正確な微分

ここでは3次元で議論していますが、他の次元の完全微分の定義は、3次元の定義と構造的に類似しています。3次元では、次の形式の $${\表示スタイル A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$$これは微分形式 と呼ばれます。この形式は開領域上で完全形式と呼ばれます。$\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$空間内に微分可能なスカラー関数が存在する場合${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$定義済み${\displaystyle D}$そのため $$\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,\quad dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$ 全体を通して${\displaystyle D}$、 どこ${\displaystyle x,y,z}$直交座標（例えば、デカルト座標、円筒座標、球面座標）である。言い換えれば、空間のある開領域において、微分形式が直交座標系における微分可能な関数の一般微分と等しい場合、それは完全微分である。

上記の数式において、括弧の外側にある添え字は、微分中にどの変数が定数として保持されるかを示しています。偏微分の定義上、これらの添え字は必須ではありませんが、ここでは念のため明示的に示しています。

微分可能なスカラー関数の正確な微分${\displaystyle Q}$オープン領域で定義されています$\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$に等しい${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$、 どこ${\displaystyle \nabla Q}$勾配は​${\displaystyle Q}$、${\displaystyle \cdot }$はスカラー積を表し、${\displaystyle d\mathbf {r} }$は、直交座標系を使用する場合の一般的な微分変位ベクトルです。${\displaystyle Q}$微分可能性クラスに属する${\displaystyle C^{1}}$（連続的に微分可能）ならば${\displaystyle \nabla Q}$は対応するポテンシャルの保存ベクトル場である${\displaystyle Q}$定義により。3次元空間の場合、次のような表現${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$そして${\displaystyle \nabla Q=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)}$作ることができる。

勾配定理は次のように述べている。

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

それは、与えられた経路の端点間のどの積分経路に依存しないかには依存しない。${\displaystyle i}$そして${\displaystyle f}$が選択されます。したがって、完全微分方程式の積分は、与えられた経路の端点間の積分経路の選択に依存しない（経路独立性）と結論付けられます。

3次元空間の場合、${\displaystyle \nabla Q}$オープン ドメインで定義$\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$微分可能性クラスに属する${\displaystyle C^{1}}$（同等に）${\displaystyle Q}$は${\displaystyle C^{2}}$) ならば、この積分経路独立性はベクトル解析の恒等式を用いて証明することもできる。${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$そしてストークスの定理。

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

単純な閉ループの場合${\displaystyle \partial \Sigma }$滑らかに配向された表面${\displaystyle \Sigma }$その中に。オープン ドメインの場合${\displaystyle D}$単に連結された開放空間（大まかに言えば、内部に穴のない単一の開放空間）である場合、任意の非回転ベクトル場（として定義される）${\displaystyle C^{1}}$ベクトル場${\displaystyle \mathbf {v} }$回転がゼロ、つまり、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$) はストークスの定理により経路独立性を持つので、次の記述がなされる。単連結開領域では、任意の${\displaystyle C^{1}}$経路独立性を持つベクトル場（つまり保存ベクトル場）は必ず非回転性も持ち、その逆もまた然りです。経路独立性と保存性を持つベクトル場の等価性はここに示されています。

一次元では、微分形式

$\displaystyle A(x)\,dx$

が正確であるのは、${\displaystyle A}$原始関数を持つ（ただし、必ずしも初等関数による原始関数とは限らない）。${\displaystyle A}$反微分を持ち、${\displaystyle Q}$の反微分である${\displaystyle A}$それで${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$、 それから$\displaystyle A(x)\,dx$明らかに正確性の条件を満たしている。${\displaystyle A}$原始関数を持たない場合、次のように書くことはできません。${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$と${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$微分可能な関数の場合${\displaystyle Q}$それで$\displaystyle A(x)\,dx$不正確です。

2階微分の対称性により、任意の「正常な」（非病的な）関数に対して${\displaystyle Q}$、 我々は持っています

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

したがって、xy平面の単連結領域Rでは、${\displaystyle x,y}$独立している、^{[ 1 ]}微分形式

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

が完全微分であるのは、方程式が次の条件を満たす場合に限る。

$\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

成り立つ。もしそれが正確な微分であれば${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$そして${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$、 それから${\displaystyle Q}$は、に沿って微分可能な（滑らかに連続な）関数である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、 それで${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$。 もし${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$保持して、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は、微分可能（かつ滑らかに連続）な関数である。${\displaystyle y}$そして${\displaystyle x}$それぞれ、${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$それはあくまでも例外的なケースに過ぎない。

3次元の場合、 xyz座標系の単連結領域Rでは、同様の理由で微分

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

関数A、B、Cの間に次の関係式が存在する場合に限り、それは完全微分である。

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

これらの条件は、次の文と同等です。Gがこのベクトル値関数のグラフである場合、曲面Gのすべての接ベクトルX、Yに対して、 s ( X、Y ) = 0 であり、 sはシンプレクティック形式です。   

これらの条件は、簡単に一般化でき、2階微分の計算における微分順序の独立性から生じます。したがって、4変数関数である微分dQが完全微分であるためには、6つの条件（組み合わせ）があります。${\displaystyle C(4,2)=6}$満足させるため。

括弧内の最初の項をゼロに等しいとおくと、

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

少し並べ替えると相互関係が得られる。

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

上記の導出にはさらに２つの順列があり、それによって合計３つの相互関係が得られる。${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$そして${\displaystyle z}$。

この循環関係は、循環法則または三重積法則とも呼ばれます。括弧内の第２項をゼロに等しいとおくと、

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

相互関係を使用して${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$この方程式を並べ替えると、循環関係（三重積の法則）が得られます。

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

代わりに、相互関係${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$これらを後続の並べ替えと組み合わせることで、陰​​関数微分の標準形式が得られます。

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$