ジェットグループ

数学において、ジェット群は、一般線型群の一般化であり、点におけるベクトルの代わりにテイラー多項式に適用されます。ジェット群は、座標系の変更（または、同等の微分同相写像）の下でテイラー多項式がどのように変換されるかを記述するジェットのグループです。

k次のジェット群 Gnk_は、^{φ (0)=0と}なるような滑らかな微分同相写像φ: Rn → Rn^のジェットから構成される。 ^[1]

以下はジェット グループのより正確な定義です。

k ≥ 2とする。関数f: R ^k → Rの微分は、 df: R ^k → T* R ^kで与えられるR ^Kのコタンジェントバンドルの切断として解釈できる。同様に、 m次までの微分はジェットバンドルJ ^m ( R ^k ) = R ^k × Wの切断であり、ここで

${\displaystyle W=\mathbf {R} \times (\mathbf {R} ^{*})^{k}\times S^{2}((\mathbf {R} ^{*})^{k})\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).}$

ここでR * はRへの双対ベクトル空間であり、Si^はi番目の対称べきを表します。滑らかな関数f: R ^k → Rには、各点p ∈ R ^kで定義される延長j ^m f : R ^k → J ^m ( R ^k )があり、これはpにおけるfのi番目の部分関数をWのSi ⁽ ( R *) ^k ) 成分に配置することによって行われます。

点 を考えます。k変数およびm次多項式f _{p が}1 つだけ存在し、p はj ^m f _pの像になります。つまり、 です。微分データx′ は、別の点y ∈ R ⁿ上に存在するように、 j ^m f _p (y) 、つまりy 上のf _pの部分関数として 変換できます。 ${\displaystyle p=(x,x')\in J^{m}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle j^{k}(f_{p})(x)=x'}$

J ^m ( R ⁿ ) にグループ構造を 与えるには、

${\displaystyle (x,x')*(y,y')=(x+y,j^{m}f_{p}(y)+y')}$

この群構造では、J ^m ( R ⁿ ) はクラスm + 1 のカルノー群です。

関数合成におけるジェットの特性により、G ⁿ _{k は}リー群です。ジェット群は、一般線型群と連結した単連結な冪零リー群の半直積です。合成には多項式演算のみが含まれるため、実際には代数群でもあります。

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017-03-30 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2014-05-02 に取得
• クルプカ、デメテル。 Janyška, Josef (1990)、Lectures on Differential invariants、Univerzita JE Purkyně V Brně、ISBN 80-210-0165-8
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7