局所有限集合

位相空間の部分集合の集合は、その空間内の各点がその集合内の有限個の集合とのみ交差する近傍を持つ場合、局所有限であると言われる。 ^[1]${\displaystyle X}$

数学の位相幾何学の分野において、局所有限性は位相空間の部分集合の集合の特性であり、準コンパクト性と位相次元の研究において基礎となる。

局所有限という用語は他の数学の分野では異なる意味を持つことに注意してください。

位相空間の部分集合の有限集合は局所有限である。 ^[2]無限集合も局所有限である場合がある。 例えば、整数に対する の形式の部分集合の集合。^[1]自然数nに対する のすべての部分集合の集合が示すように、部分集合の可算集合は必ずしも局所有限である必要はない。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-n,n)}$

局所有限な集合の集まりはすべて点有限であり、空間のすべての点は集合内の有限個の集合にのみ属することを意味します。点有限性は厳密に弱い概念であり、点有限であるが点 では局所有限ではない内の区間の集まりによって示されます。この 2 つの概念は、パラコンパクト空間とメタコンパクト空間の定義で使用されており、これがすべてのパラコンパクト空間がメタコンパクトである理由です。 ${\displaystyle (0,1/n)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$

集合の集まりが局所有限である場合、これらの集合の閉包の集まりも局所有限である。^[3] その理由は、点を含む開集合が集合の閉包と交差する場合、必然的に集合自体と交差するため、近傍は最大で同じ数の閉包と交差できる（異なる、実際には互いに素な 2 つの集合が同じ閉包を持つことがあるため、交差する数はより少ない場合がある）。ただし、集合の閉包が別個でない場合は、その逆は失敗する可能性がある。たとえば、 上の有限補位相では、すべての開集合の集まりは局所有限ではないが、これらの集合のすべての閉包の集まりは局所有限である（閉包はと空集合だけであるため）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

閉集合の任意の和集合は一般には閉じていない。しかし、閉集合の局所有限集合の和集合は閉じている。^[4] これを理解するために、 がこの局所有限閉集合の和集合の外側の点である場合、有限個のこれらの集合のみでこの集合と交わる の近傍を選択するだけであることに注意する。 と交わる集合の集合から、各集合にインデックスを与える全単射写像を定義する。次に、各集合について、を含み、かつそれと交わらない開集合を選択する。と交わるのすべてのそのような の交点は、この閉集合の集合の和集合と交わらない の近傍である。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {1,\dots ,k}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$

コンパクト空間内の局所有限集合はすべて有限です。実際、 をコンパクト空間 の局所有限な部分集合の族とします。各点 について、内の有限個の部分集合と交差する開近傍を選択します。明らかに、集合の族 はの開被覆であり、したがって有限部分被覆 を持ちます。各 は内の有限個の部分集合とのみ交差するため、そのようなすべての和集合は内の有限個の部分集合とのみ交差します。この和集合は空間 全体であるため、 は集合 内の有限個の部分集合とのみ交差することになります。また、は の部分集合で構成されるため、のすべてのメンバーはと交差する必要があり、したがって は有限です。 ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

リンデレーフ空間、特に第二可算空間におけるすべての局所有限集合は可算である。^[5] これは上記のコンパクト空間の結果と同様の議論によって証明される。

位相空間の部分集合の集合はσ局所有限^[6][7]または局所有限集合の可算和である場合、 可算局所有限^[8]

σ局所有限概念は永田-スミルノフ距離化定理の重要な要素であり、位相空間が距離化可能であるためには、それが正則でハウスドルフであり、σ局所有限基底を持つ必要があると述べています。^{[9] [10]}

リンデレーフ空間、特に第二可算空間では、すべての σ 局所有限集合は可算です。

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ベルリン：ヘルダーマン・フェルラーク。ISBN 3-88538-006-4。
• マンクレス、ジェームズ・R.（2000）、トポロジー（第2版）、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-181629-2
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。