退化双線形形式

数学、特に線形代数において、退化した双線形形式${\displaystyle f(x,y)}$ベクトル空間上${\displaystyle V}$は双線形形式であり、 からの写像は${\displaystyle V}$に$\displaystyle V^{*}}$（双対空間${\displaystyle V}$) によって与えられる${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$非自明な核を持つ、つまり、ゼロでない核が存在する。${\displaystyle x}$で${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle f(x,y)=0}$すべての人々のために${\displaystyle y\in V}$。

同等の定義${\displaystyle V}$有限次元であるということは、前のマップが同型ではないということです。

非退化または非特異形式とは、退化していない双線形形式であり、つまり、${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$は同型写像 である、または有限次元では等価的に、次の場合に限り同型写像である^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x,y)=0}$すべての人々のために${\displaystyle y\in V}$意味するところは${\displaystyle x=0}$。

Vが有限次元である場合、 Vの何らかの基底に関して、双線形形式は、対応する行列の行列式がゼロである場合、すなわち行列が特異である場合に限り縮退します。したがって、縮退形式は特異形式とも呼ばれます。同様に、非縮退形式とは、対応する行列が非特異である形式であり、したがって、非縮退形式は非特異形式とも呼ばれます。これらの記述は、選択された基底に依存しません。

二次形式Qに対して、Q ( v ) = 0となるようなゼロでないベクトルv ∈ Vが存在する場合、 Qは等方性二次形式である。Qがすべてのゼロでないベクトルに対して同じ符号を持つ場合、Q は定値二次形式または異方性二次形式である。

ユニモジュラー形式と完全ペアリングという密接に関連する概念がある。これらは体上では一致するが、一般環上では一致しない。

実数二次代数の研究では、二次形式の種類の区別が明らかになります。積zz * は、複素数、分裂複素数、および双対数のそれぞれに対する二次形式です。z = x + ε yの場合、双対数形式はx 2 であり、これ^は退化二次形式です。分裂複素数の場合は等方形式であり、複素数の場合は定値形式です。

非退化形式の最も重要な例は、内積とシンプレクティック形式です。対称非退化形式は内積の重要な一般化であり、多くの場合、写像が${\displaystyle V\to V^{*}}$同型写像であって、正値性ではない。例えば、接空間に内積構造を持つ多様体はリーマン多様体であるが、これを対称非退化形式に緩和すると擬リーマン多様体となる。

無限次元空間では、双線形形式 ƒ が存在し、${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$単射であるが全射ではない$\displaystyle V^{*}}$例えば、閉区間上の連続関数の空間では、次の形式が与えられます。

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

全射ではない。例えば、ディラックのデルタ関数は双対空間にあるが、必要な形式ではない。一方、この双線形形式は以下を満たす。

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$すべての人々のために${\displaystyle \phi }$意味するところは${\displaystyle \psi =0\,}$、

したがって、それは非退化である。ƒが単射ではあるが（必ずしも）全射ではない場合、強調のためにƒは弱非退化であると言うことができる。

f がすべてのベクトル上で恒等的にゼロになる場合、それは完全に退化していると言われます。V上の任意の双線形形式fが与えられたとき、ベクトルの集合は

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{すべての }}y\in V\}}$

Vの完全退化部分空間を形成する。写像fが非退化であるのは、この部分空間が自明である場合に限る。

幾何学的に、二次形式の等方性直線は、射影空間における対応する二次超曲面の点に対応する。このような直線は、対応する点が特異点である場合に限り、双線形形式に対しても等方性となる。したがって、代数的に閉じた体上では、ヒルベルトのヌルシュテルンザッツにより、二次形式は常に等方性直線を持つことが保証され、双線形形式は、曲面が特異である場合に限り等方性直線を持つことになる。

• 不定内積空間– 関数解析におけるベクトル空間 
• 双対システム– ベクトル空間の双対ペア 
• 線形形式– ベクトル空間からスカラー場への線形写像