数学および理論物理学において、テンソルは、インデックス部分集合の任意の 2 つのインデックスを入れ替えたときに符号(+/− )が交互に変化する場合、インデックス部分集合に関して反対称または交代的である。 [ 1 ] [ 2 ]インデックス部分集合は一般に、すべて共変であるか、すべて反変でなければならない。
例えば、 
テンソルが最初の3つの添え字に関して反対称である場合に成り立つ。
テンソルの各添え字のペアの交換によって符号が変化する場合、そのテンソルは完全に反対称である。次数の完全に反対称な共変テンソル場
差分と呼ばれることもある-形式、そして完全に反対称な反変テンソル場は、-ベクトル場。
表記法
反対称化の略記法は、角括弧のペアで表されます。例えば、任意の次元において、2次の共変テンソルMに対して、 ![{\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c0ae6c35816412ce4f3d29478b6a49022ce281)
また、3次の共変テンソルT の場合、 ![{\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391d99b9fe448b8556303a32b0a9fa0bb17a2068)
2次元および3次元では、これらは次のように記述できます。 ![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7fbe1a24bd64c4f5674df95e0098e654d9a63d)
どこ
は一般化されたクロネッカーのデルタであり、アインシュタインの総和規約が用いられています。
より一般的には、次元の数に関係なく、
指数は次のように表すことができます。 ![${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa91d7d51fa72cf48c44b05a5af10098e037b44)
一般に、ランク2のすべてのテンソルは、次のように対称テンソルと反対称テンソルのペアに分解できます。 
この分解は、より複雑な対称性を持つ3階以上のテンソルには一般的に当てはまらない。
例
完全反対称テンソルには以下が含まれます。
- 自明なことに、すべてのスカラーとベクトル（0次と1次のテンソル）は、完全に反対称である（同時に完全に対称である）。
- 電磁テンソル、
電磁気学において。 - 擬リーマン多様体上のリーマン体積形式。
注記
- ↑ KF ライリー、MP ホブソン、SJ ベンス (2010)。物理学および工学のための数学的手法。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-86153-3。
- ↑フアン・ラモン・ルイス・トロサ。エンリケ・カスティージョ (2005)。ベクトルからテンソルへ。スプリンガー。 p. 225.ISBN 978-3-540-22887-5。第7条
外部リンク
- 反対称テンソル – mathworld.wolfram.com
![{\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532f585a7761c33f6c9975c29e75d3b1ac9259c5)