h-コボルディズム

幾何学的位相幾何学および微分位相幾何学において、n次元多様体MとNの間の( n  + 1)次元共線性 Wは、包含写像が

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}}\quad N\hookrightarrow W}$

ホモトピー同値です。

h-コボルディズム定理は、h-コボルディズムが自明であるための、つま​​り円筒M × [0, 1]にC同型であるための十分な条件を与えます。ここで、 C は滑らかな多様体、区分線形な多様体、または位相的な多様体のカテゴリのいずれかを指します。

この定理は、フィールズ賞を受賞したスティーブン・スメールによって初めて証明され、高次元多様体理論における基本的な結果です。まず、この定理は、一般化されたポアンカレ予想をほぼ即座に証明します。

スメールがこの定理を証明するまで、数学者は次元 3 または 4 の多様体を理解しようとして行き詰まり、高次元の場合はさらに難しいと想定していました。hコボルディズム定理は、少なくとも 5 次元の (単連結な) 多様体は、次元 3 または 4 のものよりもはるかに簡単であることを示しました。定理の証明は、ハスラー・ホイットニーの「ホイットニー トリック」に依存しており、これは次元 >4 の多様体における相補次元のホモロジー的に解かれた球を幾何学的に解くものです。次元 3 または 4 の多様体が異常に難しい非公式の理由は、このトリックが、エンタングルメントの余地がない低次元では機能しないからです。

nが5 以上で、W がカテゴリC = Diff、PL、またはTopにおけるMとN間のコンパクトな ( n  + 1) 次元h -共群であり、 W、M、およびNが単連結であるとします。このとき、W はM × [0, 1]とC -同型です。同型はM × {0}上の恒等写像として選択できます。

これは、 MとN（または、M × [0, 1]、WとN × [0, 1]）間のホモトピー同値がC同型に同型であることを意味します。

n = 4の場合、 hコボルディズム定理は偽です。これは、ウォールが[ ^{1] 、}同値な交差形式を持つ閉じた有向単連結位相 4 次元多様体はhコボルダントであることを証明したことからわかります。ただし、交差形式が奇数の場合、同じ交差形式を持つ非同相 4 次元多様体があります (カービー-ジーベンマン類によって区別されます)。たとえば、CP ²と同じホモトピー型を持つ偽の射影平面は同相ではありませんが、どちらも (1) の交差形式を持ちます。

n = 3の場合、滑らかな多様体に対するh -コボルディズム定理は証明されておらず、3 次元ポアンカレ予想により、4 次元球面に非標準的な滑らかな構造があるかどうかという難しい未解決問題と同等になります。

n = 2の場合、 h-コボルディズム定理は、 1904年にポアンカレによって述べられたポアンカレ予想（ミレニアム問題^{[2]の1つ）と同等であり、2002年と2003年に}グリゴリー・ペレルマンによって3つの論文シリーズで証明されました。 ^{[3] [4] [5]}そこでペレルマンは、リッチフローを使用したリチャード・S・ハミルトンのプログラムに従っています。

n = 1の場合、閉じた単連結な 1 次元多様体は存在しないため、 hコボルディズム定理は空虚に真です。

n = 0の場合、 hコボルディズム定理は自明に成り立ちます。つまり、区間は連結された 0 多様体間の唯一の連結されたコボルディズムです。

モース関数は Wのハンドル分解を誘導します。つまり、にインデックスkの単一の臨界点がある場合、 kハンドルを接続することでから上昇コボルディズムが得られます。証明の目的は、ハンドルをまったく持たないハンドル分解を見つけて、 fの非ゼロ勾配ベクトル場を積分すると、自明なコボルディズムへの目的の微分同相写像が得られるようにすることです。 ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$${\displaystyle W_{c'}}$${\displaystyle W_{c}}$

これは一連の技術を通じて実現されます。

1) ハンドルの配置換え

まず、すべてのハンドルを順序に従って並べ替えて、低次のハンドルが最初に接続されるようにします。問題は、いつiハンドルをjハンドルからスライドさせることができるかということです。これは、 i を接続する球とjベルト球が交差しない限り、ラジアル同位体によって実行できます。したがって、は と同等になります。 ${\displaystyle (i-1)+(nj)\leq \dim \partial W-1=n-1}$${\displaystyle i\leq j}$

次に、 をkハンドル上の自由アーベル群とし、kハンドルを に送ることで定義することによって、ハンドルチェーン複体を定義します。ここで、 はk付着球と ( k  − 1) ベルト球の交差数です。 ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}}$${\displaystyle h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle }$

