ユークリッド空間変換の意味の区別
アクティブ変換 (左) では、点 P は 固定座標系の 原点 を中心に 時計回りに 角度 θ回転して点 P ′ に変換されます。パッシブ変換 (右) では、点 P は 固定されたまま、座標系は原点を中心に反時計回りに角度 θ回転します。アクティブ変換後の元の座標系に対する P ′ の座標は、 回転した座標系に対する P の座標と同じです。 幾何学的変換は、固定された 参照フレーム または 座標系 に対する 点 の集合の物理的位置を変更する アクティブ または アリバイ変換 （ アリバイは 「同時に別の場所にある」という意味）と、点 を 固定したまま、それらが記述される参照フレームまたは座標系を変更する パッシブ または エイリアス変換（ エイリアスは 「別の名前で行く」という意味）の2種類に区別できます。 [1] [2] 変換 というと 、 数学者は 通常、アクティブ変換を指しますが、 物理学者 や エンジニアは どちらを指す場合もあります。 [ 要出典 ]
例えば、能動変換は剛体 の連続的な位置を記述するのに有用 である。一方、受動変換は人体動作解析において、 大腿骨 に対する脛骨の動き 、すなわち、床に固定された（グローバル）座標系ではなく、大腿骨と一緒に動く（ローカル）座標系に対する脛骨の動き を 観察 する の に有用である。 [2]
3 次元ユークリッド空間 では、能動的か受動的かを問わず、 適切な剛体変換は すべて、 軸に沿った移動と その軸の周りの 回転 の組み合わせである ねじ 変位として表すことができます 。
能動変換 と 受動変換 という用語は、 特殊相対論 における ローレンツ変換を 説明するために1957年に バレンタイン・バーグマン によって初めて導入されました 。 [3]
例 回転は能動的（ アリバイ ）または受動的（ エイリアス ）変換として考えられる 受動的な（エイリアス ）または能動的な（ アリバイ ）変換 としての移動と回転 例として、ベクトル を 平面上のベクトルとします。ベクトルを 反時計回りに角度 θ回転させる操作は、回転 行列 で表されます。
これは、後述するように、 能動変換 または 受動変換 （上記の 行列が 反転される ）
として見ることができます 。
ヴ
= （
ヴ
1
、
ヴ
2
） ∈
R
2
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}
R =
（
コス θ
− 罪 θ
罪 θ
コス θ
）
、
{\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}
一般に、空間変換は 平行移動と線形変換で構成されます。以下では、平行移動は省略され、線形変換は 3×3 行列で表されます 。
T :
R
3
→
R
3
{\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
T
{\displaystyle T}
アクティブ変換として、 初期ベクトルを 新しいベクトルに変換します 。
T
{\displaystyle T}
ヴ
= （
ヴ
x
、
ヴ
ええ
、
ヴ
ず
）
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}
ヴ
′
= （
ヴ
x
′
、
ヴ
ええ
′
、
ヴ
ず
′
） = T
ヴ
= T （
ヴ
x
、
ヴ
ええ
、
ヴ
ず
）
{\displaystyle \mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y },v_{z})}
を新しい 基底 と見なすと 、新しい基底における新しいベクトルの座標は、 元の基底における の座標と同じになります。アクティブ変換は、異なる ベクトル空間 への線形変換としても意味をなすことに注意してください。変換が空間 からそれ自体へのものである場合にのみ、プライムなしの基底 (上記のように) に新しいベクトルを書き込むことは意味をなします。
{
e
x
′
= T （ 1 、 0 、 0 ） 、
e
ええ
′
= T （ 0 、 1 、 0 ） 、
e
ず
′
= T （ 0 、 0 、 1 ） }
{\displaystyle \{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf { e} '_{z}=T(0,0,1)\}}
ヴ
′
=
ヴ
x
e
x
′
+
ヴ
ええ
e
ええ
′
+
ヴ
ず
e
ず
′
{\displaystyle \mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} ' _{z}}
ヴ
=
ヴ
x
e
x
+
ヴ
ええ
e
ええ
+
ヴ
ず
e
ず
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z} }
一方、 受動的な変換として見ると、初期ベクトルは 変更されず、座標系とその基底ベクトルは反対方向、つまり逆変換で変換されます 。 [4] これにより、基底ベクトルを持つ新しい座標系 XYZ が得られます。
T
{\displaystyle T}
ヴ
= （
ヴ
x
、
ヴ
ええ
、
ヴ
ず
）
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}
T
− 1
{\displaystyle T^{-1}}
e
バツ
=
T
− 1
（ 1 、 0 、 0 ） 、
e
はい
=
T
− 1
（ 0 、 1 、 0 ） 、
e
ず
=
T
− 1
（ 0 、 0 、 1 ）
{\displaystyle \mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0 ),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}
新しい座標系XYZ に対する の 新しい座標は 次のように与えられます。
（
ヴ
バツ
、
ヴ
はい
、
ヴ
ず
）
{\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}
ヴ
{\displaystyle \mathbf {v} }
ヴ
= （
ヴ
x
、
ヴ
ええ
、
ヴ
ず
） =
ヴ
バツ
e
バツ
+
ヴ
はい
e
はい
+
ヴ
ず
e
ず
=
T
− 1
（
ヴ
バツ
、
ヴ
はい
、
ヴ
ず
） 。
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _ {Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).}
この式から、新しい座標は次のように表されることがわかります。
（
ヴ
バツ
、
ヴ
はい
、
ヴ
ず
） = T （
ヴ
x
、
ヴ
ええ
、
ヴ
ず
） 。
{\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z})。}
パッシブ変換は 古い座標を新しい座標に変換します。
T
{\displaystyle T}
2種類の変換の等価性に注目してください。能動的な変換における新しい点の座標と受動的な変換における点の新しい座標は同じです。つまり、
（
ヴ
バツ
、
ヴ
はい
、
ヴ
ず
） = （
ヴ
x
′
、
ヴ
ええ
′
、
ヴ
ず
′
） 。
{\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})。}
抽象ベクトル空間では 能動的な変換と受動的な変換の違いは、抽象的な ベクトル空間 を考慮することによって数学的に理解できます。
体上の 有限次元ベクトル空間（ または と考えられる）と の基底を固定します 。 この 基底 は 、成分写像 を介して 同型性を提供します 。
五
{\displaystyle V}
け
{\displaystyle K}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
B
=
{
e
i
}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}}
