C*-代数のスペクトル

数学では、C*-代数またはC*-代数Aの双対のスペクトルÂは、Aの既約*-表現の ユニタリ同値類の集合である。ヒルベルト空間H上のAの*-表現πは、 Hと{0}とは異なる閉部分空間Kが存在し、x∈Aのすべての演算子π( x )の下で不変である場合に限り、既約である。既約表現とは、非零の既約表現を意味すると暗黙のうちに仮定しており、したがって1次元空間上の自明な（つまり恒等的に0の）表現は除外される。後述するように、スペクトルÂは自然に位相空間でもある。これは環のスペクトルの概念に似ている。

この概念の最も重要な応用例の 1 つは、任意の局所コンパクト群に対する双対対象の概念を提供することです。この双対対象は、タイプ I のユニモジュラー分離可能局所コンパクト群に対するフーリエ変換とプランシュレル定理、およびタイプ I の分離可能局所コンパクト群の任意の表現に対する分解定理を定式化するのに適しています。しかし、結果として得られる局所コンパクト群の双対性理論は、コンパクト位相群に対する田中-クライン双対性理論や局所コンパクトアーベル群に対するポントリャーギン双対性よりもはるかに弱く、これらはどちらも完全な不変量です。双対が完全な不変量ではないことは、任意の有限次元フル行列代数 M _n ( C )の双対が単一の点から構成されていることから容易にわかります。

Âのトポロジーは、いくつかの同等な方法で定義できます。まず、原始スペクトルを用いて定義します。

Aの原始スペクトルは、 Aの原始イデアルPrim( A )の集合であり、原始イデアルとは、非零既約 *-表現の核のことである。原始イデアルの集合は、ハル核位相（またはヤコブソン位相）を持つ位相空間である。これは次のように定義される。Xが原始イデアルの集合である場合、そのハル核閉包は

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

ハルカーネル閉包は冪等演算であることが容易に示され、

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

そして、それはクラトフスキー閉包公理を満たすことが示される。結果として、Prim( A ) 上に一意の位相 τ が存在し、τ に関する集合Xの閉包はXのハル核閉包と同一であることが示される。

ユニタリ同値な表現は同じ核を持つため、写像 π ↦ ker(π) は全射写像によって因数分解される。

${\displaystyle \operatorname {k}$ :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}

写像kを用いて、 Â上のトポロジーを以下のように定義します。

定義。Â の開集合は、 Prim( A ) の開部分集合Uの逆像k ⁻¹ ( U ) である。これは確かに位相である。

ハルカーネル位相は、可換環におけるザリスキ位相の非可換環における類似物である。

ハルカーネルトポロジーから誘導されるÂ上のトポロジーは、Aの状態に関して他の特徴付けを持つ。

ハルカーネル位相は抽象的に記述するのは容易ですが、実際には、局所的にコンパクトな位相群に関連付けられた C*-代数については、正定値関数によるスペクトル上の位相の他の特徴付けが望ましいです。

実際、Â上の位相は、以下の例で示されるように、表現の弱い包含の概念と密接に関連しています。

定理。SをÂの部分集合とする。このとき、既約表現 π に対して、以下は同値である。

1. Âにおける π の同値類はSの閉包に含まれる
2. πに関連付けられたすべての状態、つまり次の形式の1つ

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

||ξ|| = 1 の場合、はSの表現に関連付けられた状態の弱い極限です。

2番目の条件は、πがSに弱く含まれていることを意味する。

GNS構成は、C*-代数Aの状態をAの表現に関連付けるための手順です。GNS構成に関連する基本定理の1つによれば、状態fが純粋であるのは、関連付けられた表現_πfが既約である場合に限ります。さらに、 f ↦ πf_で定義される写像κ  : PureState( A ) → Âは全射写像です。

前述の定理から、以下のことが容易に証明できる。

定理写像

${\displaystyle \kappa$ :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}

GNS構造によって与えられるものは、連続的で開放的である。

Âは位相空間であり、したがってボレル空間とみなすこともできます。G . Mackeyの有名な予想では、可分局所コンパクト群がタイプ I であるのは、ボレル空間が標準的、つまり（ボレル空間の圏において）完備可分距離空間の基礎となるボレル空間と同型である場合のみであると提案されました。Mackey はこの性質を持つボレル空間を滑らかと呼びました。この予想は、 James Glimmによって、以下の参考文献に記載されている 1961 年の論文で可分 C*-環について証明されました。

定義。分離可能な C*-代数Aの非退化 *-表現 πは、π( A ) によって生成されるフォン・ノイマン代数の中心が一次元である場合に限り、因子表現である。AC*-代数Aは、 Aの任意の分離可能な因子表現が既約因子表現の有限倍数または可算倍数である場合に限り、タイプ I である。

C*( G )がタイプIであるような、分離可能な局所コンパクト群Gの例としては、連結な（実）冪零リー群と連結な実半単純リー群が挙げられる。したがって、ハイゼンベルク群はすべてタイプIである。コンパクト群とアーベル群もタイプIである。

定理。Aが分離可能ならば、 Âが滑らかであるのは、 AがタイプIである場合に限る。

この結果は、分離可能なタイプIC*-代数の表現の構造、およびそれに対応するタイプIの分離可能な局所コンパクト群の表現の構造の広範な一般化を意味する。

C*-環Aは環であるため、 Aを代数的に捉えた場合のAの原始イデアルの集合も考えることができます。環の場合、イデアルが原始的であるのは、それが単純加群の零化イデアルである場合のみです。C*-環Aの場合、イデアルが代数的に原始的であるのは、それが上で定義された意味で原始的である場合のみです。

定理。AをC*-環とする。複素ベクトル空間上のAの任意の代数的に既約な表現は、ヒルベルト空間上の位相的に既約な *-表現と代数的に同値である。ヒルベルト空間上の位相的に既約な *-表現は、ユニタリ同値である場合に限り、代数的に同型である。

これは、Dixmierの文献にある定理2.9.5の系である。

Gが局所コンパクト群である場合、 Gの群 C*-代数C*( G )の双対空間上の位相は、 JMG FellにちなんでFell 位相と呼ばれます。

• J. Dixmier、C*-Algebras 、北オランダ、1977 ( Les C*-algebres et leurs représentationsの翻訳)
• J. Dixmier、『C*-algèbres et leurs représentations』、Gauthier-Villars、1969 年。
• J. Glimm、「タイプ IC*-代数」、Annals of Mathematics、第 73 巻、1961 年。
• G. マッキー、『群表現の理論』、シカゴ大学出版局、1955年。