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数学における重要な問いの一つは、空間がその空間上で定義された関数、すなわち「観測量」によって完全に記述できるかどうかである。バナッハ＝ストーンの定理は、この方向における古典的な結果である。この定理は、特定の性質の良い空間（特にコンパクトなハウスドルフ空間）が、その空間上で定義された連続関数のバナッハ空間から復元できることを示している。この定理は、数学者のシュテファン・バナッハとマーシャル・ストーンにちなんで名付けられた。
要約すると、バナッハ・ストーンの定理は、X上の連続実数値関数または複素数値関数の空間C ( X ) のバナッハ空間構造から、コンパクトなハウスドルフ空間Xを復元することを可能にする。C ( X )の代数構造を用いることができる場合、 Xの復元は容易である。すなわち、双対空間 C ( X )* から継承された弱*-位相を備えた、スカラー体への代数準同型の集合である C ( X ) のスペクトルと X を同一視することができる。バナッハ・ストーンの定理が際立っているのは、C ( X ) *の単位球の極点からXを 復元することで、乗法構造への言及を回避している点である。
したがって、バナッハ・ストーンの定理は、C ( X )とC ( Y )がバナッハ空間として等長的に同型であれば、XとYは同相であると述べている。
コンパクトハウスドルフ空間Xに対して、C ( X )をX上の連続実数値関数または複素数値関数のバナッハ空間とし、上限ノルム‖·‖ ∞を装備するものとする。
コンパクトハウスドルフ空間XとYが与えられたとき、T : C ( X ) → C ( Y ) が全射線形等長写像であると仮定する。このとき、同相写像φ : Y → Xと関数g ∈ C ( Y )が存在し、
そのため
The case where X and Y are compact metric spaces is due to Banach,[1] while the extension to compact Hausdorff spaces is due to Stone.[2] In fact, they both prove a slight generalization—they do not assume that T is linear, only that it is an isometry in the sense of metric spaces, and use the Mazur–Ulam theorem to show that T is affine, and so is a linear isometry.
The Banach–Stone theorem has some generalizations for vector-valued continuous functions on compact, Hausdorff topological spaces. For example, if E is a Banach space with trivial centralizer and X and Y are compact, then every linear isometry of C(X; E) onto C(Y; E) is a strong Banach–Stone map.
A similar technique has also been used to recover a space X from the extreme points of the duals of some other spaces of functions on X.
The noncommutative analog of the Banach-Stone theorem is the folklore theorem that two unital C*-algebras are isomorphic if and only if they are completely isometric (i.e., isometric at all matrix levels). Mere isometry is not enough, as shown by the existence of a C*-algebra that is not isomorphic to its opposite algebra (which trivially has the same Banach space structure).