V
{\displaystyle V}
C
:
K
n
→
V
{\displaystyle C:K^{n}\rightarrow V}
(
v
i
)
1
≤
i
≤
n
=
(
v
1
,
⋯
,
v
n
)
↦
∑
i
v
i
e
i
{\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}
アクティブ 変換 は 上の 自己準同型 、つまり から自身 への線型写像です。このような変換 をとると 、ベクトルは のように変換されます。 の基底に関する 成分は、 方程式 によって定義されます 。すると、 の成分は のように変換されます 。
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
τ
∈
End
(
V
)
{\displaystyle \tau \in {\text{End}}(V)}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
v
↦
τ
v
{\displaystyle v\mapsto \tau v}
τ
{\displaystyle \tau }
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
τ
e
i
=
∑
j
τ
j
i
e
j
{\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}
v
{\displaystyle v}
v
i
↦
τ
i
j
v
j
{\displaystyle v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}}
受動的な変換は 、 代わりに 上の自己準同型です 。これは、コンポーネント に適用されます。 が可逆である場合、 を尋ねることによって 新しい基底が決定され 、そこから式が 導出されます。
K
n
{\displaystyle K^{n}}
v
i
↦
T
i
j
v
j
=:
v
i
′
{\displaystyle v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}}
T
{\displaystyle T}
B
′
=
{
e
i
′
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}}
v
i
e
i
=
v
i
′
e
i
′
{\displaystyle v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}}
e
i
′
=
(
T
−
1
)
j
i
e
j
{\displaystyle e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}}
空間 と は 同型ですが、標準同型ではありません。ただし、基底を選択すれば 同型を構築できます。
End
(
V
)
{\displaystyle {\text{End}}(V)}
End
(
K
n
)
{\displaystyle {\text{End}}({K^{n}})}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
左と右の行動として 多くの場合、写像が可逆である場合に限定され、能動変換は変換の 一般線型群 であり、受動変換は群である 。
GL
(
V
)
{\displaystyle {\text{GL}}(V)}
GL
(
n
,
K
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}
変換は、 の基底空間に作用するものと理解できます 。 能動的な変換は 基底 を送信します 。 一方、受動的な変換は 基底 を送信します 。
V
{\displaystyle V}
τ
∈
GL
(
V
)
{\displaystyle \tau \in {\text{GL}}(V)}
{
e
i
}
↦
{
τ
e
i
}
{\displaystyle \{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}}
T
∈
GL
(
n
,
K
)
{\displaystyle T\in {\text{GL}}(n,K)}
{
e
i
}
↦
{
∑
j
(
T
−
1
)
j
i
e
j
}
{\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}
受動変換の逆変換により、 成分が および の 下で同一に変換されることが保証されます 。これにより、能動変換と受動変換が明確に区別されます。つまり、能動変換は基底に対して 左から作用します が、受動変換は逆変換のため右から作用します。
τ
{\displaystyle \tau }
T
{\displaystyle T}
この観察は、基底を同型 の選択と 見なすことでより自然になります 。基底の空間は、 と表記されるそのような同型 の空間と同等です 。 と同一視される能動変換は 合成によって左から に 作用し、 と同一視される受動変換は 事前合成によって右から に
作用します。
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
Φ
B
:
V
→
K
n
{\displaystyle \Phi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow K^{n}}
Iso
(
V
,
K
n
)
{\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}
GL
(
V
)
{\displaystyle {\text{GL}}(V)}
Iso
(
V
,
K
n
)
{\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}
GL
(
n
,
K
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}
Iso
(
V
,
K
n
)
{\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}
これにより、基底空間が 左 - 胴体 と 右 - 胴体に変換されます。
GL
(
V
)
{\displaystyle {\text{GL}}(V)}
GL
(
n
,
K
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}
物理的な観点からは、能動変換は物理空間の変換として特徴付けられ、受動変換は物理空間の記述における冗長性として特徴付けられます。これは、 ゲージ変換が ファイバーに対して
右から 作用する遷移マップによって数学的に記述される数学的 ゲージ理論 において重要な役割を果たします。
参照
参考文献
^ Crampin, M.; Pirani, FAE (1986). 応用微分幾何学. ケンブリッジ大学出版局. p. 22. ISBN 978-0-521-23190-9 。 ^ ab Joseph K. Davidson、Kenneth Henderson Hunt (2004) 。 「§4.4.1 能動的な解釈と能動的な変換」。 ロボット とスクリュー理論：運動学と静力学のロボット工学への応用 。オックスフォード大学出版局。p. 74 ff。ISBN 0-19-856245-4 。 ^ Bargmann, Valentine (1957). 「相対性理論」. 現代物理学レビュー . 29 (2): 161–174. Bibcode :1957RvMP...29..161B. doi :10.1103/RevModPhys.29.161. ^ Amidror, Isaac (2007). 「付録 D: 注釈 D.12」 モアレ現象の理論: 非周期層 。 Springer. p. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0 。
外部リンク 
