仮定します。

${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],}$

どこ ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$Xの共分散行列は、${\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$Yの共分散行列は、${\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$これはXとY の間の共分散行列です。

すると、Yが与えられたときのXの条件付き共分散は、 Cの Schur 補集合になります。${\textstyle \Sigma }$: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (X\mid Y)&=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\\\operatorname {E} (X\mid Y)&=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))\end{aligned}}}$

行列を取ると${\displaystyle \Sigma }$上記がランダムベクトルの共分散ではなく標本共分散である場合、ウィシャート分布に従う可能性がある。その場合、Cのシュール補行列は${\displaystyle \Sigma }$ウィシャート分布も採用している。

X を、以下の式で与えられる実数の 対称行列とする。$${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}$$ そしてヘインズワースの慣性加算式により、

• Aが可逆である場合、Xが正定値であるのは、 Aとその補行列X/Aの両方が正定値である場合に限る。 ^{[ 2 ]： 34}

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succ 0.}$$

• Cが可逆である場合、Xが正定値であるのは、 Cとその補集合X/Cの両方が正定値である場合に限る。

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succ 0.}$$

• Aが正定値行列である場合、 Xが正半定値行列であるのは、補行列X/Aが正半定値行列である場合に限る。^{[ 2 ]： 34}

$${\displaystyle {\text{If }}A\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succeq 0.}$$

• Cが正定値である 場合、 Xが正半定値であるのは、補集合X/Cが正半定値である場合に限る。

$${\displaystyle {\text{If }}C\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succeq 0.}$$

第一および第三の記述は、量の最小値を考慮することによって も導出できる^{[ 7 ]。}$${\displaystyle u^{\mathrm {T} }Au+2v^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }u+v^{\mathrm {T} }Cv,\,}$$v の関数として（ uは固定）。

さらに、 $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}$$ 同様に、正定値半行列の場合も、2番目（または4番目）の記述は、1番目（または3番目）の記述から直ちに導かれる。

また、一般化されたシューア補元に関して、Xの正半定値性のための十分かつ必要条件も存在する。 ^{[ 2 ]}正確には、

• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{\mathrm {T} }A^{g}B\succeq 0,\left(I-AA^{g}\right)B=0\,}$そして
• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\mathrm {T} }\succeq 0,\left(I-CC^{g}\right)B^{\mathrm {T} }=0,}$

どこ${\displaystyle A^{g}}$の一般化逆を表す${\displaystyle A}$。

• ウッドベリー行列の恒等式
• 準ニュートン法
• ヘインズワースの慣性加法公式
• ガウス過程
• 総最小二乗法
• 計算力学におけるガイアン還元