2) キャンセル処理

次に、ハンドルを「キャンセル」します。この考え方は、kハンドルを取り付けると、( k  + 1) ハンドルを取り付けることで埋めることができる穴ができる可能性があるというものです。これは、を意味し、したがっての行列のエントリは になります。しかし、この条件はいつ十分なのでしょうか。つまり、この条件が真である場合に、いつ幾何学的にハンドルをキャンセルできるのでしょうか。答えは、問題のアタッチ球とベルト球を削除した後、多様体が単連結のままになる場合を注意深く分析し、ホイットニー トリック を使用して埋め込みディスクを見つけることにあります。この分析により、 n は少なくとも 5 でなければならないという要件が導かれます。さらに、証明中に、コボルディズムには 0、1、n 、または ( n  + 1) ハンドルがないことが要求されますが、これは次の手法で得られます。 ${\displaystyle h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k+1}}$${\displaystyle \partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \partial_{k+1}}$${\displaystyle \pm 1}$

3) 取引を処理する

ハンドル トレーディングの考え方は、( k  + 1) ハンドルと ( k  + 2) ハンドルのキャンセル ペアを作成し、特定のkハンドルが ( k + 1)ハンドルとキャンセルされて( k + 2) ハンドルが残るようにすることです。これを行うには、の要素であるkハンドル のコアを検討します。 Wはhコボルディズムなので、このグループは自明です。したがって、このディスクをWの境界に埋め込むことができる限り、必要に応じてキャンセル ペアに太らせることができるディスクが存在します。この埋め込みは の場合に存在します。 n は少なくとも 5 であると想定しているため、kは 0 または 1 のいずれかになります。最後に、指定されたモース関数の負数 − f を考慮すると、ハンドル分解を逆にして、必要に応じてnハンドルと ( n  + 1) ハンドルを削除することもできます。 ${\displaystyle \pi_{k}(W,M)}$${\displaystyle D^{k+1}}$${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$

4) ハンドルスライド

最後に、 に対する行と列の操作が幾何学的な操作に対応することを確認したいと思います。実際、 kハンドルを別のkハンドルの上にスライドさせると、 の基底でが に置き換わることを示すのは難しくありません (図を描くのが最適です)。${\displaystyle \partial_{k}}$${\displaystyle h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$${\displaystyle h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\alpha}^{k}\pm h_{\beta}^{k}}$${\displaystyle C_{k}}$

定理の証明は次のようになります。 ハンドル チェーン複素数は であるため正確です。したがっては自由であるためです。次に、 は整数行列であり、可逆射に制限されます。この可逆射は基本的な行操作 (ハンドル スライディング) によって対角化でき、可逆であるため対角線上に のみを持つ必要があります。したがって、すべてのハンドルは、他の 1 つのキャンセル ハンドルとペアになり、ハンドルのない分解が生成されます。 ${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle \partial_{k}}$${\displaystyle \pm 1}$

MとNが単連結であるという仮定が放棄された場合、hコボルディズムは円筒形である必要はなく、その障害は包含のホワイトヘッド捩れτ( W , M )とまったく同じである。 ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

正確には、Barry Mazur、John Stallings、Dennis Bardenによって独立に証明されたs -コボルディズム定理( sは単純ホモトピー同値を表す) は、次のように述べています (上記と同じ仮定ですが、 MとN は単純に接続されている必要はありません)。

h-コボルディズムが円筒形となるのは、ホワイトヘッド捩れτ ( W , M )がゼロになる場合のみです。

包含が単なるホモトピー同値ではなく、単純なホモトピー同値である場合にのみ、捩れは消えます。 ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

他の包含関係も単純なホモトピー同値であると仮定する必要がないことに注意してください。これは定理からわかります。 ${\displaystyle N\hookrightarrow W}$

カテゴリー的には、h-コボルディズムは類群を形成します。

すると、 s-コボルディズム定理のより詳細な記述は、この群の同型類（ h-コボルディズムのC-同型まで）が、それぞれの^[6]ホワイトヘッド群Wh(π)のトルソルである、ということである。ここで ${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N)。}$

• セミ・s・コボルディズム

• フリードマン、マイケル H ;クイン、フランク(1990)。4次元多様体の位相。プリンストン数学シリーズ。第39巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08577-3。(これは位相的 4 次元多様体の定理です。)
• Milnor, John、「h-コボルディズム定理に関する講義」、L. Siebenmann および J. Sondow による注釈、Princeton University Press、プリンストン、NJ、1965 年。v+116 pp。これは滑らかな多様体の証明を示しています。
• Rourke, Colin Patrick; Sanderson, Brian Joseph, Introduction to piecewise-linear topology , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . これは、PL 多様体の定理を証明します。 
• S. スメール、「多様体の​​構造について」アメリカ数学ジャーナル、84 (1962) pp. 387–399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994]、「h-コボルディズム」、数学百科事典、EMS プレス