速度

一定期間における物体の平均速度は、その位置の変化である。${\displaystyle \Delta s}$期間の長さで割った値、${\displaystyle \Delta t}$^{数学的には[ 1 ]}と表される。$$\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

物体の瞬間速度は、時間間隔がゼロに近づくときの極限平均速度です。任意の特定の時刻 t において、それは位置の時間微分として計算できます。 ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

この微分方程式から、一次元の場合、速度と時間の関係を示すグラフ（v - tグラフ）の下の面積が変位sであることがわかります。微積分で言えば、速度関数v ( t )の積分が変位関数s ( t )になります。図では、これは曲線の下の黄色の領域に対応します。 $$\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}$$

瞬間速度という概念は、一見すると直感に反するように思えるかもしれないが、それは物体がその瞬間に加速を停止した場合に、その速度で移動し続けるであろう速度と考えることができる。

速度と速度ベクトルという用語は、物体がどれだけ速く動いているかを表す際に口語的にしばしば同義語として使われますが、科学的には異なります。速度ベクトルのスカラー量である速度は、物体がどれだけ速く動いているかのみを示しますが、速度ベクトルは物体の速度と方向の両方を示します。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

一定の速度を持つためには、物体は一定の方向で一定の速さで移動する必要があります。一定の方向は物体の動きを直線経路に限定するため、一定の速度とは、一定の速さで直線上を移動することを意味します。

例えば、円軌道上を時速20キロメートルで一定速度で走行する車は、速度は一定ですが、方向が変化するため、速度は一定ではありません。したがって、車は加速していると考えられます。

位置の時間微分は、位置の変化（メートル）を時間の変化（秒）で割った値となるため、速度はメートル毎秒（m/s）で測定されます。

速度は、時間に対する位置の変化率として定義され、平均速度との区別を強調するために瞬間速度とも呼ばれます。一部のアプリケーションでは、物体の平均速度、つまり、ある時間間隔 Δ t において、同じ時間間隔で可変速度v ( t )と同じ結果的な変位をもたらす一定速度が必要になる場合があります。平均速度は次のように計算できます。^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)\,dt}{t_{1}-t_{0}}}.}$$

平均速度は常に物体の平均速さ以下である。これは、距離は常に厳密に増加するのに対し、変位は大きさが増減したり方向が変わったりするという事実から理解できる。

変位-時間（ x対t ）グラフに関して言えば、瞬間速度（または単に速度）は任意の点における曲線への接線の傾きと考えることができ、平均速度は平均速度の時間範囲の境界に等しいt座標を持つ2点間の割線の傾きと考えることができる。

速度は位置の変化率として定義されますが、物体の加速度を表す式から始めるのが一般的です。図中の 3 つの緑色の接線で示されているように、ある時点での物体の瞬間加速度は、その時点でのv ( t )グラフの曲線に接する直線の傾きです。言い換えれば、瞬間加速度は、速度の時間微分として定義されます。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}$$

そこから、速度は加速度と時間のグラフa ( t )の下の面積として表されます。上記と同様に、これは積分の概念を用いて行われます。

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

古典力学では、ニュートンの第二法則は運動量p を物体の質量と速度の積であるベクトルとして定義しており、数学的には次のように表される。$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$$ここで、mは物体の質量である。

動いている物体の運動エネルギーはその速度に依存し、式^{[ 10 ]で与えられる。}$${\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$$ここで、E _kは運動エネルギーです。運動エネルギーは速度の二乗に依存するため、スカラー量です。

流体力学において、抗力とは、周囲の流体に対して運動する物体の相対運動に逆らって作用する力である。抗力は、${\displaystyle F_{D}}$は速度の二乗に依存し、次のように表される。$${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$$どこ

• ${\displaystyle \rho }$は流体の密度である。 ^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle v}$は流体に対する物体の速度であり、
• ${\displaystyle A}$は断面積であり、
• ${\displaystyle C_{D}}$は抗力係数であり、無次元数です。

脱出速度とは、地球のような質量のある物体から脱出するために弾道物体が必要とする最小速度のことです。これは、物体の重力ポテンシャルエネルギー（常に負の値）に加算するとゼロになる運動エネルギーを表します。質量Mの惑星の中心から距離rにある物体の脱出速度の一般式は^{[ 12 ]}です。$${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$ここで、Gは重力定数、gは重力加速度です。地球表面からの脱出速度は約 11,200 m/s であり 、 物体の方向に関係なく一定です。このため、「脱出速度」という表現はやや不適切で、より正確な用語は「脱出速度」です。大気の有無に関わらず、この速度に達した物体は、進路上の何かと交差しない限り、基底天体の近傍から離れていきます。

特殊相対性理論では、無次元のローレンツ因子が頻繁に現れ、^{[ 13 ]で与えられます。}$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ここで、γはローレンツ因子、cは光速である。

一次元の場合、^{[ 14 ]}速度はスカラーであり、方程式は次のいずれかになります。 $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$2つの物体が反対方向に移動している場合、または： $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$2つの物体が同じ方向に移動している場合。

多次元直交座標系では、速度は座標系の各次元軸に対応する成分に分解されます。x軸とy軸がある2次元システムでは、対応する速度成分は次のように定義されます^{[ 15 ]}

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

2次元速度ベクトルは次のように定義される。${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y}\rangle }$このベクトルの大きさは速度を表し、距離の公式によって次のように求められます。

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

追加のz軸が存在する3次元システムでは、対応する速度成分は次のように定義されます。

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

3次元速度ベクトルは次のように定義される。${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle }$その大きさは速度も表しており、

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

教科書によっては速度のデカルト成分を定義するために添え字表記を使用するものもありますが、${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$、 そして${\displaystyle w}$のために${\displaystyle x}$-、${\displaystyle y}$-、 そして${\displaystyle z}$それぞれ -軸。^{[ 16 ]}

極座標では、2 次元速度は、原点から離れる方向または原点に向かう方向の速度成分として定義される半径方向速度と、半径方向速度に垂直な横方向速度によって記述されます。 ^{[ 17 ] [ 18 ]}どちらも角速度から生じます。角速度とは、原点を中心とした回転速度のことです (右手系座標系では、正の値は反時計回りの回転、負の値は時計回りの回転を表します)。

半径方向速度と横方向速度は、デカルト座標系における速度ベクトルと変位ベクトルを、速度ベクトルを半径方向成分と横方向成分に分解することによって導出できます。横方向速度とは、原点を中心とする円周に沿った速度成分のことです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$ どこ

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$横方向速度
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$は視線速度です。

半径方向速度（または半径方向速度の大きさ）は、速度ベクトルと半径方向の単位ベクトルの 内積である。$${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$位置と${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$は半径方向です。

横方向速度（または横方向速度の大きさ）は、半径方向の単位ベクトルと速度ベクトルの外積の大きさです。また、速度と横方向の内積、または角速度の積でもあります。${\displaystyle \omega }$そして半径（位置の大きさ）。 $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ そのため $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

角運動量をスカラー値で表すと、質量×原点までの距離×横方向速度、または等価的に質量×距離の二乗×角速度となります。角運動量の符号規約は角速度の符号規約と同じです。 $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$ どこ

• ${\displaystyle m}$質量
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

その表現${\displaystyle mr^{2}}$は慣性モーメントとして知られています。重力軌道の場合のように、力が半径方向のみに作用し、その反比例関係が成り立つ場合、角運動量は一定であり、横方向の速度は距離に反比例し、角速度は距離の二乗に反比例し、掃き出される面積の速度は一定です。これらの関係は、惑星運動のケプラーの法則として知られています。