連絡先（数学）

数学では、2 つの関数が点Pにおいて同じ値を持ち、最初のk導関数が等しい場合、それらの関数はk次の接触を持ちます。これは同値関係であり、その同値類は一般にジェットと呼ばれます。接触点は二重カスプとも呼ばれます。接触は幾何学的な概念であり、代数的には付値として定義できます。

また、ある点でk次の接触を持つ曲線や幾何学的オブジェクトについても言及されています。これは接線の性質を一般化して、接線(すなわちキス)とも呼ばれます。 (ここでは、導関数は円弧の長さに関して考慮されます。)与えられた曲線族の接線曲線とは、与えられた点で与えられた曲線と可能な限り最高の接触次数を持つ曲線です。たとえば、接線は線族の接線曲線であり、与えられた曲線と 1 次接触します。接線円は円族の接線曲線であり、2 次接触 (同じ接線角と曲率) を持ちます。などです。^[1]

接触形式は、奇数次元多様体上の 1 次微分形式の特殊形式です。接触幾何学を参照してください。接触変換は、古典力学で重要な関連する座標変換です。ルジャンドル変換も参照してください。

多様体間の接触は特異点理論でよく研究され、接触の種類が分類されます。これには、Aシリーズ ( A ₀ : 交差、A ₁ : 接線、A ₂ : 接触など) や、球面との接触度が高い 臍帯シリーズまたはDシリーズが含まれます。

平面上の点pで交差する 2 つの曲線は、次のようになります。

• 曲線が単純な交差（接線ではない）を持つ場合は 0 次接触です。
• 2 つの曲線が接している場合は 1 次接触です。
• 曲線の曲率が等しい場合は 2 次接触です。このような曲線は接触していると言われます。
• 曲率の​​導関数が等しい場合は 3 次接触です。
• 曲率の​​ 2 次導関数が等しい場合は 4 次接触です。

滑らかな平面曲線S上の各点S ( t )に対して、半径がtにおけるSの曲率κ( t ) の逆数である接触円が1 つだけ存在します。曲率が 0 の場合 (曲線上の変曲点)、接触円は直線になります。すべての接触円の中心 (「曲率中心」とも呼ばれる) の軌跡が、曲線の 閉縮線になります。

曲率の​​導関数 κ'( t ) がゼロの場合、接触円は 3 次接触を持ち、曲線は頂点を持つと言われます。縮閉線は円の中心に尖点を持ちます。曲率の 2 次導関数の符号によって、曲線が曲率の極小値または極大値を持つかどうかが決まります。すべての閉曲線には、少なくとも 4 つの頂点、つまり 2 つの最小値と 2 つの最大値があります ( 4 頂点定理)。

一般に、曲線はどの円とも 4 次接触しません。ただし、曲線の 1 パラメータ ファミリでは、(パラメータが変化するにつれて) ファミリ内の 2 つの頂点 (1 つは最大値、もう 1 つは最小値) が集まって消滅する曲線で、4 次接触が一般的に発生することがあります。このような点では、曲率の 2 次導関数は 0 になります。

曲線上の2点S ( t1 )、S ( t2 )と2点接触する円は双接円である。すべての双接円の中心は対称集合_を形成し、中心軸は対称集合_のサブセットである。

• ブルース、JW; PJ ギブリン (1992)。曲線と特異点。ケンブリッジ。ISBN 0-521-42999-4。
• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation、pp 152–7、Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8。