リングの完成

抽象代数学では、完備化とは、環と加群上のいくつかの関連する関手のうち、完備な位相環と位相加群をもたらすもののことです。完備化は局所化に似ており、これらは共に可換環を解析する最も基本的なツールの1つです。完備な可換環は一般的なものよりも単純な構造を持ち、ヘンゼルの補題が適用されます。代数幾何学では、空間X上の関数環Rの完備化は、 Xの点の形式的な近傍に焦点を当てます。直感的に言えば、これはその点を中心とするすべてのテイラー級数が収束するほど小さい近傍です。代数的完備化は、コーシー列による距離空間の完備化と同様の方法で構築され、 R が非アルキメデス的絶対値で与えられる距離を持つ場合にそれと一致します。

Eは降順フィルターを持つアーベル群であると仮定する。

${\displaystyle E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,}$

部分群の。次に、（濾過に関して）完備化を逆極限として定義する。

${\displaystyle {\widehat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}E)=\left\{\left.({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\;\right|\;a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ for all }}i\leq j\right\}.\,}$

これは再びアーベル群です。通常、Eは加法的アーベル群です。E がフィルター処理と互換性のある追加の代数構造を持つ場合、たとえばEがフィルター処理された環、フィルター処理されたモジュール、またはフィルター処理されたベクトル空間である場合、その完備化は、フィルター処理によって決定される位相において完備な同じ構造を持つオブジェクトになります。この構成は、可換環と非可換環の両方に適用できます。予想されるように、${\displaystyle F^{i}E}$がゼロに等しい場合、完全な位相環が生成されます。

可換代数において、可換環R上の固有イデアルIのべき乗によるフィルター処理は、R上のクルル位相（ヴォルフガング・クルルにちなんで）またはI進位相を決定する。極大イデアルの場合${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$例えば、評価環の特異極大イデアルは特に重要である。Rにおける 0 の開近傍の基底は、入れ子構造になってR上の降順フィルターを形成するべき乗I ⁿによって与えられる。

${\displaystyle F^{0}R=R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots ,\quad F^{n}R=I^{n}.}$

(任意のr ∈ Rの開近傍は剰余類r + I ⁿで与えられる。) ( I進) 完備化は因子環の逆極限である。

${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})}$

発音は「リーハット」。環からその完備化への標準写像πの核は、 Iのべき乗の交点です。したがって、πが単射であるのは、この交点が環の零元に帰着する場合に限ります。クルルの交点定理により、これは整域または局所環である任意の可換ネーター環の場合に当てはまります。

R加群には、クルル位相またはI進位相とも呼ばれる関連位相が存在する。加群Mの開近傍の基底は、次の形式の集合によって与えられる。

${\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{ただし}}x\in M。}$

R加群MのI進完備化は、商の逆極限である。

$\displaystyle {\widehat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}M).}$

この手順は、 R上の任意のモジュールを、完全な位相モジュールに変換します。$\displaystyle {\widehat {R}}_{I}}$Iが有限生成である 場合。^{[ 1 ]}

• p進整数環${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$リングを完成させることで得られる${\displaystyle \mathbb {Z} }$イデアル ( p ) における整数の。

• R = K [ x ₁ ,..., x _n ]を体K上のn変数の多項式環とし、${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$変数によって生成される最大のイデアルとする。すると、完了${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}}$K [[ x ₁ ,..., x _n ]]は、 K上のn変数の形式的冪級数の環です。

• ネーター環が与えられた場合${\displaystyle R}$そして理想的な${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$の${\displaystyle I}$-進完了${\displaystyle R}$は形式的冪級数環の像であり、具体的には全射の像である^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}}$

カーネルは理想的です${\displaystyle (x_{1}-f_{1},\ldots ,x_{n}-f_{n}).}$

補完は、スキームの特異点の局所構造を分析するためにも使用できます。たとえば、アフィンスキームは、${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$節点立方平面曲線${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))}$グラフを見ると、原点に似たような特異点があります（どちらもプラス記号のように見えます）。2番目のケースでは、原点の任意のザリスキー近傍は依然として既約曲線であることに注意してください。補完を使用すると、ノードが2つのコンポーネントを持つ「十分に小さい」近傍を考察することになります。これらのリングの局所化を理想に沿って取ると${\displaystyle (x,y)}$そして完了すると${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/(xy)}$そして${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(yu))}$それぞれ、${\displaystyle u}$は、${\displaystyle x^{2}(1+x)}$で${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]].}$より具体的には、べき級数は次のようになります。

${\displaystyle u=x{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.}$

どちらの環も、次数1の同次多項式によって生成される2つのイデアルの交点によって与えられるため、代数的に見ると、特異点は「同じように見える」ことがわかります。これは、このようなスキームがアフィン平面上の2つの異なる線形部分空間の和集合であるためです。

• あるイデアルに関するネーター環の完備化はネーター環である。^{[ 3 ]}
• 唯一の極大イデアルに関するネーター局所環の完備化はネーター局所環である。^{[ 4 ]}
• 完成は関数的な操作である：連続マップ${\displaystyle f\colon R\to S}$位相環の写像はそれらの完成の写像を生み出す。$${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {R}}\to {\widehat {S}}.}$$

さらに、もし${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$同じ位相環上の2つのモジュール${\displaystyle R}$そして${\displaystyle f\colon M\to N}$連続モジュールマップである場合、${\displaystyle f}$完了状況のマップに独自に拡張される：

${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {M}}\to {\widehat {N}},}$

どこ${\displaystyle {\widehat {M}},{\widehat {N}}}$モジュールは${\displaystyle {\ワイドハット {R}}.}$

• ネーター環の完成${\displaystyle R}$はフラットモジュールです${\displaystyle R}$[ ^{5 ]​}
• 有限生成モジュールの完成${\displaystyle M}$ネーター環の上で${\displaystyle R}$スカラーの拡張によって得られる：

$\displaystyle {\widehat {M}}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}.}$

前述の性質と合わせて、これは有限生成の完全性ファンクターが${\displaystyle R}$-モジュールは完全です。短い完全列を保存します。特に、環の商を取ることは完備化と可換であり、任意の商に対して次のことが成り立ちます。${\displaystyle R}$-代数${\displaystyle R/I}$同型写像が存在する

${\displaystyle {\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}.}$

• コーエン構造定理（等特性の場合）。${\displaystyle R}$極大イデアルを持つ完全局所ネーター可換環である${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$および残留場${\displaystyle \mathbb {k} }$。 もし${\displaystyle R}$フィールドが含まれている場合、

${\displaystyle R\simeq \mathbb {k} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}$

一部の人にとって${\displaystyle n}$そしていくつかの理想${\displaystyle I}$（アイゼンバッド、定理7.7）

• 正式な計画
• プロ有限整数
• 局所的にコンパクトな場
• ザリスキーリング
• 線形トポロジー
• 準未混合リング